2020届山东省济宁市高三上学期期中数学试题

2020届山东省济宁市高三上学期期中数学试题
一、单选题 1．设全集，集合，则集合
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：
.
【考点】集合的基本运算. 2．设复数()
2
2i
1i z +=+，则复数z 的虚部是（ ）． A ．0.5 B ．1-
C ．i -
D ．1
【答案】B
【解析】结合复数的四则运算,对复数z 化简可求出答案. 【详解】 由题意,()
()2
22i i 2i
2i 1
i+2i 2i 2
1i z +++==
==-+,即复数z 的虚部是1-. 故选:B. 【点睛】
本题考查了复数的四则运算,考查了虚部的概念,属于基础题.
3．设平面向量()2,4a =，(),6b x =，若a b ⊥，则实数x =（ ）． A ．12- B ．3
C ．4-
D ．6
【答案】A
【解析】由a b ⊥,可得0a b ⋅=,即可求出x 的值. 【详解】
因为a b ⊥,所以2240a b x ⋅=+=,解得12x =-. 故选:A. 【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标表示,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
4．要得到函数4y sin
x =-（3
π
）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） A ．向左平移12π
个单位 B ．向右平移12π
个单位
C ．向左平移3π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
【答案】B
【解析】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛
⎫
=-
=- ⎪⎝
⎭，要得到函数43y sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12
π
个单位。

本题选择B 选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
3
2
，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ．
92
C ．
32
D ．3
【答案】C
【解析】试题分析：根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且顶点在底面上的摄影为底面梯形的顶点的四棱锥，故113
(12)2322
V x =⋅⋅+⋅⋅=，即3
2
x =
，故选C ． 【考点】根据三视图还原几何体．
6．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
【答案】A 【解析】【详解】
作出不等式50{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{
x x y =+=，解得3{
3
x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 【考点】线性规划
7．已知α、β为锐角，cosα＝3
5，tan(α−β)＝−13
，则tanβ＝ ( ) A ．
13
B ．3
C ．913
D ．13
9
【答案】B
【解析】利用角的关系()βααβ=--，再利用两角差的正切公式即可求出tan β的值. 【详解】
因为3
cos 5
α=
，且α为锐角，则24sin 1cos 5αα
，所以4tan 3
α=， 因为()βααβ=--，
所以()()()41
tan tan 33tan tan[]3411tan tan 133ααββααβααβ+--=--=
==+-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭
故选B. 【点睛】
主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.
8．在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为a b
c ，，，若sin A ，
2a =，ABC
S
=
b 的值为
A
B ．
2
C ．
D ．【答案】A
【解析】在锐角
ABC △中，利用
sin 3
A =
，ABC
S =可求得bc ，再利用2a =，
由余弦定理可求得b c +，解方程组可求得b 的值． 【详解】
∵在锐角ABC △中，
sin 3
A =
，ABC
S =
∴11 223
bcsinA bc == ∴3bc =，①
又2a
=，A 是锐角，∴1
cos 3
A ==， ∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即()()2
2
121cos 461123b c a bc A ⎛⎫
+=++=++
= ⎪
⎝⎭
， ∴b c +=
由①②得：23
3
b c bc ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3b c ==．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题 9．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．2744
n n
+
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
【答案】A 【解析】【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）．
①已知,a b ∈R ，则“22
2a b ab
+≤-”是“0a >且0b <”的充分不必要条件；
②“1xy
=”是“lg lg 0x y +=”的必要不充分条件；
③已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂且m β，n α，则αβ∥；
④()0,0x ∃∈-∞，使0034x x <成立. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】对四个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】
对于①,由222a b ab +≤-,则()2
2222
220a b a b a b ab ab ab ab
+++++==≤,即0ab <,不能
得到0a >且0b <,即充分性不成立,故①是假命题; 对于②,当1xy
=时,若0,0x y <<,此时lg lg 0x y +=不成立,即充分性不成立;当
lg lg 0x y +=时,lg 0xy =,则1xy =,即必要性成立,故②正确;
对于③,如下图,过直线m 作平面γ,使得m βλ'⋂=,由m β,可得m m '∥,所以m α'∥,又因为直线m ,n 异面,所以,m n '有交点,结合n α,可得到αβ∥,即③正确;
对于④,当0x <
时,0000
3331444x x x ⎛⎫⎛⎫
=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,则0034x x >,故命题④是假命题.
所以真命题有②③. 故选:C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断,考查了充分条件与必要条件,考查了指数与对数的性质,考查了不等式的性质,考查了空间中点线面的位置关系,考查了学生的推理能力,属于中档题. 11． 已知非零向量AB 与AC 满足(
)0||
||
AB AC BC AB AC +
⋅=且
12
||||
AB
AC
AB AC ⋅
=
则ABC ∆为
( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】略
12．已知函数()ln ,111,14
x x f x x x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的
实根时，实数a 的取值范围是（ ）．
A ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．1,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】
作出函数()f x 的图象,见下图.
若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1
y x
'=
,设切点为()00,
x y ,则00ln y x =,切线斜率为
01x ,即切线方程为:()0001ln y x x x x -=
-,该切线过原点,则()000
1
0ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e a =
,显然()1
e
g x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有一个实根;
若
11
4e
a ≤<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时无交点,在1x >时有2个交点,符合题意; 若1
04
a <<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时有2个交点,不符合题意;
若0a ≤,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时无交点,不符合题意; 若1
e
>
a ,,直线()g x 与()f x 的图象至多有一个交点,不符合题意. 所以只有11
4e
a ≤<符合题意. 故选:B.
【点睛】
本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.
二、填空题
13．已知函数()321,0
2,0
x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，若()1f x =，则x =______．
【答案】0
【解析】结合分段函数的性质,分0x ≥和0x <两种情况,分别求解即可. 【详解】
若0x ≥,令()1f x =,即311x +=,解得0x =,符合题意, 若0x <,令()1f x =,即221x +=,显然方程无实根. 故()1f x =时,0x =. 故答案为:0. 【点睛】
本题考查了分段函数的性质,考查了求方程的解,属于基础题.
14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2011项和S 2011＝________. 【答案】1004
【解析】由题意可得1,2,n n a n -⎧=⎨⎩为奇数
为偶数
；从而求前n 项和即可．
【详解】
：数列{}n a 是等和数列，且11a =-，公和为1，
1,2,n n a n -⎧∴=⎨⎩
为奇数为偶数；
20111234200920102011()()()S a a a a a a a ∴=++++⋯+++ 10051(1)=⨯+-
1004=．
【点睛】
本题考查了学生对新定义的接受能力与应用能力，属于基础题．
15．已知第一象限内的点(),A a b 在直线410x y +-=上，则11
a b
+的最小值为______．
【解析】由第一象限内的点A 在直线上,可得41a b +=,再由()11114a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
,然后结合基本不等式可求出最小值. 【详解】
由题意知,0,0a b >>,41a b +=,则
()11114a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭414b a a b =+++4529b a a b
≥+⨯=,当且仅当4b a a b =即11
,36
a b ==时,取等号.
【点睛】
利用基本不等式求最值,要注意:“一正”，“二定”，“三相等”。

16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用(),a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如()4,310a =，则()41,20a =______．
…… 【答案】839
【解析】由表知,()41,20a 前面奇数行有第1,3,5,,39共20行,可求出()41,20a 前面
所有奇数的个数,进而可求出答案. 【详解】
由题意,第n 行有n 个数,()41,20a 表示第41行从左数第20个数,该行数字都是奇数,前面奇数行有第1,3,5,,39共20行,共有奇数()1392013539400
2
+⨯+++
+=
=个,
则()41,20a 是第420个奇数,故()41,2024201839a =⨯-=. 故答案为:839.
本题考查归纳推理,考查了等差数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的推理能力,属于基础题.
三、解答题
17．ABC 中，已知45A =︒，3
sin 5
B =，角B 为锐角． （1）求sin
C 的值；
（2）若10BC =，求ABC 的面积． 【答案】（1
）sin C =
；（2）42ABC S =△ 【解析】（1）先求出cos B ,再由()sin sin C A B =+,展开可求出答案; （2）先由正弦定理求出AC ,再由1
sin 2
ABC
S BC AC C =
⋅⋅,可求出答案. 【详解】
（1）因为角B 为锐角,所以cos 0B >,
则4cos 5B ===. ()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=
+432
5
5
2
=+
⨯10
=;
（2）由正弦定理得,
sin sin BC AC
A B
=,
则3
5
AC ==
故11sin 104222ABC
S
BC AC C =
⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形的面积公式的运用,属于基础题.
18．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知11a =，324
12234
S S S ++=． （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）11n n n b a a +=
，n b 的前n 项和n T ，求证：1
3
n T <．
【答案】（1）32n a n =-；（2）证明见解析 【解析】（1）利用等差数列的性质,结合324
12234
S S S ++=,可求出公差d 及n a ; （2）由（1）可得到1
1
n n n b a a +=,然后利用裂项相消求和法
,可求出n T ,进而可证明结论. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,则212S a d =+,3133S a d =+,4146S a d =+, 则
3241112334612234234
S S S a d a d a d +++++=++=,∴13312a d +=,即3312d +=,3d =.
∴()13132n a n n =+-=-． （2）()()1
111323133231n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
,
∴11111111111134347371033231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11111111134477103231n n ⎛⎫
=-+-+-++
- ⎪-+⎝⎭
11133131
⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭n n n ∴1
3133
n n n T n n =
<=+. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质,考查了裂项相消求和法求数列的前n 项和,属于基础题. 19．在底面为直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=︒，SA ⊥平面ABCD ，
2SA AB BC ===，1AD =．
（1）求证：平面SAB ⊥平面SBC ； （2）求SC 与底面ABCD 所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
【解析】（1）由题易得,SA BC ⊥,AB BC ⊥,从而可证明BC ⊥平面SAB ,进而可证明平面SAB ⊥平面SBC ;
（2）连接AC ,由SA ⊥平面ABCD ,可得SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角,求出该角的正切值即可. 【详解】
（1）证明：∵SA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴SA BC ⊥． 又∵AB BC ⊥,SA AB A ⋂=,∴BC ⊥平面SAB . ∵BC ⊂平面SBC ,∴平面SAB ⊥平面SBC ． （2）连接AC ．
∵SA ⊥平面ABCD ,∴SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角． 在直角三角形SCA 中,2SA =,222222AC =+=,
则2
tan 2
22SA SCA AC ∠=
==
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明,考查了线面角的求法,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.
20．（本题满分12分）
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的
纯利润总和（
前年总收入 前年的总支出 投资额72万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 【答案】解：由题意知
(4)
分
（I）由…………7分
由知，从第三年开始盈利.…………………………………8分
（II）年平均纯利润…………………10分
当且仅当n=6时等号成立.……………………………………………11分
年平均纯利润最大值为16万元，
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元.……12分【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意可得，整理可得关于的二次函数.解即可.（Ⅱ）年平均利润为,可用基本不等式求最值.
试题解析：解(Ⅰ)依题意前年总收入前年的总支出投资额72万元,可得
3分
由得,解得5分
由于,所以从第3年开始盈利. 6分
(Ⅱ)年平均利润8分
当且仅当,即时等号成立10分
即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元12分
【考点】1二次函数;2基本不等式.
21．△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由数量积公式和余弦定理求出，由，得．
（2）先把利用二倍角公式和两角差的正弦公式化为一个角C的三角函数，再利用求得的最大值和C与B.
解：（Ⅰ）由已知，··············································· 2分
由余弦定理得，∴，·················· 4分
∵，∴
．········································································ 6分
（Ⅱ）∵
，∴
，
.
．·············· 8分
∵，∴，
∴当
，
取最大值
，解得
． 12分
22．已知函数()e 1x
f x m x =--（其中e 为自然对数的底数）．
（1）若曲线()y f x =过点()0,1P ，求曲线()y f x =在点()0,1P 处的切线方程； （2）若()0f x >恒成立，求m 的范围；
（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，求(
)212
11e e e
e x
x
x x y m ⎛
⎫
=--
⎪+⎝⎭
的值域． 【答案】（1）10x y -+=；（2）1m ；（3）(),0-∞
【解析】（1）将()0,1P 代入()y f x =中,可求得m 的值,然后求出切线方程即可; （2）由()0f x >⇔1e x x m +>,令()1
e
x x u x +=,求出其单调性,令()max m u x >,即可求出答案;
（3）将零点代入可得,(
)
2121e e x x
m x x -=-,进而得到
()21
21
21
e e e e e e x x x x x x y m -=
--+()
()()2
11
211
211
e
e e 1e e e x x x x x x x x -=--+()212121e 1e 1
x x x x x x ---=--+,令()210x x t t -=>,可构造函数()()e 1
0e 1
t t g t t t -=->+,通过求导判断单调性,可求出
()g t 的值域.
【详解】
（1）当0x =时,()011f m =-=,则2m =.
()2e 1x f x '=-,()0211f '=-=,
∴所求切线方程10x y -+=.
（2）由()0f x >得e 10x m x -->,即有1
e
x x m +>
, 令()1e x x u x +=
,则()e
x
x
u x -'=, 令()00u x x '>⇒<,()00u x x '<⇒>,
∴()u x 在(),0-∞上单调递增,在()0,∞+上单调递减. ∴()()max 01u x u ==,∴1m ．
（3）由题意，11e 10x m x --=,22e 10x
m x --=,则(
)
2121e e x x
m x x -=-.
所以()2121
21
e e e e e e x x x x x x
y m -=--+()
()()211
211
211e e e 1e e e x x x x x x x x -=--+()212121e 1e 1
x x x x x x ---=--+, 令()210x x t t -=>,令原式()()e 1
0e 1
t t g t t t -==->+,
求导得()()
22
e 1
0e
1t t
g t --'=
<+,∴()g t 在()0,∞+上单调递减,
∴()()00g t g <=, 当t →+∞时,()g t →-∞, ∴()g t 的值域为(),0-∞. ∴(
)212
11e e e
e x x
x x y m ⎛⎫
=-- ⎪+⎝⎭
的值域为(),0-∞． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数研究不等式恒成立问题,考查了函数零点的应用,考查了构造函数的数学方法,属于难题.。