图神经网络的数学基本原理

图神经网络的数学基本原理
图神经网络（Graph Neural Networks，简称GNNs）是一种新
兴的深度学习模型，主要用于处理图数据。

相比于传统的深度神经网络，GNNs能够处理任意形状和大小的图数据，因此在
图像分类、语义分割、推荐系统等领域大放异彩。

GNNs的数学基本原理是图嵌入（graph embedding），它的目
标是将图中的节点和边嵌入到一个低维向量空间中。

这可以使得我们可以用向量的方式描述图中的节点和边，从而在这个空间中进行运算。

为了实现图嵌入，GNNs会对每一个节点进行聚合（aggregation）操作，它的目的是将当前节点与周围节点的信
息进行汇总。

在这个聚合过程中，我们需要注意以下几个问题：
1. 信息的传递
图中的每个节点都可能与其他节点相连，因此一个节点的信息可能会同时来自于多个节点。

为了解决这个问题，我们需要引入一个消息传递机制，使每个节点能够获取周围节点的信息。

消息的传递可以通过邻居节点的信息来实现。

具体来说，我们可以使用邻接矩阵（adjacency matrix）来表示节点之间的关系，然后将邻居节点的信息通过矩阵乘法进行传递。

2. 信息的融合
在获取了周围节点的信息后，我们需要将它们融合到当前节点中。

一般来说，我们会使用加权平均数来对邻居节点的信息进行融合。

在对邻居节点的信息进行加权融合时，我们需要确定每个邻居节点的权重。

这可以通过计算节点之间的相似度来实现。

常用的相似度计算方法有点积（dot product）、余弦相似度
（cosine similarity）等。

3. 更新节点表示
在聚合完邻居节点的信息后，我们需要将它们与当前节点的信息进行整合，从而得到一个新的节点表示。

这个节点表示可以用于后续的计算，比如分类、聚类等任务。

在对节点表示进行更新时，我们可以使用任何线性或非线性变换，比如全连接层、卷积或池化算子等。

总之，图嵌入是GNNs的数学基本原理，它涉及到消息传递、信息融合和节点表示等多个环节。

通过这些操作，GNNs能够
将任意形状和大小的图数据嵌入到一个低维向量空间中，从而实现各种图数据的处理任务。