2023-2024学年黑龙江省大庆市高二下册开学考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年黑龙江省大庆市高二下册开学考试数学模拟试题
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

）
1．椭圆2211625
+=x y 的焦点坐标是（
）
A．(0,3),(0,3)-B．(3,0),(3,0)
-C．(0,5),(0,5)
-D．(4,0),(4,0)
-
2．数列的一个通项公式是（）
A．
()2
1019
n -B．101
n -C．()
2101
n
-D．108
n -【正确答案】A 【分析】
利用999 与10n 的关系确定9,99,999,9999, 的通项，然后得出题设结论．【详解】
先写出9,99,999,9999, 的通项是101n -，
∴数列2,22,222,2222, 的通项公式是()2
1019
n n a =
-．故选：A．
3．已知圆22210x y x +--=，则其圆心和半径分别为（）
A．()1,0,2
B．()1,0,2
-C．()1,0D．()1,0-3．C
【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.
【详解】圆的方程可整理为()2
212x y -+=，所以圆心为()1,0.
故选：C.
4．在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==，则5a 等于（
）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【详解】在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==,则
285552,228,14a a a a a =∴=∴=+，故选：B
5．若两直线()1:1320l a x y ---=与()2:120l x a y -++=平行，则a 的值为()
A．2
±B．2
C．2
-D．0
由题意知：(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，整理得240a -=，∴2a =±，故选：A 6．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当{}n a 的前n 项和的最大时，n 的值为（）
A．7
B．8
C．9
D．8或9
【正确答案】B
因为789830a a a a ++=>，所以80a >，因为710890a a a a +=+<，所以90a <，所以当{}n a 的前n 项和的最大时，n 的值为8.故选：B.
7．已知点(P -在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线上，则双曲线的离心率为
（）
B．2
7．D
【分析】将P 点坐标代入渐近线方程，求出a 与b 的关系，再根据222c a b =+求出离心率.【详解】渐近线方程为：b y x a
=±
，由于P 点坐标在第二象限，选用b
y x a =-，
将P ()2,2b b a a =-⨯-∴=，又
2
2
2
2
2
2
2222377,,,444c c a b c a a a e e a =+∴=+====
；故选：D.
8．已知抛物线28y x =，定点A(4，2)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）
A．5B．6
C．7
D．8
【正确答案】B 如图，
作PQ，AN 与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N ，则|PQ|=|PF|，
|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6，当且仅当Q，P，A 三点共线即P 到M 重合时等号成立．故B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部答对得5分，部分答对得2分，有选错给0分。

）
9．关于直线l 310y －－＝，下列说法正确的有(
)．33
C．倾斜角为60°D．在y 轴上的截距为1
【正确答案】BC
对于3，－2)代入l 310x y －－＝，可知不满足方程，故A 不正确；对于310x y －－＝，可得31y x ＝－，所以k 3B 正确；对于C，由3k =，即tan 3α＝60°，故C 正确；
对于310x y －－＝，可得31y x ＝－，直线在y 轴上的截距为－1，故D 不正确.故选BC.
10．已知正项等比数列{}n a 中12a =，5342a a a -=，设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）
A．2q =B．2n
n a =C．102047
S =D．12
n n n a a a +++<【正确答案】ABD
因为5342a a a -=，所以423
1112a q a q a q -=，即220q q --=，解得2q =或1q =-，
又0q >，所以2q =，所以A 正确；
数列{}n a 的通项公式为112n n
n a a q -==，所以B 正确；
()10111021222204612
S -=
=-=-，所以C 不正确；
由2n n a =，得112232n n n n n a a +++=+=⋅，22242n n
n a ++==⋅，
所以12n n n a a a +++<，所以D 正确．故选:ABD
11.已知双曲线22
22:1(0)x y M a b a b
-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正
确的是（）
A．M B．M 的标准方程为2
2
1
3
y x -=
C．M 的渐近线方程为3
y =±D．直线20x y +-=经过M 的一个焦点
11．ACD
【分析】0a b >>可求得双曲线方程，再逐个辨析即可
【详解】根据题意双曲线22
22:1(0)x y M a b a b
-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，
有2224a b c +==，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60︒，
则过一三象限的渐近线的斜率为
或
，即b a =或3
b a =，②联立①②可得：21a =，23b =，24
c =或23a =，21b =，24c =；
因为a b >，所以2
3a =，2
1b =，2
4c =，故双曲线的方程为2
21
3
x y -=
对A，则离心率为
=
，故A 正确.对B，双曲线的方程为2
213
x y -=，故B 错误；
对C，渐近线方程为3
y =±
，故C 正确；对D，直线20x y +-=经过M 的一个焦点(2,0)，所以D 正确.故选：ACD
12．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有(
)．
A．公共弦AB 所在直线方程为x －y ＝0B．线段AB 中垂线方程为x ＋y －1＝0C．公共弦AB 的长为
22
D．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为212
【正确答案】ABD
对于A，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2
＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线方程为x －y ＝0，故A 正确．
对于B，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1，0)，
AB
＝1则线段AB 中垂线斜率为－1，即
线段AB 中垂线方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确．
对于C，圆O
1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1，0)到x －y ＝0的距离为d ，
半径r ＝1，所以AB ∣＝∣C 不正确．
对于D，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1，0)到x －y ＝0的距离为d r ＝1，
即P 到直线AB 1，故D 正确．故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效。

）
13．若曲线24y x =上一点P 到焦点的距离为4，则点P 到y 轴的距离为______.【正确答案】3
【分析】根据抛物线定义，可得点P 到抛物线准线1x =-的距离，进而即得.【详解】因为点P 到焦点的距离为4，所以点P 到抛物线准线1x =-的距离为4，所以点P 到y 轴的距离为3.故3.
14．在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，=14
2a a 则______.
【正确答案】4
在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，
所以3
481288a a a a ==，所以82a =，2
41284a a a ==，
15．以()11,0F -为焦点的椭圆()22
2103
x y a a +=>上有一动点M ，则1MF 的最大值为
___________.
【详解】因为()11,0F -为椭圆()22
2103
x y a a +=>的焦点，
所以23a >，1,c b ==
所以由2
2
2
2
2
2
2
2
14a b c a c b -=⇒=+=+
=，
所以椭圆的标准方程为：22
143
x y +=，
如图所示：
因为()11,0F -为椭圆的左焦点，M 为椭圆上的动点，故当M 处于右顶点A 时1MF 最大，且最大值为1213MF a c =+=+=，故3.
16．数列{}n a 满足11a =，()
*
13N n n a a n n ++=∈，则2020a =___________.
16．3029
【分析】由题可得23n n a a +-=，进而可得{}n a 的偶数项构成等差数列，然后根据通项公式即得.
【详解】因为()
*
13N n n a a n n ++=∈，11a =，
所以123a a +=，22a =，
由13n n a a n ++=，可得()1231n n a a n +++=+，所以23n n a a +-=，
所以{}n a 的偶数项构成等差数列，首项为2，公差为3，∴2020210093230273029a a =+⨯=+=.故答案为.3029
四、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，且312S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)2n a n =(2)44
n n T n =
+（1）因为312S =，所以()
1322331322
,4a a S a a =∴+=
==，又36a =，则等差数列{}n a 的公差642d =-=又1422a =-=，
所以数列{}n a 的通项公式2(1)22n a n n =+-⨯=.（2）因为1111
()2(22)41
n c n n n n =
=-++，
所以1211111111(1(1)422314144
n n n T c c c n n n n =+++=
-+-++-=-=+++ .18．已知抛物线2:2(0)C y px p =<过点(2,4)A --．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60︒的直线，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 的长度．18．(1)28y x =-，2x =(2)
32
3
【分析】（1）将A 点代入抛物线方程即可求得C 的方程，由抛物线方程可得准线方程；
（2）设):2AB y x =+，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.
【详解】（1）()2
20y px p =< 过点()2,4A --，416p ∴-=，解得：4p =-，
∴抛物线2:8C y x =-，准线方程为：2
x =（2）由（1）知：抛物线焦点为()2,0-，因为直线倾斜角为60︒，
所以设直线):2AB y x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由)228y x y x
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得：2320120x x ++=，12203x x ∴+=-，
122032
433
AB x x p ∴=++=-
-=.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，
42a b =，4212S T -=．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和．
．【正确答案】（1）21,3n
n n a n b =+=；（2）(
)331(2)2
n n n -++
.
（1）由11a b =，42a b =，
则4212341223()()12
S T a a a a b b a a -=+++-+=+=设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =.所以32(1)21
n a n n =+-=+设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3n
n b =；
（2）(21)3n n n a b n +=++，
所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()
n n a a a b b b +++++++ 2
(3521)(333)n
n =++++++++ (321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)
(2)2
n n n -=++.20．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面
,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．
(1)求证：EF ∥平面VAD ；
(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小20．(1)证明见详解；(2)π3
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF
与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.
【详解】（1）
如图建系，()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
，，，，，，，，，，，，()()100,001DA DV ∴== ，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c 所以0
,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩
不妨取()=0,1,0,n 又11
1,0,,100100,
22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝
⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；
（2）由（1）知：()()(
)()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-
,设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()
2=,,n p q r
所以110
,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
不妨取()1=1,0,1;
n
同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩
不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2
θθ≤≤
所以121πcos cos ,,.23n n θθ==
=∴= 21．已知圆P 过两点M (0，2)，N
P 在直线y ＝x 上．
(1)求圆P 的方程；
(2)过点Q (－1，2)的直线交圆P 于A ，B 两点，当｜AB
｜＝时，求直线AB 的方程．【正确答案】(1)x 2
＋y 2
＝4
(2)3x ＋4y －5＝0或x ＝－1．
(1)因为圆P 过点M (0，2)，N
MN 的中垂线也过圆心，线段MN 的中点
为32⎫⎪⎪⎝⎭，直线MN 的斜率
为k ，得线段MN 的中垂线方程
为3322y x ⎭
－
，即y ．所以圆心坐标为(0，0)，得圆P 的方程为x 2＋y 2
＝4．(2)由｜AB ｜
＝，根据垂径定理，可得圆心(0，0)到直线AB 的距
离1d ．
若直线斜率存在，可设直线AB 方程为y －2＝k (x ＋1)，
由1d ，解得3
4＝－k ，得直线方程为3x ＋4y －5＝0；
若直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－1，符合条件．综上，所求直线方程为3x ＋4y －5＝0或x ＝－1．
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>
的右焦点和上顶点均在直线0x y +上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知点()2,1A ，若过点()3,0B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .直线AM 和直线
AN 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k +为定值.
22．(1)22
163
x y +=，
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，可得椭圆的右焦点和上顶点，从而可求出,c b ，再由222a b c =+求出2a ，进而可得椭圆方程，
（2）设直线方程为1122(3),(,),(,)y k x M x y N x y =-，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用根与系数的关系，然后表示出1k 和2k ，再计算12k k +即可.
【详解】（1
）对于直线0x y +=，当=0x
时，y =，当=0y
时，x =
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线0x y +上，
所以b c ==，
所以2226a b c =+=，所以椭圆方程为22
163
x y +=，（2）因为()3,0B 在椭圆外，过点()3,0B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点，所以直线l 的斜率一定存在，
所以设直线l 方程为(3)y k x =-，设1122(,),(,)M x y N x y ，由22=(3)+=163
y k x x y -⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(12)121860k x k x k +-+-=，42221444(12)(186)24240k k k k ∆=-+-=-+>，得11k -<<，
22121222
12186,1212k k x x x x k k -+==++，因为1111113122AM y kx k k k x x ---==
=--，2222213122AN y kx k k k x x ---===--，所以121212313122kx k kx k k k x x ----+=
+--122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=
--1212121212[25()12]()4
2()4
k x x x x x x x x x x -++-++=-++22222222
22
1861212[2512]412121************k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+-++++=--⋅+++2244222k k -+==--。