(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练9 立体几何 文

8＋6分项练9 立体几何
1．(2018·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．a∥b，b⊂α，则a∥α
B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．α∥β，a⊂α，则a∥β
答案 D
解析由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，
在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．
2．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )
答案 A
解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，
平面AFC1E为截面．如图所示，
所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.
3．(2018·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长
为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为( )
A ．13π
B ．12π
C ．11π
D ．23π 答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心． 圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π， 下底面面积为π×22
＝4π， 圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.
所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.
4．(2018·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
233 B.152 C.47
6
D ．8 答案 A
解析 根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的， 记正方体为ABCD －A 1B 1C 1D 1，取A 1D 1的中点M ，取D 1C 1的中点N ， 该几何体就是正方体切去一个三棱锥D －MND 1之后剩余的部分， 故其体积为V ＝23
－13×12×1×1×2＝233
.
5．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )
A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③
答案 B
解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD ，ADC 与底面垂直，由图二可得面ACE 垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直．
6.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )
A ．AC ⊥S
B B ．AB ∥平面SCD
C ．SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 答案 D
解析 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确．
7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即
立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3
16
3
V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A ．d ≈
3
6031V B ．d ≈3
2V
C ．d ≈3158
V D ．d ≈
3
2111
V 答案 D
解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3
＝43π⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 23，
得d ＝
3
6V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6b
a
，
选项A 代入得π＝31×6
60＝3.1，
选项B 代入得π＝6
2＝3，
选项C 代入得π＝6×8
15＝3.2，
选项D 代入得π＝11×6
21＝3.142 857，
D 选项更接近π的真实值，故选D.
8．已知四边形ABCD 为边长等于5的正方形，PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( ) A.125
24π B ．25π C.125
6
π D.1252
π 答案 B
解析 因为PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，
所以QC ⊥平面ABCD ，且异面直线QD 与PA 所成的角即∠DQC ， 所以∠DQC ＝30°， 又CD ＝5，所以QC ＝15. 由于CB ，CQ ，CD 两两垂直，
所以四棱锥Q －ABCD 的外接球的直径就是以CB ，CQ ，CD 为棱的长方体的体对角线，设四棱锥Q －ABCD 外接球的半径为R ，
则R ＝52，所以外接球的表面积为4π·⎝ ⎛⎭
⎪⎫522
＝25π.
9．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为________． 答案
294
解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ， 取GH 的中点O ，连接OA ， 由题意，得A 1B 2
1＋B 1C 2
1＝A 1C 2
1， 即△A 1B 1C 1为直角三角形，
则点O 为外接球的球心，OA 为半径， 则R ＝OA ＝
1＋254＝292
；
如图2，作三棱柱的中截面，
则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，
中截面三角形的内切圆的半径r ＝3＋4－5
2＝1，也是内切球的半径，
因为R ∶r ＝29∶2，
则其外接球与内切球的表面积的比值为4πR 2
4πr 2＝
29
4
.
10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，E 为AA 1的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H ＝3HC ，则线段FH 的长为________．
答案
13
解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝1
2AB ＝4，
又
A 1H HC ＝A 1D
DA
＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34
AC ＝3，由余弦定理得
FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13.
11.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．
答案 2
解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt△PAC 中，AC ＝12AB ＝1
2PA ，
所以tan∠PCA ＝PA AC
＝2.
B 1
C 1所成的角为________．
答案 60°
解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则∠A 1CB 就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则BA 1＝AA 2
1＋AB 2
＝2，CA 1＝AA 2
1＋AC 2
＝2，所以△BCA 1是正三角形，故异面直线所成的角为60°.
13．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O 的球面上，且球心O 在正三棱台ABC －A 1B 1C 1内，则球O 的表面积为________． 答案 100π
解析 因为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底边长分别为33，43， 取正三棱台的上、下底面的中心分别为E ，E 1， 则正三棱台的高为h ＝EE 1＝7，
在上下底面的等边三角形中， 可得AE ＝23AD ＝3，A 1E 1＝2
3
A 1D 1＝4，
则球心O 在直线EE 1上，且半径为R ＝OA ＝OA 1， 所以OE 2
＋32
＝OE 2
1＋42
，且OE ＋OE 1＝7， 解得OE ＝4，所以R ＝OE 2
＋32
＝5， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.
14．已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为
256π
3
，则三棱锥O —ABC 的体积是________． 答案
54
解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3， ∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π
3
，解得R ＝4.设△ABC 外接圆
∴OG ＝R 2
－GA 2
＝42
－12
＝15， ∴三棱锥O —ABC 的体积为
V 2＝13S △ABC ·OG ＝13×
34×15＝54
.。