高中数学 2.4 向量的数量积(3 )教案 苏教版必修4

一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解； 四、教学过程： （一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质； 2．判断下列各题正确与否：
①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有2
2||a a =． ( √ ) （二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅
证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ∴a b b a ⋅=⋅．
2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，
()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，
若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，
()||||cos a b a b λλθ⋅=，
()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．
3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即OB ）在c 方向上的投影等于,a b
在c 方向上的投影和，
即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，
∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 4． 例题分析：
例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

解：由题意可得：(3)(75)0a b a b +⋅-= ⇒ 2
2
716150a a b b +⋅-= ① (4)(72)0a b a b -⋅-= ⇒ 2
2
73080a a b b -⋅+= ②
θ θ1
θ2
a
b
A
B
O
C
c
两式相减得：22a b b ⋅⋅=， 代入①或②得：22
a b =，
设,a b 的夹角为θ，则221
cos ||||2||2
a b b a b b θ⋅===
∴60θ=，即a 与b 的夹角为60．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

证明：如图： ABCD ，DC AB =，BC AD =，AC AB AD =+， ∴22
22||||2AC AB AD AB AD AB AD =+=++⋅， 而BD AB AD =-，
∴22
22
||||2BD AB AD AB AD AB AD =-=+-⋅，
所以，2||AC + 2||BD
= 2
2
22AB AD += 2222||||||||AD DC BC AB +++．
例3 ,a b 为非零向量，当a tb +()t R ∈的模取最小值时，
①求t 的值； ②求证：b 与a tb +垂直。

解：①2222
||||||2a tb a t b t a b +=++⋅⋅，
∴当22
22||a b a b
t b b
⋅⋅=-
=-时, ||a tb +最小； ②∵2
2
()0a b b a tb a b b b
⋅⋅+=⋅-⋅=，
∴b 与a tb +垂直。

例4 如图，,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点。

证：设,BE CF 交于一点H ，,,AB a AC b AH h ===, 则,,BH h a CH h b BC b a =-=-=- ∵,BH AC CH AB ⊥⊥
∴()0
()0
h a b h b a ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩得()()h a b h b a -⋅=-⋅，
即()0h b a -=， ∴AH BC ⊥，
又∵点D 在AH 的延长线上，∴,,AD BE CF 相交于一点。

五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。

六、作业： 课本119P 习题5.6 第2，4题。

补充：1．向量,a b 的模分别为2,1，,a b 的夹角为30，求3a b -的模；
2．设,a b 是两个不相等的非零向量，且||||||a b a b ==-，求a 与a b +的夹角。

3．设28,816a b i j a b i j +=--=-+，,i j 是相互垂直的单位向量，求a b ⋅．
A B
D C
A
B C
D
E
F H。