微专题：隐零点四种形式课件-2024届高三数学二轮复习

变式2：已知函数 =

,

= ln
1
(1) 当 > 0 时, 讨论函数 = − − 的单调性;

(2) 当 > 1 时, 求证: () − () > ( − 1) + 1
变式3设函数 = − − 2
(1) 求 的单调区间;

+ ln0 = 0 0 = 0 −
≥1
ln0 +1
0
, 很显然代换不到最简单状态, 采用同构思想;02 0 + ln0 = 0 ⇒ 0 0 =
0 0 =
1
0
ln
0
得出: 0 =
1
1
0
0
⇒ 0 0 = ln
1
ln ,
0
从而再设而不求带入原函数, 得证;
−ln0
0
⇒
变式1.已知函数 = ln − ∈ , = − 2
(1) 若 有唯一零点, 求 的取值范围;
(2) 若 − ≥ 1 恒成立, 求 的取值范围
类型三隐零点换参
例1已知函数 = ln +

(1) 若 () ≤ ( + 1) + ( > 0, ∈ ), 求 的最小值;
3 2 3
答案: (1)
4
3
2
3 2
(2) +
2
4

2
2 3
3 4
上有解;
的最大值为 , 求 的最小值;
方法点睛：(2) ′() = cos + sin, ′′() = cos − ( − 1)sin < 0, ′() ↓
− sin0
cos0 + 0 sin0 = 0 秒就妙在此处: = 0
综合练习1
已知二次函数 = 2 + 2
(1) 讨论函数 = + ln + 1 的单调性;
1

(2) 设函数 ℎ = − , 记 0 为函数 ℎ 极大值点, 求证: < ℎ(0 ) < 2
4
练习2。已知函数 = 2 − + 1 ⋅ , 且 ≥ 0


(2) 若函数 () = − ()( > 0) 在 = 0 处取得极小值,
且 (0 ) > 0, 证明: 0 < 0 < 1
变式1.已知函数 = −2 + ln + 2 − 2 − 22 + , 其中 > 0
(1) 设 是 的导函数, 讨论 的单调性;
微专题：隐零点四种形式
类型一: 常规设而不求
例1已知函数 = − ln +
(I) 设 = 0 是 的极值点, 求 , 并讨论 的单调性:
(II) 当 ≤ 2 时, 证明 () > 0.
方法点睛: 放缩: ≤ 2, − ln + ≥ − ln + 2
即可得:
2
2
3 2
+
4
变式1讨论函数 =
−2

+2
的单调性, 并证明当 > 0 时, ( − 2) + + 2 > 0;
(II) 证明: 当 ∈ 0 1 时, 函数 () =
ℎ , 求函数 ℎ 的值域.

−−
2
( > 0) 有最小值. 设 的最小值为
1



即证: − ln( + 2) > 0, 令 = − ln + 2 , ≥ −2 : ′ = −
, 此处导函数
+2
零点不可求, 导函数递增, 且 ′(−1) < 0, ′(0) > 0, 故导函数存在唯一零点 0
即: ′ 0 = 0, 从而 在 −1 0 ↓ 0 +∞ ↑,
(1)求 ：
(2)证明: 存在唯一的极大值点 0 , 且 −2 < (0 ) < 2−2 .
变式3.证明: 当 > 0, 2 − ln > 1
类型二 隐零结合同构思想

例1：证明: 当 > 0, −
解析: ′ 0 = 0, 0

2 0

ln+1
(0 ) =
+ 0 , (0 ) =
>0
0 + 2
0 + 2
变式1.设函数 = 2 − ln
(I) 讨论 的导函数 ′ 的零点的个数:
2
(II) 证明: 当 > 0 时 ≥ 2 + ln

变式2.已知函数 = 2 − − ln, 且 ⩾ 0.
故 ≥ 0 = 0 − ln 0 + 2
但是, 此时原函数依然超越函数, 肉眼看不出与 0 大小。
1

0
点睛之名: 利用 ′ 0 = 0, 即: −
= 0 简化。
将超越部分用 “幂形式” 代换:
1
0
即: =
, ln 0 + 2 = −0
0 +2
0 +2
1
(0 + 1)2
= 0 , 此处可由一问得 0
cos0
的具体范围, 隐零点范围通常是估值, 而此处亮点在于确定范围, 也是本题精华
所在;
而最小值为: = = 1 −
0
,ℎ
cos0
↓ 0 范围确定, 带入 ℎ
3
4
0 sin0
cos0
sin0 − 0 cos0 = sin0 −
（2）证明: 存在 ∈ 0 1 , 使得 ≥ 0 在区间 1 +∞ 内恒成立, 且
= 0 在 1 +∞ 内有唯一解
类型四.隐零点定区间
−sin
例1 已知函数 =
, 且方程 − = 0 在
cos
(1) 求实数 的取值范围:
(2) 设函数 = + 1 sin − cos, ቀ ∈
(2) 若 = 1, 为整数, 且当 > 0 时, ( − )′() + + 1 > 0, 求 的最
大值.
1

变式4设函数 = + ln ∈ .
(1) 当 = 时, 求函数 的单调区间;
(2) 当 > 0 时, 求证: ≥ 2 − ln .