2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课后习题：第三章 三角恒等变换+测评+Word版含解析

第三章测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.函数f(x)=1-2sin2的最小正周期为()
A.2π
B.π
C.
D.4π
解析f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为2π.
答案A
2.若cos-,则cos(π-2α)=()
A. B.- C. D.-
解析由已知得sin α=,所以cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=-.
答案B
3.函数f(x)=-cos2-的单调增区间是()
A.-,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.-,k∈Z
解析∵f(x)=-
=-cos-=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,
∴增区间为,k∈Z.
答案C
4.已知α∈,cos α=-,则tan-等于()
A.7
B.
C.-
D.-7
解析由已知得tan α=,则tan--.
1
答案B
5.函数f(x)=sin2+cos2--1是()
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析f(x)=sin2+cos2--1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.
答案A
6.已知sin-,则cos=()
A.-
B.-
C.-
D.
解析由sin-,可得cos=sin-,所以cos=2cos2-1=2·-1=-.
答案A
7.的值等于()
A. B. C.1 D.2
解析.
答案A
8.三角函数f(x)=sin-+cos 2x的振幅和最小正周期分别是()
A. B.,π C. D.,π
解析f(x)=sin-+cos 2x=sin cos 2x-cos sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=-sin-,振幅为,周期为T==π.
答案D
9.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解析由一元二次方程根与系数的关系,得
2
∴tan(A+B)=
.
--
在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-<0,
∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.故选A.
答案A
10.导学号68254113已知函数f(x)=cos4x+sin2x,下列结论中错误的是()
A.f(x)是偶函数
B.函数f(x)最小值为
C.是函数f(x)的一个周期
D.函数f(x)在内是减函数
解析由f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故A正确;
f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=-,又sin2x∈[0,1],则当sin2x=时,f(x)min=,所以B正确;
f=sin4-sin2+1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,
则f(x)=f.所以C也正确,选D.
答案D
11.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
解析∵f(x)=cos x-sin x
=-cos ,
3
(方法1)作图如图所示.
易知a max=π.
(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈-,∴a max=π.
答案C
12.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则
-
=()
A.-
B.
C.
-D.
-
解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-
β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=n sin(β+δ)cos(β-δ)+n cos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得
tan(δ+β)+tan(δ-β)=n tan(β+δ)-n tan(δ-β),于是
--
.
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,且函数y=f(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于.
解析因为f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以y=f sin,则有φ++kπ,因此φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=.
答案
14.化简-
---
=.
解析原式=tan(90-2α)·
=-
-
=.
答案
4
15.(2018全国Ⅱ高考)已知tan-,则tan α=.
-
解析∵tan-
=-,
∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.
答案
16.若函数f(x)=2sin x+b cos x在x=处取得最大值,则f(x)在上的最小值等于.
解析依题意有f=2sin +b cos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sin
x+2cos x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.
答案2
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=A sin-
(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.
(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)若f-,求f的值.
解(1)因为函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.
由图象相邻两个对称中心之间的距离为,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是
f(x)=2sin-.
由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),
故其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)由f-=1,可得2sin(θ-π)=,于是sin θ=-,因此f=2sin-
=2sin=-2cos 2θ=4sin2θ-2=-.
18.(本小题满分12分)已知cos-=-,sin-,且α∈,β∈.
求:(1)cos;(2)tan(α+β).
5
解(1)∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,--β<.
∴sin---,
cos---.
∴cos=cos---
=cos-·cos-+sin-·sin--=-.
(2)∵,
∴sin-.
∴tan=-.
∴tan(α+β)=
.
-
19.(本小题满分12分)已知向量a=(cos ωx,1),b=-其中,函数
f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=.
(1)求f的值;
(2)若f-,f-,且α,β∈-,求cos(α-β)的值.
解(1)∵向量a=(cos ωx,1),b=
-=((sin ωx+cos ωx),-1),
∴函数f(x)=a·b=2cos ωx(sin ωx+cos ωx)-1=2sin ωx cos ωx+2cos2ωx-1=sin 2ωx+cos
2ωx=sin.
∵f(x)图象的一条对称轴为x=,
∴2ω×+kπ(k∈Z).
又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,
6
∴f sin=-cos =-1.
(2)∵f-,f-,
∴sin α=,sin β=.
∵α,β∈-,∴cos α=,cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.
解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,
所以f(x)的定义域为x∈R x≠
,k∈Z.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,
即=2(cos2α-sin2α),
整理得
-
=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
因为α∈,所以sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.
由α∈,得2α∈,
所以2α=,即α=.
21.
7
(本小题满分12分)如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B-,∠AOB=α.
(1)求-的值;
(2)设∠AOP=θ,四边形OAQP的面积为S,f(θ)=(-1)2+S-1,求f(θ)的最值及此时θ的值.
=-2,
解(1)依题意,tan α=
-
∴----
=-10.
-
(2)由已知点P的坐标为P(cos θ,sin θ),
又,||=||,
∴四边形OAQP为菱形,∴S=2S△OAP=sin θ,
∵A(1,0),P(cos θ,sin θ),∴=(1+cos θ,sin θ),
∴=1+cos θ,
∴f(θ)=(1+cos θ-1)2+sin θ-1
=cos2θ+sin θ-1
=-sin2θ+sin θ=--.
∵≤sin θ≤1,
∴当sin θ=,即θ=时,f(θ)max=;
当sin θ=1,即θ=时,f(θ)min=1.
22.导学号68254114(本小题满分12分)已知函数f(x)=4sin -cos x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.
解(1)f(x)=4sin-cos x+
8
=4-cos x+=2sin x cos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x
=2sin-.
∴函数f(x)的周期为T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,
得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).
∴f(x)的递增区间为-(k∈Z).
(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin-在上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,
且x1+x2=2×,
故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.
9。