第八章弹性体的应力和应变§81弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种

第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。

其实，最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。

1. 正压力（拉伸压缩应力） 其中， 沿作用力截面的法线方向。

2. 线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸伸长
n
F S
σ＝
（1）
例：如图示， 0σ>
（或压缩）。

公式：
当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。

如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为 。

横向形变和纵向形变之比为泊松系数：
3. 胡克定律
当应变较小时，应力与应变成正比：
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。

l l ε∆=
（2）
0100
b b b b b ε-∆==
（3）
1
εμε
=
（4）
Y σε
＝（5） 或
n F l
Y S l ∆=（6） 0ε<0ε<
设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， 表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ，
处媒质
的位移为 ，因此 媒质的应变
为： ，取
，即为 x 处媒质的应变：
拉伸或压缩的形变势能
同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：
§8.2 弹性体的剪切形变 一、剪切形变·剪切应力与应变
（9）
()y x x +∆0()()lim x y x x y x y x x ε∆
→+∆-∂==∆∂x
y ∆ ∆ / 0x ∆→x ∆
x x +∆所以： （7）
n F y Y S x ∂=∂2
12
p
E Y V ε=（8）
02
12
p
E Y ε
=
当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。

例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。

1.剪应力
其中：S 为假想截面ABCD 的面积，力F 在该面上均
匀分布。

2.剪切形变
特征：表现为平行截面间的相对滑移。

如图示：
若 很小，则
二、剪切形变的胡克定律
若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
其中，N 为剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。

通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：
F
S
τ=
（1）
N τψ
=（3） 特征：表现为平行截面间的相对滑移。

如图示：
l
tg l
ψ∆=
l
tg l
ψψ∆≈
=2(1)
Y
N μ=
+
上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。

其中：Y 是杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力； 是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。

但几个不同特性的量是有联系的。

剪切形变的弹性势能密度（单位体积的 弹性势能）：
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。

所以流体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。

§8.3 弯曲和扭曲 一 、梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的
层。

对于纯梁弯曲形变有：
其中：R 和 k 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分别为梁的或度和宽度，τ为梁仅受的靠端
02
12
p
E N ψ
=（4）
'CC 3
112k R Ybh τ==
部的力偶。

二、 杆的扭曲
圆柱体两端面相对转过的角度叫圆柱体的扭转角
产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角 的
关系：
其中：和分别为圆柱的半径和长度，N 是剪切模量，式中 c 是圆柱的扭转系数：
第八章 基本知识小结
⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩
形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，
扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。

⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，
用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。

τ
φ4
2NR
c l
πτφφ
=
=4
2NR c l
π=
⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果 表示
原长，Δl 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= ；
在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。

⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。

在拉压形变中表示为 σ= Y ε，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，
在剪切形变中表示为 τ= N ψ，N 是由材料性质决定的切变模量。

⒌发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度 剪切形变的形变势能密度 ⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系
⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 0/l l ∆0
2
12p E Y ε=02
1
2
p E N ψ
=3
12k Ybh
τ=4
,2NR
C C l
πτφ==。