试题

C
清远盛兴中英文学校中学部2014—2015学年度第一学期
十月月考高三年级数学试题（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设}4,2{},5,1{},5,4,3,2,1{===B A U ，则=A C B U （ ）
A. }4,3,2{
B. }2{
C. }4,2{
D. }5,4,3,1{
2．函数()
()
1
ln 1f x x =
+ ）
A.[)(]2,00,2-
B.()(]1,00,2-
C.[]2,2-
D.(]1,2-
3．若θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( )
A ．sin θ2
B ．cos θ2
C ．tan θ
2
D ．cos 2θ
4．下列函数中，既是偶函数，又在()+∞,0
上单调递增的函数是（ ）
A
B.
C. D. x y sin =
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设函数⎩⎨⎧=为无理数
为有理数
，x ，x x D 01)(，关于函数)(x D 有以下四个结论：①)(x D 值域为[0，1]；
②)(x D 是周期函数；③)(x D 是单调函数；④)(x D 是偶函数；其中正确的结论个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知函数f (x )＝a x
＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a
＝3,3b
＝2，则n
的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
8. 如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段
为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A. 321122x x y x --=
B. 3211
223x x y x =+- C. 314y x x =- D. 32
1142
2x x y x =+-
9．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）
10．如果函数()f x 满足：对定义域中的任意三个数,,a b c ，都有(),(),()f a f b f c 是一个三角形
三边的长，则称()f x 为“保三角形函数”.在下列函数：①||y x =;②2x y =;③1
(12)y x x x
=+≤≤;
④32432(01)y x x x =-+≤≤中，“保三角形函数”的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选
做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分．
11．2()()f x x x c =-在1x =处有极小值，则实数c 为 . 12．已知1cos 7α=
，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，
则cos β= ． 13．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3
R ∈=θπ
θ 的
距离是 .
15. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,
延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若
8=AB ,4=DC 则DE =_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 . （本小题满分12分）
已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（1）求函数()f x 的最小正周期；（6分）
（2）若∀x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2，都有f (x )－c ≤0，求实数c 的取值范围．（6分）
17. （本小题满分12分）某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高
一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）根据图中数据求a 的值
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，
5组各抽取多少名新生？
（3）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，
求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
18. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.
(1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值
19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝A si n(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π
2一个周期的
图像如图所示．
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)若f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝24
25
，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．
20．（本小题满分14分）已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 4＝65，
a 1＋a 5＝18.
(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；
(2)设b n ＝n
(2n ＋1)S n
，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n
均成立？若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分14分）已知函数()()2
12ln 2,2
f x x a x a x a R =
-+-∈. （1）当1a =时，求函数()f x 图象在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；
（3）是否存在实数a ，对任意的()()()
21121221
,0,f x f x x x x x a x x -∈+∞≠>-且有
恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.
频率/组距时间 （分钟）0.035
0.03a 0.010.005
50
40
30
20
10
频率/组距 时间（分钟）
清远盛兴中英文学校中学部2014—2015学年度第一学期
十月月考高三年级数学试题（文科）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共
5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做
一题，两题全答的，只计算前一题得分． (一)必做题（11～13题） 11、1 12、
1
2
13、0
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、1 15、2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16 . 解：（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+ 4分
所以函数()f x 的最小正周期为π …………6分
（2）因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，…10分 又(0)1,2,162f f f ππ⎛⎫
⎛⎫
===-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为2，最小值为-1 …………11分 故2f(x)c max =≥。

…………12分
17. 解：（Ⅰ）因为(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=, ………1分
所以0.02a =. ………2分 （Ⅱ）依题意可知，
第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=.
所以3、4、5组人数共有60. ………3分 所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为
61
6010
=. ………4分 所以在第3组抽取的人数为1
30310⨯=人 ，
在第4组抽取的人数为1
20210⨯=人，
在第5组抽取的人数为1
10110
⨯=人， ………7分
（Ⅲ）记第3组的3名新生为123,,A A A ,第4组的2名新生为12,B B ,第5组的1名新生为1C .
则从6名新生中抽取2名新生，共有:
121311121123212221(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C
313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A C B B B C B C ,共有15种. …………9分
其中第4组的2名新生12,B B 至少有一名新生被抽中的有:
11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3132121121(,),(,),(,),(,),(,)A B A B B B B C B C
共有9种, ……11分 则第4组至少有一名新生被抽中的概率为93
155
P =
= ……12分
18.解：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝3ax 2＋b ， …… …………1分
由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，…… …………3分 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－12.…… …………5分
经检验符合题意．故a ＝1，b ＝－12. …… …………6分． (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，
得x 1＝－2，x 2＝2. …… …………8分 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．…… …………10分 由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. …… …………12分 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，
因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. …… …………14分
19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π
2一个周期的图像如图所示． (1)求函数f (x )的表达式；
(2)若f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝24
25，且α为△ABC 的一个内角，求sin α＋cos α的值．
20．解：(1)∵{a n }为等差数列，
∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， …… …………1分 又a 2·a 4＝65，
∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又数列{a n }的公差d >0，
∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. …… …………3分 ∴⎩⎨⎧
a 1＋d ＝5，
a 1＋3d ＝13，
∴a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. …… …………5分 ∵1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，
∴a1·a21＝a2i，
即1×81＝(4i－3)2，
解得i＝3.………………7分
(2)由(1)知，S n＝n·1＋n(n－1)
2·4＝2n
2－n，
∴b n＝1
(2n－1)(2n＋1)＝
1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2n－1
－
1
2n＋1，………………9分
b1＋b2＋…＋b n
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1－
1
3＋
1
3－
1
5＋…＋
1
2n－1
－
1
2n＋1
＝
n
2n＋1
. ………………12分
∵
n
2n＋1
＝
1
2－
1
2(2n＋1)
<
1
2，
∴存在m＝1
2使b1＋b2＋…＋b n<m
对于任意的正整数n均成立．………………14分
③当－a>2，即a<－2时，∵0<x<2或x>－a时，f′(x)>0；
2<x<－a时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减…………9分
(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1<x2.
由21
21
()()
f x f x
a
x x
-
>
-
知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，
令g(x)＝f(x)－ax＝
1
2x
2－2a ln x－2x，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g′(x)＝x－
2a
x－2≥0，
即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立．
∴a≤－
1
2，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为⎝⎛⎦⎤
－∞，－
1
2.…………14分。