2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：梯形的辅助线 课后练习及详解

2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：梯形的辅助线课后练习及详解
题一： (1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；
(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；
(3)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求这个梯形各内角的度数；
(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF= ．
题二：(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF= ；
(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；
(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；
(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，则DE= ．
题三：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是cm．
题四：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为4cm和7cm，则它的周长为cm．
题五：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．
题六：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD面积的最大值．
题七：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．
题八：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长．
题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．
题十：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD 的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．
(1)求证：BF=BC；
(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．
题十一：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形( ) A．只能画出一个 B．能画出2个
C．能画出无数个 D．不能画出
题十二：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)( ) A．至少能做3个 B．恰好能做2个
C．仅仅只能做1个 D．一个也不能做
梯形的辅助线
课后练习参考答案
题一：(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．
详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC AD=2，
Rt△DEC中，CD
；
(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，
∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；
(3)如图所示，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，
∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，
∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，
∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，
∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；
(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，
∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，
根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF =12
GH =1，∴EF =1．
题二： (1)4；(4)5．
详解：(1)过点N 分别作NG ∥AB ，NH ∥CD ，得平行四边形ABGN 和平行四边形DCHN ， ∴∠NGM +∠NHM =∠B +∠C =90°，GH =BC AD ，MG =MH ，
∴GH =2MN =6，∴AD =76=1，∴EF = 4；
(2)∵在梯形ABCD 中，AB =DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形，∴∠D +∠DCB =180°， ∵∠D =120°，∴∠B =∠DCB =60°，
∵对角线CA 平分∠BCD ，∴∠ACB =30°，
∵AD =DC ，∴∠DAC =∠ACD =30°，∴∠BAC =90°，∴BC =2AB ，
∵梯形的周长为AD +DC +BC +AB =5AB =20，∴AB = 4，∴AC BC =8，
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB = 4，AC BC =8，
∴AE ，∴梯形ABCD 的面积为(4+8)×12
(3)过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，
∴四边形AECD 是平行四边形，∴EC =AD =3，DC =AE ，
∴BE =BC CE =73= 4，∴CD =AB = 4，∴AE =AB =BE = 4，
∴△ABE 是等边三角形，∴∠B =60°；
(4)过D作DF∥AC交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD=3，
∵BC=7，∴BF=BC+CF=7+3=10，
∵CE=2，∴BE=72=5，EF=2+3=5，∴BE=EF，
又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴∠BDF=90°，∴DE=1
2
BF=5．
题三：6cm．
详解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，
∴BC= 4cm+2cm=6cm．
题四：17cm．
详解：过上底顶点D作DE∥AB交BC于E，
则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，
∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，
又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=BC BE=74=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．
题五：
详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴ADEC是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，
即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，
又∵AC=BD，∴BD=ED，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴AC=BD=
题六：25．
详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，
∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，
∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，
即当高是1
2
BE时最大，即梯形的最大面积是1
2
×10×
1
2
×10=25．
题七：2.3．
详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，
∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG CG=7.3，
∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，
∴BE=1
2
BG=5，∴CE=BC BE=2.3．
题八：3．
详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB BE=115=6，
∵M为AB的中点，∴MB=AM=1
2
AB=1
2
×11=5.5，ME=MB BE=5.55=0.5，
∵N为DC的中点，∴DN=1
2
DC=1
2
×5=2.5，
在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，
∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=1
2
AE，∴F为AE的中点，
又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，
∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，
∴DF=MN=1
2
AE=1
2
×6=3．
题九：8．
详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，
∴CN=AD=3，AM=MN=1
2
AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，
∵∠ABC=90°，∴S△ABN=1
2
×AB•BN=
1
2
×4×8=16，
∴S△ABM=1
2
S△ABN=8，即△ABM的面积为8．
题十：见详解．
详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，
∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，
∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；
(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，
由勾股定理得x2+y2=2a2…①，
由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，
由②①，得xy=m a2，
∵S△DFC=S梯形ABCD S△AFD S△BFC=1
2
(x+y)2
1
2
x2 1
2
y2 = xy，
∴S△DEF=1
2
S△DFC=1
2
m1
2
a2．
题十一：D．
详解：如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6
∴CE=3，BE=10，
∵3+6＜10，
∴BE，CE，BC不能构成三角形
∴这样的梯形一个也不能作．
故选D．
题十二：C．
详解：作DE∥AB，则DE=AB，
①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，105=5，与15，20不能构成三角形，故不满足题意；
②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，155=10，与10，20不能构成三角形，故不满足题意；
③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，205=15，与10，15可以构成三角形，故满足题意；
④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，1510=5，与5，20不能构成三角形，故不满足题意；
⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，2010=10，与5，15不能构成三角形，故不满足题意；
⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，2015=5，与5，10不能构成三角形，故不满足题意；
综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，满足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)只能做一个．
故选C．。