勾股定理的逆定理 同步练习 数学八年级上册

勾股定理的逆定理
一、单选题
1．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（）
A．0.5、1.2、1.3B3、2C．9、40、41D．23、24、25
2．三角形三边之长分别是：①3，4，5；①8，15，17；①9，24，25；①13，12，15．其中能构成直角三角形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在由4 个正方形拼接的图形中，以这10 个点中任意3 个点为顶点共能组成等腰直角三角形的个数为（）
A．8B．18C．16D．32
4．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC ＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（）
A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km
5．在①ABC中，①A、①B、①C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断①ABC是直角三角形的是（）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝b，①C＝45°
C．①A：①B：①C＝1：2：3D．a＝9，b＝40，c＝41
6．如图所示的网格是正方形网格，则①P AB+①PBA（）度（点A，B，P是网格线交点）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
7．在①ABC 中，①A 、①B 、①C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2+c 2，则（ ）
A ．①A ＝90°
B ．①B ＝90°
C ．①C ＝90°
D ．①C ＝①A +①B 8．若①ABC 的三边a ，b ，c ，满足()22220a b a b c -++-=，则①ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9．如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，则ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
10．如图，每个小正方形的边长都是1，A ，B ，C 分别在格点上，则ABC ∠的度数为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．50︒
D ．60︒
11．小明向东走80m 后，沿方向A 又走了60m ，再沿方向B 走了100m 回到原地，则方向A 是（ ） A ．南向或北向 B ．东向或西向 C ．南向 D ．北向
12．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（ ）（“里”是我国市制长度单位，1里500=米）
A ．7.5平方千米
B ．75平方千米
C ．1平方千米
D ．750平方千米
二、填空题
13．一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为___________．
14．如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1，则ABC的面积为______．
15．如图，①ABC的边AB、AC的垂直平分线PF、QD相交于点E，分别交BC于点F，D．若BF＝10，DF＝6，CD＝8，则①ABC的面积为______________．
16．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口C，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行16n mile，乙客轮小时航行12n mile，它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处，且相距30n mile．如果知道甲客轮沿着北偏西45 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是______．
17．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形_________．（填“能”或“不能”）
三、解答题
18．判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）7,24,25a b c ===；
（2）4,5a b c ===；
（3）53,1,44
a b c ===； （4）40,50,60a b c ===．
19．如图，四边形ABCD 中，AB =8，AD =6，CD =5，CB ∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．
20．如图所示，在ABC 中，9cm,12cm,15cm AB BC CA ===，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，BPQ 的面积为多少？
21．如图，在ABC 中，90,8,6,C AC BC DE ∠=︒==是ABD △的边AB 上的高，E 为垂足且
AD BD ==
（1）试判断ABD △的形状，并说明理由．
（2）求DE 的长．
22．（1）如图，在ABC 中，AB =D 为BC 上一点，3AD BD ==，在DA 上截取DF DC =，连接BF 并延长交AC 于点E ．
（1）请判断ABD △的形状，并说明理由；
（2）求证：BDF ADC ≌．
参考答案
1．D
解：①2220.5 1.2 1.3+=， 22232=+， 22294041+=，
①A 、B 、C 选项均不符合题意，
①()()()222
222345+≠，
①以23、24、25为边长的边不能组成直角三角形，
故选：D ．
2．B
解：①①32+42＝52，①能构成直角三角形；
①①82+152＝172，①能构成直角三角形；
①①92+242≠252，①不能构成直角三角形；
①①122+132≠152，①不能构成直角三角形；
①能构成直角三角形有①①，
故选：B ．
3．D
解：任意两点连线中可构成直角三角形的有三种情况，
①直角边长为1的等腰直角三角形有18个，
①10个，
①直角边长为2的等腰直角三角形一共有2个，
①2个，
综上所述，一共有18102232+++=个．
故选D
4．A
解：过B 作BD ①AC ，垂足为D ，
①62＋82＝102，
①BC 2＋AB 2＝AC 2，
①①ABC ＝90°，
S ①ACB ＝12AB •CB ＝12AC •BD ，
1
2×6×8＝1
2
×10×DB ， 解得：BD ＝4.8，
①学校B 到公路的最短距离为4.8km ，
故选：A ．
5．B
解：A.由题可得：2223+4=25=5满足勾股定理，
ABC ∴是直角三角形，故A 选项正确；
B.a b =，
A B ∴∠=∠， 由三角形内角和定理得：180-45==62.52
A B ︒︒∴∠=∠︒， ABC ∴不是直角三角形，故B 选项错误；
C.::1:2:3A B C =，
∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=，
由三角形内角和定理得：23180x x x ++=︒，
解得：30x =︒，260x =︒，390x =︒，
ABC ∴是直角三角形，故C 选项正确；
D. .由题可得：2229+40=1681=41满足勾股定理，
ABC ∴是直角三角形，故D 选项正确．
故选：B ．
6．B
解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，
则PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，
①PD 2+DB 2=PB 2，
①①PDB =90°，
①①DPB =①P AB +①PBA =45°，
故选B ．
7．A
解：①a 2＝b 2+c 2
①①A ＝90°
故选A ．
8．C
解：①2222(0)||=a b a b c ++－－，
①a -b =0且a 2+b 2-c 2=0，
①a =b 且a 2+b 2=c 2，
①①ABC 是等腰直角三角形，
故选C ．
9．A
解：①正方形小方格边长为1，
①BC 22442，
AC
AB
=
在①ABC 中，
①BC 2＋AC 2＝32＋18＝50，AB 2＝50，
①BC 2＋AC 2＝AB 2，
①①ABC 是直角三角形．
故选：A ．
10．B
解：连接AC ，
由勾股定理得：AC =BC =AB
①AC 2+BC 2=AB 2=10，
①①ABC 为等腰直角三角形，
①①ABC =45°，
故选B ．
11．A
解：设小明一开始的位置为O ，向东走到的位置为C ，沿A 方向走到的位置为D ， ①由题意得OC =80m ，CD =60m ，OD =100m ，
①2222226080100OC CD OD +=+==，
①①OCD =90°，
①OC 的方向为东，
①CD 的方向为南或北，即A 的方向为南或北，
故选A ．
12．A
解：①22512169+=，213169=
∴22251213+=，
①三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
①这块沙田面积为：1
2
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．
13．150
解：①22215+20=225+400=625=25，
①这个三角形是直角三角形
①这个三角形的面积1=1520=1502S ⨯⨯． 故答案为150．
14．13
解：
2222313AC =+=，2226452AB =+=，228165BC =+=,
222AC AB BC ∴+=AC AB ===，
∴ABC 为直角三角形，
11
=1322
ABC S AC AB ∴⋅⋅=△． 故答案为：13．
15．96
解：连接AF ，AD ，
①①ABC 的边AB 、AC 的垂直平分线PF 、QD 相交于点E ， ①AF =BF ，AD =DC ，
①BF =10，CD =8，
①AF =10，AD =8，
①DF =6，
①DF 2+AD 2=AF 2，
①①ADF =90°，
①BC =BF +DF +DC =10+6+8=24，
①S ①ABC =1
2×BC ×AD =1
2
×24×8=96． 故答案为：96．
16．北偏东45︒（东北方向）
解：由题意可知：16 1.524n mile AC =⨯=，12 1.518n mile BC =⨯=，n l 30mi e AB = 145∠=︒
①222241830+=，即222AC BC AB +=
①ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒
①245∠=︒，即乙客轮的航行方向为北偏东45︒（东北方向）
故答案为：北偏东45︒（东北方向）
17．能
解：由勾股定理得：
BC =
AC =由题意可得：5AB =
①2225+=，即222BC AC AB +=
①ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒
故答案为：能
18．（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是
解：（1）7,24,25a b c ===，()()2222524252449,49c b a -=+-==， 222a b c ∴+=，
∴线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形；
（2）4,5a b c ===，22241,162541a b c =+=+=，
222a b c ∴=+，
∴线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形；
（3）53,1,44a b c ===，22225925,1161616
a b c =+=+=， 222a b c ∴=+，
∴线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形；
（4）40,50,60a b c ===，
22160025004100a b +=+=，23600c =，
222a b c ∴+≠，
∴线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形；
19．49
解：在Rt DAB ∆ 中，10BD ,
5CD = ,CB = ,
22125CD BD ∴+= ,2125CB = ,
则222CD BD CB += ,
90CDB ∴∠=︒ ,
∴ 四边形ABCD 的面积1122
AD AB CD BD =⨯⨯+⨯⨯ , 116851022
=⨯⨯+⨯⨯ , 49= ．
20．218cm 解：AB ＝9cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ， ①AB 2+BC 2＝AC 2，
①①ABC 是直角三角形，
过3秒时，9316BP =-⨯=cm ，BQ ＝2×3＝6cm ， 11661822
BPQ S BP BQ ∴==⨯⨯=2cm ， 故过3秒时，①BPQ 的面积为218cm ．
21．（1）①ABD 是直角三角形；（2）4．
解：（1）①在ABC 中，90,8,6C AC BC ∠=︒==，
根据勾股定理AB 10，
①((222222+208010010AD BD AB =+=+===， ①①ABD 是直角三角形； （2）①DE 是ABD △的边AB 上的高，
①S ①ABD =
1122AD BD AB DE ⋅=⋅，
①4AD BD DE AB ⋅==． 22．（1）等腰直角三角形；见解析；（2）见解析 解：（1）ABD △是等腰直角三角形．理由如下：
①2222223318,18AD BD AB +=+===， ①222AD BD AB +=．
①ABD △是直角三角形，90ADB ∠=︒（勾股定理的逆定理）． ①AD BD =，
①ABD △是等腰直角三角形．
（2）证明：由（1）可得90ADB ADC ∠=∠=︒．
①,BD AD FD CD ==， ①BDF ADC ≌．。