初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)

初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛中，平面几何是一个重要的考点。

以下是一些重要的定理、公式和结论。

三角形面积公式（包括海伦公式）：三角形的面积S可
以用以下公式计算：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中
$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，$a$，$b$，$c$分别为三角形的三条
边长。

另外，三角形的面积也可以用以下公式计算：
$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$，$b$为两边，$C$为两边之
间的夹角。

还有一个海伦公式：$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中
$h_a$为三角形顶点$A$到边$BC$的垂线长度，$a$为边
$BC$的长度。

XXX定理：对于三角形$\triangle ABC$及其底边上的一
点$D$，有$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD-AD^2\cdot
BC=BC\cdot DC\cdot BD$。

XXX定理：对于一个内接四边形，其对角线之积等于两
组对边乘积之和，即$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$。

逆命题也成立。

同时还有广义托勒密定理：$AB\cdot
CD+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD$。

蝴蝶定理：如果$AB$是圆$O$的弦，$M$是$AB$的中点，弦$CD$，$EF$经过点$M$，$CF$，$DE$交$AB$于$P$，$Q$，则$MP=QM$。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）：对于一个直角三角形，锐角对边的平方等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍；钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍。

同时还有广义勾股定理。

中线定理（巴布斯定理）：对于一个三角形$\triangle
ABC$，如果$BC$的中点为$P$，则有
$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$。

同时，中线的长度可以用以
下公式计算：$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$。

垂线定理：如果$AB\perp CD$，则$AC^2-AD^2=BC^2-
BD^2$。

同时，三角形的高可以用以下公式计算：
$h_a=\frac{2S}{a}$。

角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边成比例。

如果$AD$平分$\triangle
BAC$中的角$\angle BAC$，则
$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$。

还有一个外角平分线定理。

圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半。

弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角。

圆幂定理是几何学中重要的定理之一，包括相交弦定理、垂径定理、切割线定理、切线长定理等。

射影定理也是直角三角形中的一个重要定理，它指出斜边上的高与两直角边在斜边上的射影的比例是相等的。

每一条直角边在斜边上的射影与斜边的比例也是相等的。

XXX定理是关于三角形中直线交点的
定理，其中逆定理也成立。

其应用定理包括平分线共线定理和外接圆切线共线定理。

塞瓦定理则是关于三角形中三条线段交点的定理，其应用定理包括平行线中点定理和逆定理的应用定理。

西摩松定理是关于三角形外接圆上的垂线的定理，其垂足共线。

燕尾定理是关于两个有公共边的三角形面积比的定理，其中比值等于两个交点到公共边的距离之比。

重心是三角形中三条中线的交点，具有许多性质。

其中包括重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为2:1，三角形分成的三个小三角形与重心的连线所对应的面积比相等，以及重心将三角形分成的六个小三角形的面积之和相等等。

4)设G为△XXX的重心，则
①BC+3GA=CA+3GB=AB+3GC；
②GA2+GB2+GC2=3(PA2+PB2+PC2)-9PG2；
③PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2；
④GA2+GB2+GC2最小的点是重心；
⑤重心是到三边距离之积最大的点。

5)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为：
xA+xB+xC)/3.(yA+yB+yC)/3
外心】三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；
O(
sin2A)x
A
sin2B)x
B
sin2C)x
C
sin2A+sin2B+sin2C)。

sin2A)y
A
sin2B)y
B
sin2C)y
C
sin2A+sin2B+sin2C)
外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；
2）设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A或
∠BOC=360°-2∠A；
3）R=abc/(4S)；
4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

内心】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；
I(
axA+bxB+cxC)/(a+b+c)。

ayA+byB+cyC)/(a+b+c))
内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；
2）设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+∠A。

∠AIC=90°+∠B。

∠AIB=90°+∠C；
3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC外接
圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC
的内心；
4）设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，△A平
分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则：
IA/IK=ID/DK=b+c-a/cosA；
5）设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC，AC，AB上的射影分别为D，E，F，内切圆半径为r，令
S=ΔABC，则：
r=(S/a+b+c)；
AD=AF=2S/(b+c-a)；
BE=BD=2S/(c+a-b)；
CF=CD=2S/(a+b-c)。

2.改写后的文章如下：
重心是三角形内的一个特殊点，它到三角形三边的距离相等，且满足一些重要性质。

设G为△XXX的重心，则有以下
结论：
①BC+3GA=CA+3GB=AB+3GC；
②GA2+GB2+GC2=3(PA2+PB2+PC2)-9PG2；
③PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2；
④GA2+GB2+GC2最小的点是重心；
⑤重心是到三边距离之积最大的点。

在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

外心是三角形的另一个特殊点，它到三角形各顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心。

设O为△XXX的外心，则有
以下性质：
1）外心到三角形各顶点距离相等；
2）∠BOC=2∠A或∠BOC=360°-2∠A；
3）R=abc/(4S)；
4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与
外接圆半径之和。

内心是三角形的第三个特殊点，它到三角形各边的距离相等，是三角形内接圆的圆心。

设I为△XXX的内心，则有以
下性质：
1）I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；
2）∠BIC=90°+∠A。

∠AIC=90°+∠B。

∠AIB=90°+∠C；
3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的
距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC外接
圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC
的内心；
4）设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，△A平
分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则：
IA/IK=ID/DK=b+c-a/cosA；
5）设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC，AC，AB上的射影分别为D，E，F，内切圆半径为r，令
S=ΔABC，则：r=(S/a+b+c)；AD=AF=2S/(b+c-a)；
BE=BD=2S/(c+a-b)；CF=CD=2S/(a+b-c)。

在三角形中，定义三边的长度为a、b、c，半周长为
p=(a+b+c)/2.根据勾股定理，可以得到以下公式：
PR=AE=AF=p-a
BD=BF=p-b
CE=CD=p-c
其中，R为三角形的外接圆半径，E、F为各顶点向其对
边所引垂线的垂足，D为垂心，P为九点圆圆心。

根据这些公式，可以得到以下有趣的性质：
1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径的一半。

2）九点圆的圆心在XXX线上，且恰为垂心与外心连线的中点。

3）三角形的九点圆与三角形的内切圆、三个旁切圆均相切，这被称为费尔巴哈定理。

欧拉线是连接三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心的直线。

根据欧拉线定理，三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线还有以下性质：
1.在任意三角形中，三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和。

2.XXX线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

3.欧拉公式表明，设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d²=R²-2Rr。

费马点是一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点。

费马点可以通过以下方法判定：
1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E，若EA+EB+EC有最小值，则E为费马点。

2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的
顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内
部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点还有以下性质：
1）平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为
PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

2）特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB，BC，CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC₁，
ACB₁，BCA₁，然后连接AA₁，BB₁，CC₁，则三线交于
一点P，则点P就是所求的费马点。

3）特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是费马点。

4）特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时，此时外心
与费马点重合。

证明四点共圆有以下基本方法：
方法1：我们可以先从四个被证共圆的点中选出三个点，
构成一个圆。

然后，我们需要证明另外一个点也在这个圆上。

如果我们能够证明这一点，那么就可以确定这四个点共圆。

方法2：将被证共圆的四个点连接起来，构成两个共底边
的三角形。

这两个三角形都在同一侧。

如果我们能够证明这两个三角形的顶角相等（也就是同弧所对的圆周角相等），那么就可以确定这四个点共圆。

如果我们能够证明这两个三角形的顶角为直角，那么这四个点就共圆，并且斜边上的两个点的连线为该圆的直径。

方法3：将被证共圆的四个点连接起来，构成一个四边形。

如果我们能够证明其对角互补或者证明一个外角等于其邻补角的内对角，那么就可以确定这四个点共圆。

方法4：将被证共圆的四个点两两连接起来，形成两条相
交的线段。

如果我们能够证明它们各自被交点分成的两个线段之积相等（也就是相交弦定理的逆定理），那么就可以确定这四个点共圆。

另外一种方法是将这四个点两两连接起来并延长相交的两条线段。

如果我们能够证明自交点到一条线段的两个端点所成的两个线段的乘积等于自交点到另一条线段的两个端点所成的两个线段的乘积（也就是割线定理的逆定理），那么也可以确定这四个点共圆。