全国卷2理科数学模拟卷一

2019年新课标全国卷2理科数学模拟卷一
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位, 则复数2+3i
3-2i
=()
A.-2+i
B.i
C.2-i
D.-i
2.已知集合M={x|x2-4x<0}, N={x|1
4
≤2x≤4}, 则M∪N=()
A.[-2, 4)
B.(-2, 4)
C.(0, 2)
D.(0, 2]
3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1, 2, 3, …, 1 000, 适当分组后, 在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的
号码为8.若编号落在区间[1, 400]上的人做问卷A, 编号落在区间[401, 750]上的
人做问卷B, 其余的人做问卷C, 则抽到的人中, 做问卷C的人数为()
A.12
B.13
C.14
D.15
4.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+1
ln(x2+3)
的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要
条件.则下列命题是真命题的是()
A.p∧q
B.( p)∧( q)
C.( p)∧q
D.p∧( q)
5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:x 2
a2−y2
b2
=1(a>0, b>0)的一条渐近线
的交点, 若点A到抛物线C1的焦点的距离为p, 则双曲线C2的离心率等于() A.√2 B.√3 C.√5 D.√6
6.(√x-1
x )
12
的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.若数列{a n}是等差数列, 则下列结论正确的是()
A.若a2+a5>0, 则a1+a2>0
B.若a1+a3<0, 则a1+a2<0
C.若0<a1<a2, 则a3>√a2a4
D.若a1<0, 则(a2-a1)(a4-a2)>0 8.
如图, 正四棱锥P-ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上, 点P 在球面上, 若V 正四棱锥P-ABCD =16
3, 则球O 的表面积是( ) A.4π B.8π C.12π
D.16π
9.已知变量x , y 满足线性约束条件{3x +y -2≤0,
y -x ≤2, y ≥-x -1, 若目标函数z=kx-y 仅在点(0,
2)处取得最小值, 则k 的取值范围是( ) A.k<-3 B.k>1 C.-1<k<1 D.-3<k<1
10.某几何体的三视图如图所示, 当a+b 取最大值时, 这个几何体的体积为( )
A.1
6
B.1
3
C.2
3
D.1
2
11.已知M 是△ABC 内一点(不含边界), 且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3, ∠BAC=30°.若△MBC , △MCA , △MAB 的面积分别为x , y , z , 记f (x , y , z )=1
x +4
y +9
z , 则f (x , y , z )的最小值为( )
A.26
B.32
C.36
D.48
12.已知集合M={(x , y )|y=f (x )}, 若对于任意(x 1, y 1)∈M , 存在(x 2, y 2)∈M , 使得x 1x 2+y 1y 2=0成立, 则称集合M 是“商高线”.给出下列四个集合:
①M={(x, y )|y =1
x };②M={(x , y )|y=sin x+1};③M={(x , y )|y=log 2x };④M={(x , y )|y=e x -2}.
其中是“商高线”的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分) 13.
执行如图所示的程序框图, 若输入x=0.1, 则输出的m 值为 . 14.已知f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f (x )=3x +m (m 为常数), 则f (-log 35)的值为 .
15.关于函数f (x )=2(sin x-cos x )cos x 的下列四个结论: ①函数f (x )的最大值为√2;
②把函数f (x )=√2sin 2x-1的图象向右平移π
4个单位后可得到函数f (x )=2(sin x-cos x )·cos x 的图象;
③函数f (x )的单调递增区间为[kπ+
7π8
, kπ+
11π8
], k ∈Z ;
④函数f (x )的图象的对称中心为(kπ
2+π
8, 0), k ∈Z . 其中正确的结论有 个.
16.已知数列{a n }满足a 1=12, a n-1-a n =a n -1a
n n (n+1)
(n ≥2), 则该数列的通项公式
为 .
三、解答题(本大题共6小题, 满分70分, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知A=π
3, sin B=3sin C. (1)求tan C 的值;
(2)若a=√7, 求△ABC 的面积.
18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向, 随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况, 得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.
(1)试确定x, y, p, q的值, 并补全频率分布直方图(图②);
(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向, 将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分, 并且用分层抽样的方法从中抽取10人, 若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数, 求ξ的分布列和均值;
(3)若以频率估计概率, 从该市青少年中随机抽取15人进行座谈, 若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η, 求η的均值.
图①
图②
19.(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中, 四边形ABCD 是菱形, ED ∥FB , ED ⊥平面ABCD , AD=BD=2, BF=2DE=2√2. (1)求证:AE ⊥CF ;
(2)求二面角A-FC-E 的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, 长轴长为4, 且点(1,
√3
2
)在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点, 过点P 作斜率为1
2的直线l 交椭圆C 于A , B 两点, 求证:|PA|2+|PB|2为定值.
21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=-x 3+x 2(x ∈R ), g (x )满足g'(x )=a
x (a ∈R , x>0), 且g (e)=a , e 为自然对数的底数.
(1)已知h (x )=e 1-x f (x ), 求曲线h (x )在点(1, h (1))处的切线方程;
(2)若存在x ∈[1, e], 使得g (x )≥-x 2+(a+2)x 成立, 求a 的取值范围; (3)设函数F (x )={
f (x ), x <1,
g (x ), x ≥1,
O 为坐标原点, 若对于y=F (x )在x ≤-1时的图象上
的任一点P , 在曲线y=F (x )(x ∈R )上总存在一点Q , 使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0, 且PQ 的中点在y 轴上, 求a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题评分. 22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C :ρcos 2
θ=2a sin θ(a>0), 过点P (-4, -2)的直线l 的参数方程为{x =-4+√2
2t,
y =-2+√2
2t (t 为
参数), 直线l 与曲线C 分别交于点M , N. (1)写出C 的直角坐标方程和l 的普通方程;
(2)若|PM|, |MN|, |PN|成等比数列, 求a 的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f (x )≥3的解集;
(2)若关于x 的不等式f (x )>a 2-x 2+2x 在R 上恒成立, 求实数a 的取值范围.
参考答案
1.B 解析 (方法一)2+3i 3-2i =(2+3i )(3+2i )(3-2i )(3+2i )=13i
13=i .
(方法二)2+3i 3-2i =(2+3i )i (3-2i )i =(2+3i )i
2+3i =i .
2.A 解析 ∵M={x|0<x<4}, N={x|-2≤x ≤2}, ∴M ∪N=[-2, 4).
3.A 解析 若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查, 则需要分为50组, 每组20人.若第一组抽到的号码为8, 则以后每组抽取的号码分别为28, 48, 68, 88, 108, …, 所以编号落在区间[1, 400]上的有20人, 编号落在区间[401, 750]上的有18人.所以做问卷C 的有12人.
4.C 解析 因为命题p 为假命题, 命题q 为真命题, 所以( p )∧q 为真命题.
5.C 解析 因为点A 到抛物线C 1的焦点的距离为p , 所以点A 到该抛物线准线的距离为p.所以点A 的坐标为(p 2, ±p).所以双曲线C 2的渐近线方程为y=±2x.所以b
a =2.所以
b 2=4a 2.又b 2=
c 2-a 2, 所以c 2=5a 2.所以双曲线C 2的离心率为√5. 6.B
解析 (√x -1x )12
的展开式中第
r+1项为C 12r
(√x )12-r ·
(-1x )r =(-1)r C 12r
x 6-3r 2.当
6-3r
2为正
整数时, 可知r=0或
r=2, 故(√x -1x )12
的展开式中含
x 的正整数指数幂的项的个数
是2.
7.C 解析 设等差数列{a n }的公差为d , 若a 2+a 5>0, 则a 1+a 2=(a 2-d )+(a 5-3d )=(a 2+a 5)-4d.由于d 的正负不确定, 因而a 1+a 2的符号不确定, 故选项A 错误.
若a 1+a 3<0, 则a 1+a 2=(a 1+a 3)-d.由于d 的正负不确定, 因而a 1+a 2的符号不确定, 故选项B 错误.
若0<a 1<a 2, 则d>0.所以a 3>0, a 4>0.
所以a 32
-a 2a 4=(a 1+2d )2-(a 1+d )(a 1+3d )=d 2>0.所以a 3>√a 2a 4.故选项C 正确. 由于(a 2-a 1)(a 4-a 2)=d (2d )=2d 2, 而d 有可能等于0, 故选项D 错误.
8.D 解析 连接PO , 由题意知, PO ⊥底面ABCD , PO=R , S 正方形ABCD =2R 2.
因为V 正四棱锥P-ABCD =163
, 所以13
·2R 2·R=163
, 解得R=2.所以球O 的表面积是16π. 9.D 解析 如图, 作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y 得y=kx-z , 要使目标函数z=kx-y 仅在点A (0, 2)处取得最小值, 则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方, 故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.
10.D 解析 由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥, 且从点A 出发的三条棱两两垂直, AB=1, PC=√6, PB=a , BC=b.
可知PA 2
+AC 2
=a 2
-1+b 2
-1=6, 即a 2
+b 2
=8.故(a+b )
2
=8+2ab ≤8+2(a+b 2)2
, 即
a+b ≤4, 当且仅当a=b=2时, a+b 取得最大值, 此时PA=√3, AC=√3.所以该几何体的体积V=1
3×1
2×1×√3×√3=1
2.
11.C 解析 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3, ∠BAC=30°, 可得S △ABC =1, 即x+y+z=1. 故1
x +4
y +9
z =(1
x +4
y +9
z )(x+y+z )
=1+4+9+y
x +z
x +4x
y +4z
y +9x
z +9y
z ≥14+4+6+12=36,
当且仅当x=1
6, y=1
3, z=1
2时等号成立.因此, f (x , y , z )的最小值为36. 12.D 解析 若对于函数图象上的任意一点M (x 1, y 1), 在其图象上都存在点N (x 2,
y 2), 使OM ⊥ON , 则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①, 若取M (1, 1), 则不存在这样的点;对于③, 若取M (1, 0), 则不存在这样的点.②④都符合.故选D.
13.0 解析 若输入x=0.1, 则m=lg 0.1=-1.因为m<0, 所以m=-1+1=0.所以输出的m 值为0.
14.-4 解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,
所以f (0)=1+m=0.所以m=-1. 所以f (-log 35)=-f (log 35)=-(3log 35-1)=-4.
15.2 解析 因为f (x )=2sin x ·cos x-2cos 2x=sin 2x-cos 2x-1=√2sin (2x -π
4)-1, 所以其最大值为√2-1.所以①错误.
因为函数f (x )=√2sin 2x-1的图象向右平移π
4个单位后得到函数f (x )=√2sin [2(x -π
4)]-1=√2sin (2x -π
2)-1的图象, 所以②错误.
由-π
2+2k π≤2x-π
4≤π
2+2k π, k ∈Z , 得函数f (x )的单调递增区间为[-π
8+kπ,
3π8+kπ], k ∈Z , 即为[7π8+k 'π, 11π8
+k 'π], k'∈Z .故③正确. 由2x-π=k π, k ∈Z , 得x=π+kπ
, k ∈Z , 故④正确.
16.a n =2n+25n+3 解析 因为a n-1-a n =a n -1a n n (n+1)(n ≥2), 所以a n -1-a n a n -1a n =1n (n+1).所以1a n −1a n -1
=1
n −
1
n+1
. 所以1a 2−1a 1=12−13, 1a 3−1a 2=13−14, 1a 4−1a 3=14−15, …, 1a n −1a n -1
=1
n −
1
n+1
. 所以1a n −1a 1=12−1
n+1.
所以1
a n
=52−1
n+1. 所以a n =2n+25n+3(n ≥2).经检验, 当n=1时也适合此公式. 所以a n =2n+25n+3.
17.解 (1)∵A=π
3, ∴B+C=2π
3.
∴sin (2π
3-C)=3sin C. ∴√3
2cos C+12sin C=3sin C. ∴√32cos C=5
2sin C.∴tan C=√3
5.
(2)由b
sinB =c
sinC , sin B=3sin C , 得b=3c.
在△ABC 中, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=9c 2+c 2-2×(3c )×c ×1
2=7c 2. ∵a=√7, ∴c=1, b=3. ∴△ABC 的面积为S=1
2bc sin A=3√3
4.
18.解 (1)根据题意, 有{
3+x +9+15+18+y =60,
18+y 3+x+9+15
=2
3,
解得{
x =9,
y =6.
故p=0.15, q=0.10.
补全的频率分布直方图如图所示.
(2)用分层抽样的方法从中抽取10人, 则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10×25=4人, “压岁钱少于2千元的青少年”有10×3
5=6人.
故ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 且P (ξ=0)=
C 40C 6
3C 10
3=16, P (ξ=1)=C 41C 62
C 10
3=12, P (ξ=2)=C 42C 61
C 10
3=310, P (ξ=3)=C 43C 60
C 10
3=
1
30
, 所以ξ的分布列为
所以E (ξ)=0×1
6+1×1
2+2×3
10+3×1
30=6
5.
(3)以频率估计概率, 从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是24
60=2
5, 则η~B (15, 2
5), 故随机变量η的均值为E (η)=15×2
5=6. 19.(1)证明 (方法一)由题意知, 在△AEF 中, AE=√6, EF=√6, AF=2√3.
∴AE 2+EF 2=AF 2, ∴AE ⊥EF.
在△AEC 中, AE=√6, EC=√6, AC=2√3. ∴AE 2+EC 2=AC 2, ∴AE ⊥EC. 又EF ∩EC=E , ∴AE ⊥平面ECF. 又FC ⊂平面ECF , ∴AE ⊥FC.
(方法二)∵四边形ABCD 是菱形, AD=BD=2, ∴AC ⊥BD , AC=2√3.
故可以O 为坐标原点, 以OA , OB 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由ED ⊥平面ABCD , ED ∥FB , BD=2, BF=2√2, DE=√2, 可知A (√3, 0, 0), E (0, -1, √2), C (-√3, 0, 0), F (0, 1, 2√2).
∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3, -1, √2), CF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3, 1, 2√2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3, -1, √2)·(√3, 1, 2√2)=-3-1+4=0.
∴AE ⊥CF.
(2)解 由(1)中方法二可知A (√3, 0, 0), E (0, -1, √2), C (-√3, 0, 0), F (0, 1, 2√2),
则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3, 1, 2√2), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3, 0, 0), EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 2, √2), EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3, 1, -√2). 设平面AFC 的一个法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1),
由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0, AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0, 得-√3x 1+y 1+2√2z 1=0, 且-2√3x 1=0. 令z 1=1, 得n 1=(0, -2√2, 1).
设平面EFC 的一个法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2),
由EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0, EC
⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0, 得2y 2+√2z 2=0, 且-√3x 2+y 2-√2z 2=0. 令y 2=-1, 得n 2=(-√3, -1, √2).
设二面角A-FC-E 的大小为θ, 则cos θ=n 1
·n 2
|n 1||n 2|=√2+√23×√6=√3
3. 20.(1)解 因为2a=4, 所以a=2.又因为焦点在
x 轴上, 所以设椭圆方程为x 24+y 2b 2=1. 将点(1, √32)代入椭圆方程得b 2=1, 所以椭圆方程为x 24+y 2=1.
(2)证明 设点P (m , 0)(-2≤m ≤2), 可得直线l 的方程是y=x -m 2,
由方程组{y =12(x -m ), x 24
+y 2=1, 消去y 得2x 2-2mx+m 2-4=0. (*)
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则x 1, x 2是方程(*)的两个根.
所以x 1+x 2=m , x 1x 2=m 2-42. 所以|PA|2+|PB|2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22
=(x 1-m )2+14(x 1-m )2+(x 2-m )2+1
4(x 2-m )2
=54[(x 1-m )2+(x 2-m )2]=54[x 12+x 22-2m (x 1+x 2)+2m 2] =54[(x 1+x 2)2-2m (x 1+x 2)-2x 1x 2+2m 2]=54[m 2-2m 2-(m 2-4)+2m 2]=5.
所以|PA|2+|PB|2为定值.
21.解 (1)∵h (x )=(-x 3+x 2)e 1-x ,
∴h'(x )=(x 3-4x 2+2x )e 1-x .
∴h (1)=0, h'(1)=-1.
∴曲线h (x )在点(1, h (1))处的切线方程为y=-(x-1), 即y=-x+1.
(2)∵g'(x )=a x (a ∈R , x>0),
∴g (x )=a ln x+c (c 为常数).
∴g (e)=a ln e +c=a+c=a.
∴c=0.
∴g (x )=a ln x.
由g (x )≥-x 2+(a+2)x , 得(x-ln x )a ≤x 2-2x.
∵当x ∈[1, e]时, ln x ≤1≤x , 且等号不能同时成立,
∴ln x<x , 即x-ln x>0.
∴a ≤x 2-2x x -lnx .∴a ≤(x 2-2x x -lnx )max
. 设t (x )=x 2-2x x -lnx , x ∈[1, e],
则t'(x )=(x -1)(x+2-2lnx )
(x -lnx )2.
∵x ∈[1, e], ∴x-1≥0, ln x ≤1, x+2-2ln x>0.∴t'(x )≥0.
∴t (x )在[1, e]上为增函数.
∴t (x )max =t (e)=e 2-2e e -1.∴a ≤e 2-2e e -1.
(3)设P (t , F (t ))为y=F (x )在x ≤-1时的图象上的任意一点, 则t ≤-1. ∵PQ 的中点在y 轴上, ∴点Q 的坐标为(-t , F (-t )).
∵t ≤-1, ∴-t ≥1.
∴P (t , -t 3+t 2), Q (-t , a ln(-t )).
∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-t 2-at 2(t-1)ln(-t )<0, ∴a (1-t )ln(-t )<1.
当t=-1时, a (1-t )ln(-t )<1恒成立, 此时a ∈R .
当t<-1时, a<1
(1-t )ln (-t ),
令φ(t )=1(1-t )ln (-t )(t<-1),
则φ'(t)=(t-1)+tln(-t)
t[(1-t)ln(-t)]2
.
∵t<-1, ∴t-1<0, t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.
∴φ(t)=
1
(1-t)ln(-t)
在(-∞, -1)内为增函数.
∵当t→-∞时, φ(t)=
1
(1-t)ln(-t)
→0,
∴φ(t)>0.∴a≤0.
综上, 可知a的取值范围是(-∞, 0].
23.解(1)原不等式等价于
{x<-1, -2x≥3或{
-1≤x≤1,
2≥3或{
x>1,
2x≥3.
解得x≤-3
2
或x≥
3
2
.
故原不等式的解集为{x|x≤-3
2
或x≥
3
2
}.
(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,
则g(x)={x2-4x, x<-1,
x2-2x+2, -1≤x≤1, x2, x>1.
当x∈(-∞, 1]时, g(x)单调递减;当x∈[1, +∞)时, g(x)单调递增.故当x=1时, g(x)取得最小值1.
因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立, 所以a2<1, 解得-1<a<1.
所以实数a的取值范围是(-1, 1).
22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),
直线l的普通方程为x-y+2=0.
(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立, 得t2-2√2(4+a)t+8(4+a)=0. (*)
由Δ=8a(4+a)>0,
可设点M, N对应的参数分别为t1, t2, 且t1, t2是方程(*)的根, 则
|PM|=|t1|, |PN|=|t2|, |MN|=|t1-t2|.
由题设得(t1-t2)2=|t1t2|, 即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2√2(4+a), t1t2=8(4+a)>0,
则有(4+a)2-5(4+a)=0, 解得a=1或a=-4.
因为a>0, 所以a=1.。