高中物理__圆周运动__最全讲义与典型习题与答案详解

第三节圆周运动
【知识清单】
（一）匀速圆周运动的概念
1、质点沿圆周运动，如果，这种运动叫做匀速圆周运
动。

2、匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的______时刻在改变。

（二）描述匀速圆周运动的物理量
1、匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比
值。

方向沿着圆周在该点的切线方向。

2、匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用
时间的比值。

3、匀速圆周运动的周期是指所用的时间。

（三）线速度、角速度、周期
1、线速度与角速度的关系是V= ωr ，角速度与周期的关系式是ω=2π/T。

2、质点以半径r=0.1m绕定点做匀速圆周运动，转速n=300r/min，则质点的角速度
为_______rad/s,线速度为 _______m/s。

3、钟表秒针的运动周期为_______，s 频率为 _______Hz，角速度为 _______rad/s。

（四）向心力、相信加速度
1、向心力是指质点做匀速圆周运动时，受到的总是沿着半径指向圆心的合力，是变
力。

2、向心力的方向总是与物体运动的方向_______，只是改变速度的_______，不改变线
速度的大小。

3、在匀速圆周运动中，向心加速度的_______不变，其方向总是指向，是时刻
变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。

4、向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的
快慢。

5、向心力的表达式。

向心加速度的表达式。

6、向心力是按照效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是
使物体产生 _______，它就是物体所受的向心力。

7、火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道
对火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速
度，恰当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由和的合力来提供。

8、汽车通过拱桥或凹的路面时，在最高点或最低点所需的向心力是由
__________________的合力来提供。

【考点导航】
一、匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系
T=1/fω=2 π/T=2 πf V=2 πr/T = 2 πrfω=2πn n=f
二、匀速圆周运动的特点
加速度的大小不变，方向总是指向圆心，时刻在改变，是变加速曲线运动，做匀
速圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。

三、向心加速度、向心力
1、根据F=ma知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在
发生变化。

2、 向心力的来源 ：可以是任何一个力 ，可以是任何一个力的分力
，也可以是某
几个力的合力 。

一、描述圆周运动的物理量及其相互关系
1、线速度
⑴定义 ：质点做圆周运动通过的弧长
s 和所用时间 t 的比值叫做线速度 .
s 2 r
v
T
单位为 m/s.
⑵大小 ：t
⑶方向：
2
某点线速
t
T
度的方向即为该点的切线方向
.（与半径垂直 ）
⑷物理意义 ：描述质点沿圆周运动的快慢
.
注：对于匀速圆周运动 ，在任意相等时间内通过的弧长都相等
，即线速度大小不变 ，方向
时刻改变 。

2、角速度
⑴定义 ：在匀速圆周运动中
，连接运动质点和圆心的半径转过的角度
跟所用时间
t 的
比值 ，就是质点运动的角速度 .
⑵大小 ：
单位 :rad/s.
⑶物理意义 ：描述质点绕圆心转动的快慢
.
注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变。

说明：匀速圆周运动中有两个结论：
⑴同一转动圆盘(或物体 )上的各点角速度相同．
⑵不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮 )传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。

3、周期、频率、转速
⑴周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。

用T表示，单位为s。

⑵频率：做匀速圆周运动的物体在 1 s 内转的圈数叫做频率。

用f表示，其单位为转/秒(或
赫兹 )，符号为 r/s( 或 Hz) 。

⑶ 转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。

转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n 表示，转速的单位为转 / 秒，符号是r/s ，或转 / 分(r/min) 。

4、向心加速度
⑴定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度.
⑵大小：
⑶方向：沿半径指向圆心.
⑷意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢.
说明 :
① 向心加速度总指向圆心，方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

②向心加速度方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动(或称非匀变速曲线运动).
③ 向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。

对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。

对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。

如图所示，小球的
合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速
度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。

而沿切线的分加速
度只改变速度的大小。

5、向心力
⑴定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。

⑵ 方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直，即总与圆周运动的线
速度方向垂直。

⑶大小 :
⑷向心力的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

补充知识：同轴传动、皮带传动和齿轮传动
两个或者两个以上的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过皮带传动的两个轮子上，与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有
相同的规律。

二、离心运动和向心运动
1、离心运动
⑴ 定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心
力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
⑵本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向．
⑶受力特点
当F＝ m ω2r 时，物体做匀速圆周运动；
当F＝ 0 时，物体沿切线方向飞出；
当F<m ω2r 时，物体逐渐远离圆心。

F 为实际提供的向心力．如图所示．
2、向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F>m ω2r ，物体逐渐向圆心靠近．如图所示．
三、圆周运动中的动力学问题分析
1、向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

2、向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3、解决圆周运动问题的主要步骤
(1) 审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
(4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
(5)求解、讨论．
四、圆周运动当中的各种模型分析
1 、汽车转弯问题
(1) 路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为R，路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的μ倍，汽车转弯的最大速度为
计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意：
公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计速度，此时汽车受到的静摩擦力沿斜面向内侧，火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。

（如图所示）这个力不是全部用于提供向心力。

只有其水平分力提供向心力。

原因是车辆做圆周运动的轨道平
面是水平面。

y
N
N
O x
O
f (N 1 )
f ( N 1 )
θθ
mg mg
....
..
受力分析如下图
受力分析如图所示，可得：解得：
y
N
O x
f(N1 )
θ
mg
如果车辆转弯时的速度小于设计速度，同理可得：
2 、水流星模型 (竖直平面内的圆周运动——是典型的变速圆周运动)
研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

(圆周运动实例)
① 火车转弯
②汽车过拱桥、凹桥3
③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。

④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上
绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。

⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、
重力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）
（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。

由于外轨略高于内轨，使
得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。

h v02Rgh
（v0为转弯时规定速度）
由 F 合 mg tan mg sinmg m得 v0
L v0gtan R
L R
(是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件)
①当火车行驶速率 V等于 V0时， F合 =F 向，内外轨道对轮缘都没有侧压力
2
②当火车行驶 V大于 V0时， F合 <F 向，外轨道对轮缘有侧压力， F合 +N= m v R
③当火车行驶速率V小于 V0时， F合 >F 向，内轨道对轮缘有侧压力，F合
v
2
-N'=m R
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度
不宜过大，以免损坏轨道。

火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现
....
..
（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
受力：由 mg+T=mv2/L知,小球速度越小,绳拉力或环压力T越小,但T的最小值只能为零,此时小球以重力提供作向心力.
结论：通过最高点时绳子(或轨道 )对小球没有力的作用(可理解为恰好通过或恰好
通不过的条件 )，此时只有重力提供作向心力 . 注意讨论：绳系小球从最高点抛出做
圆周还是平抛运动。

能过最高点条件：V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
不能过最高点条件：V<V临(实际上球还未到最高点就脱离了轨道)
讨论：① 恰能通过最高点时： mg= m v临2
gR ；
，临界速度 V临 =
R
可认为距此点h R(或距圆的最低点 ) h5R处落下的物体。

22
☆ 此时最低点需要的速度为V低临=5gR
☆ 最低点拉力大于最高点拉力F=6mg
v
2
②最高点状态 : mg+T1=m高L(临界条件 T1 =0,临界速度 V临=gR , V≥V临才能通过)
最低点状态 : T2- mg =m v 2
1
2 mv低
2
2
1 mv
高
2
L
低
高到低过程机械能守恒 :mg2L
T2- T1=6mg(g可看为等效加速度)
②半圆：过程 mgR= 21mv2
2
最低点 T-mg= m v R绳上拉力 T=3mg；过低点的速度为 V 低
=2gR
小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a=2g ③与竖直方向成角下摆时,过低点的速度为V 低 =2gR(1 cos ) ,
此时绳子拉力 T=mg(3-2cos)
（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：杆和环对小球有支持力的作用（由 mg N m U 2
知）
R
当 V=0 时，N=mg （可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
② 当0vgR 时，支持力N向上且随v增大而减小，且
mg N0
③ 当v gR 时，
N0
④ 当v gR
时，N向下(即拉力)随v增大而增大，方向指向圆心。

当小球运动到最高点时，速度v gR
时，受到杆的作用力N（支持）但N mg ，（力的大小用有向线段长短表示）
当小球运动到最高点时，速度v gR 时，杆对小球无作用力N0当小球运动到最高点时，速度v＞gR 时，小球受到杆的拉力N 作用恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R= 2
1mv2
....
..
低点：T-mg=mv2/R T=5mg；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低=2g R 注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别：(以上规律适用于物理圆,但最高点 ,最低点 , g 都应看成等效的情况)
竖直面内圆周运动的应用：
——汽车通过拱桥和凹型地面
N A
N B
A
B
mg mg
五、补充定理：在竖直平面内的圆周，物体从顶点开始无初速地沿不同弦滑到圆周上所用
时间都相等。

（等时圆）
一质点自倾角为的斜面上方定点O 沿光滑斜槽OP 从静止开始下滑，如图所示。

为了使质点在最短时间内从O 点到达斜面，则斜槽与竖直方面的夹角等于多少？
....
..
六、注意：临界不脱轨有两种：1.达不到半圆 2.能到最高 .
【例 1】质点做匀速圆周运动，则（BD）
在任何相等的时间里，质点通过的位移都相等
在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
在任何相等的时间里，质点运动的平均速度的都相等
在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
【解析】此题考查的是曲线运动的特点，即位移、速度的方向变化。

故此题选BD
【例 2】质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( CD )
A．速度的大小和方向都改变
B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D．向心加速度大小不变，方向时刻改变
解析 :匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方
....
..
向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．
【例 3】关于匀速圆周运动的说法，正确的是( BD )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
解析速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故本题选B、D.
【例 4】在一个水平圆盘上有一个木块P，随圆盘一起
绕过 O 点的竖直轴匀速转动，下面说法正确的是（AC）
圆盘匀速转动的过程中， P 受到的静摩擦力的方向
指向圆心 O 点。

圆盘匀速转动的过程中， P 受到的静摩擦力为0。

在转速一定得条件下， P 受到的静摩擦力跟P 到圆心 O 的距离成正比
在P 到圆心 O 的距离一定的条件下， P 受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度成正
比。

【例 5 】如右图所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O 点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向
..
. .
..
心力是( CD )
A ． 绳的拉力
B ． 重力和绳的拉力的合力
C ．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力
D ． 绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【例 6】一般的曲线运动可以分成很多小段 ，每小段都可以看成圆周运动的一部分 ，即把整
条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替
． 如图 14 甲所示 ，曲线上的
A 点的曲率圆定义
为：通过 A 点和曲线上紧邻
A 点两侧的两点作一圆 ，在极限情况下 ，这个圆就叫做
A 点的
曲率圆 ，其半径 ρ叫做 A 点的曲率半径 ．现将一物体沿与水平面成
α角的方向以速度
v0 抛
出，如图乙所示 ． 则在其轨迹最高点
P 处的曲率半径是 ( C )
图 14
v 02
v 02 sin2 α A.
B.
g
g v 02 cos2 α v 02 cos2 α
C.
g D.
gsin α
答案 C
解析
物体在最高点时速度沿水平方向
，曲率圆的 P 点可看做该点对应的竖直平面内圆周
mv2
v2
运 动 的 最 高 点 ， 由 牛 顿 第 二 定 律 及 圆 周 运 动 规 律 知 ： mg ＝
， 解 得
ρ＝ ＝
ρ
g
v0cos
α2 v 02 cos2 α
＝ .
【例 7】如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为 4r,小轮的半径为2r.b 点在小轮上 ,b 到小轮中心的距离为r.c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑 .则 ( AB )
A． a 点与 b 点的线速度大小相等
B． a 点与 b 点的角速度大小相等
C．a 点与 c 点的线速度大小相等
D． a 点与 d 点的向心加速度大小相等
【解析】a 和 c 是与皮带接触的两点，二者具有相同的
线速度， b 、 c、 d 属于同轴传动，它们具有相同的角速度，
由 v=r ω、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系，
不难选出正确答案为AB。

【例 8】如图— 1 所示 ,传动轮 A、 B、 C 的半径之比为2： 1： 2， A、 B 两轮用
皮带传动，皮带不打滑， B、 C 两轮同轴， a、 b 、 c 三点分别处于A、 B、 C
三轮的边缘， d 点在 A 轮半径的中点。

试求：a、b、c、d四点的角速度之
比，即ωa: ω b: ωc: ωd 1:2:2:1，线速度之比,即va:vb:vc:vc=
2:2:4:1;向心加速度之比,即 :aa:ab:ac:ad=2:4:8:1.
【例 9】下列关于离心现象的说法正确的是( C )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周
运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
解析物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力
是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物
体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对．
【例 10 】如图 1 所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在
匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服( C )
A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．所需的向心力由弹力提供图1
D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
解析衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它
所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω 2，转速越大， FN 越大．C 对，B、D 错．
【例 11 】如图， A、 B 两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为
T1、T2，且 T1<T2 ，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点再次相距最近？
【例 12】如图所示，线段 OA ＝ 2AB ， A、 B 两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB 与 TOA 之比为多少 ?
答案： 5:3
【例 13 】如图所示，长为 r 的细杆一端固定一个质量为m 的
小球，使之绕另一端O 在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时
的速度 v＝ gr/2 ，在这点时( B)
A．小球对杆的拉力是mg 2
B．小球对杆的压力是mg 2
C．小球对杆的拉力是3 mg 2
D．小球对杆的压力是mg
解析设在最高点，小球受杆的支持力FN ，方向向上，则由牛顿第二定律得： mg －FN ＝
v211
m，得出 FN ＝ mg ，故杆对小球的支持力为mg ，由牛顿第三定律知，小球对杆的压r22
【例 14 】飞“车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技
....
..
演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模
型如图 7 所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩
托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离
地面的高度为 H ，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的图 7
是(B)
A．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力越大
B．摩托车做圆周运动的H 越高，线速度越大
C．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力做功越多
D．摩托车对侧壁的压力随高度H 增大而减小
解析经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提
供，由力的合成知其大小不随H 的变化而变化， A 错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速
v2
圆周运动，所受合外力等于向心力，即 F 合＝ m，随 H 的增大， r 增大，线速度增大， B
r
正确；向心力与速度一直垂直，不做功， C 错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁
的压力恒定不变， D 错误．
1
力为mg ， B 正确．
2
【例 15 】如图所示，半径为 R 的光滑圆形轨道竖直固定
放置，小球 m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径 R 不同的
圆形轨道，小球 m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互
作用力．下列说法中正确的是 ( AD )
A．半径 R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大图 4
....
..
B．半径 R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C．半径 R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D．半径 R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
解析小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点＝gR，选项 A 正确而 B 错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为
v5g
点时的角速度ω＝＝，选项 D正确而 C错误．
R R
【例 16】长为L的细线一端拴一质量为m 的小球，另一端固定于O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：
⑴线的拉力F
⑵小球运动的线速度的大小
⑶小球运动的角速度及周期
mv 02
mg ＝，即v0
R
v＝5gR ，则最低
O
α
L
解析：（1）（2）
（3）
O
α
L
F
r
F合
mg
....
..
【例 17 】在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上
行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的0.6 倍 . 取 g ＝ 10 m/s2. 试问：汽车在这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时，其弯道的最小半径是多少？
【例 18 】质量为 m 的飞机以恒定速率v 在空中水平盘旋，如图 6 所示，
其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g ，则此时空气
对飞机的作用力大小为( C)
v2
图 6
A． m
R
B． mg
v4
C．m g2 ＋
R2
v2
D． m g2 －
R4
解析飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力
v2
和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力 F 向＝ m.飞机受力
情况示意图如图所示，根据勾股定理得：
v4
F＝mg 2 ＋ F向2 ＝ m g2 ＋.
R2
【例 19 】如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，
半径 r＝0.4 m ，最低点处有一小球(半径比 r 小的多 )，现给
小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道
运动， v0 应满足 (g ＝ 10 m/s2)(CD)图 9
A． v0 ≥ 0B． v0 ≥ 4 m/s
C． v0 ≥25 m/s D． v0 ≤22m/s
解析解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况： (1) 小球通过最高点并完成圆周运动； (2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道．
对于第 (1)种情况，当 v0 较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条
件是 mg≤ mv2/r ，又根据机械能守恒定律有mv2/2＋ 2mgr ＝ mv20 /2 ，可求得 v0 ≥2 5
m/s ，故选项 C 正确；对于第 (2)种情况，当 v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的
临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr
＝m v20/2 ，可求得 v0 ≤2 2 m/s ，故选项 D 正确．
【例 20 】用一根细线一端系一小球(可视为质点 )，另一端固定在一光滑
圆锥顶上，如图 10 所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动
的角速度为ω，细线的张力为FT，则 FT 随ω2变化的图象是
下列选项中的 ( C )
解析小球未离开锥面时，设细线的张力为FT，线的长度为L，锥面对小球的支持力为
FN ，则有： FTcosθ＋FNsin mgθ及＝ FTsinθ－FNcosθ＝mω 2Lsin可求得 FTθ，＝
mgcos θ＋mω 2Lsin2θ
可见当ω由 0 开始增大， FT 从 mgcosθ开始随ω2的增大而线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，有 FTsin α＝mω 2Lsinα，其中α 为细线与竖直方向的夹角，即FT＝mω 2L ，可见 FT 随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．
【例 21 】火车在某转弯处的规定行驶速度为v，则下列说法正确的是（AC）
A、当以速度 v 通过此转弯处时，火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向
心力
B、当以速度 v 通过此转弯处时，火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹
力的合力提供了转弯的向心力
C、当火车以大于v 的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
D、当火车以小于v 的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
【例 22 】如图所示，物体 A 放在粗糙板上随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运
动，且板始终保持水平，位置Ⅰ、Ⅱ 在同一水平高度上，则。