广东省广州市荔湾区2018-2019学年高二第一学期期末教学质量监测文科数学试题(解析版)

2018学年第一学期期末教学质量检测
高二数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
双曲线的的渐近线方程.
【详解】a=4,b=3,所以渐近线方程，故选B.
【点睛】考查双曲线的基本性质，渐近线的求法.属于基础题。

2.命题“如果，那么”的逆否命题是
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是原命题的逆否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．【详解】因为原命题的逆命题是：如果，那么，
其否命题为：如果，那么，
所以原命题的逆否命题是：如果，那么，故选C．
【点睛】本题主要考查四种命题间的关系．解答与四个命题有关的问题时，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.
3.根据给出的程序框图（如图），计算
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】A
【解析】
试题分析：输入，满足，所以；
输入，不满足，所以，即.故选.
考点：算法与程序框图，函数的概念.
4.某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为
A. 12
B. 6
C. 4
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
求出该校青年教师的人数，再根据男青年教师求出其所占比例，所以样本中青年教师所占比例以及男女青年教师所占比例都可得到。

【详解】根据题意该校青年教师人数人，男青年教师所占比例，所以样本中的女青年教师人数
=3人。

故选D。

【点睛】本题主要考查了分层抽样，样本中各类人群所占比例和总体中的比例相同。

属于基础题。

5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知
A. ＜，＜
B. ＞，＜
C. ＜，＞
D. ＞，＞
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果.
【详解】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.
6.设是椭圆的一个焦点，是经过另一个焦点的弦，则的周长是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义易知的周长等于.
【详解】的周长=而a=3，所以的周长是12。

故选A。

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，到两个定点的距离之和等于定值的点的集合，属于基础题.
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
基本事件总数n＝6×6＝36，利用穷举法得到向上的点数之和等于9包含的基本事件有4个，由此能求出出现向上的点数之和等于9的概率．
【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n＝6×6＝36，
出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4个，
∴出现向上的点数之和等于9的概率为p．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
由频率分布直方图中最高矩形的中点可得众数，先计算行驶速度超过90 km/h的矩形面积，再乘以组距即可得频率. 【详解】由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：87.5，
由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：
（0.05+0.02）×5＝0.35，
∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35，
故选：D．
【点睛】本题考查众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
9.函数y =的图象如图所示，下列数值排序正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由选项中各式子代表的几何意义，结合图像比较斜率即可得解.
【详解】f′（2）、f′（3）是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，
，∴为图象上x为2和1对应两点连线的斜率，
由图可知，，
故选：C．
【点睛】考查了导数的概念和对概念的简单应用，属于基础题．
10.函数在上是增函数，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数单调递增可得在上恒成立，由二次函数的性质可得：，从而得解.
【详解】函数在上是增函数，
则在上恒成立.
由二次函数的性质可得：，解得.
故选B.
【点睛】该题考查的是有关根据函数在某个区间上单调递减求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点是导数和单调性的关系，注意其等价条件为其导数在给定区间上小于等于零或大于等于零，属于基础题.
11.设命题函数在上单调递增，命题在△中，是的充要条件．则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知命题p为假命题，命题q：在△ABC中，由正弦定理及大角对大边即可得命题q为真，从而得解．【详解】命题p：对于函数，易知，所以在上不单调，故命题p为假命题.
命题q：在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sin A＞sin B，反之也成立，是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.、为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线与双曲线垂直得|MF1|，利用双曲线定义可得|MF2|，进而得cos，再由二倍角公列方程即可得离心率.
【详解】由题意可知：|MF1|=|MF2|＝2a+|MF1|2a，
cos．
，
可得：，
可得：8e，
解得e或e（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考
查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知命题“”，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由特称命题的否定为全称命题可得解.
【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：
命题“”，则.
【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了需要将结论进行否定外，还需将量词进行否定，全称量词换成特称量词，特称量词换成全称量词，属于基础题.
14.执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
执行程序框图，当不成立时结束循环计算输出结果即可.
【详解】执行程序框图：
，
，
，
，
，不成立，输出.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
15.已知，点的坐标为，则当时，且满足的概率为__________．【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点P在以C
为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．
【详解】如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部
∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≥4的概率为
P1===．
故答案为：
【点睛】几何概型概率公式的应用：
（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
16.抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点．△的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，由外接圆圆心在线段OF的垂直平分线上，可得圆心的纵坐标为，再由直线和圆相切的条件：d＝r，计算可得所求半径．
【详解】抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），抛物线的准线方程为y＝﹣1，
设△OPF的外接圆的圆心C为（m，n），半径为r，
可得C在线段OF的垂直平分线上，即有n，
由外接圆与准线相切可得n+1＝r，
即有r．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的焦点和准线方程，以及直线和圆相切的条件：d＝r，考查运算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知抛物线经过点．
（1）求的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
【答案】（1）方程为，焦点为；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义，求解弦长即可．
【详解】（1）由已知抛物线经过点，代入得
所以抛物线的标准方程为
所以抛物线的焦点为
（2）设，，
由已知得直线的方程为
联立方程消去得
解得，
所以（也可以由韦达定理直接得到）
于是.
【点睛】题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力，属于基础题.
18.某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.
（1）分别求出的值；
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率. 【答案】（1）；（2）中位数为41.67，平均数为41.5；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n＝100，由此有求出a，b，x，y；（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x﹣35）×0.030＝05，得x≈41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数；
（3）第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，
再结合频率分布直方图可知n100，
a＝100×（0.010×10）×0.5＝5，
b＝100×（0.030×10）×9＝27，
x0.9，
y0.2．
(2) 设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），
且有0.010×10+0.020×10+（x﹣35）×0.030＝05，
解得x≈41.67，
故估计这组数据的中位数为41.67，
估计这组数据的平均数为：
20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10＝41.5．
(3)由(1)知,则第一组中回答正确的人员中有3名男性,2名女性.男性分别记为,女性分别记为.
先从5人中随机抽取2人,共有,共10个基本事件 .
记“至少抽中一名女性”为事件,共有共7个事件. 则.
【点睛】本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.设函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】
（1）求函数导数，根据导数等于零，结合函数单调性可得值；
（2）利用导数求得函数的单调性，进而可得最值.
【详解】（1），
因为在处取得极值，所以
解得
当时，，令，得或
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，在取得极大值.
（2）由（1）可列表得
由表可知，在上，当时函数取得极大值
当时函数取得极小值
又由于，
所以函数在上的最大值是，最小值是.
【点睛】本题主要考查了利用函数导数求解函数的单调性及极值，属于基础题.
20.如图是某公司2001年至2017年新产品研发费用（单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2001年至2017年的数据（时间变量的值依次为1,2,…,17）建立模型①：；根据2011年至2017年的数据（时间变量的值依次为1,2,…,7）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案】（1）利用模型①，预测值为134.8（万元），利用模型②，预测值为156.5（万元）（2）利用模型②得到的预测值更可靠，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据模型①计算t＝19时的值，根据模型②计算t＝9时的值即可；
（2）从总体数据和2001年到2010年间递增幅度以及2011年到2017年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．
【详解】（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）.
利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）.
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ii）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
（以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.）
【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，属于基础题.
21.已知椭圆的离心率为，且过点．直线与交于，两点，点是的左焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且不与轴重合，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）通过椭圆离心率为，过点，列式值计算即得a，b即可；
（2）解法1：设直线l的方程为代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．
解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．
【详解】（1）依题意得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意得
解法1：设直线的方程为，联立椭圆方程得
消去整理得
因为在椭圆内部，所以
设，，则，
.
令，则，，
因为当时，，当且仅当时“”号成立，
所以，
所以的面积的最大值是.
解法2：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程得
，解得，此时，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立椭圆方程得
消去整理得
因为在椭圆内部，所以
设，，则，
.
点到的距离，
所以
因为所以令，则，
令，则，，
因为当时，，当且仅当时“”号成立，
所以，
综上得的面积的最大值是.
【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．22.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数导数，讨论a，根据导数的正负分析函数单调性即可；
（2）要证在上恒成立，即证明，在上恒成立，设，求函数导数，利用单调性求最值证明即可.
【详解】（1）
当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令得（*）
因为所以方程（*）有两根，由求根公式得， .
当时，，当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
当时，，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，由题意知，要证在上恒成立，
即证明，在上恒成立.
设，则，
因为，所以，（当且仅当时等号成立），
即，
所以在上单调递增，，
所以在上恒成立.
【点睛】本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性，求函数最值证明不等式，考查了学生分类讨论和构造函数的思想，属于中档题.。