北京大学附中高考数学二轮复习 考前抢分必备专题训练 三角函数

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将函数y ＝cosx 的图象向左．．平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图
象，则φ等于( )
A ．π6
B ．2π3
C ．4π3
D ．11π6
【答案】C
2．设锐角θ使关于x 的方程x 2
+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为( )
A ．π6
B ．π12或5π12
C ．π6或5π12
D ．π12
【答案】B
3．已知α为第二象限角，3
sin 5α=
，则sin2α=( ) A ．24
25
-
B ．1225-
C ．1225
D ．
24
25
【答案】A 4．已知sin()cos(2)()cos()tan f παπααπαα--=
--，则31
()3
f π-的值为( )
A ．
1
2 B ．13
-
C ．12
-
D ．
13
【答案】C 5．若*2sin sin
sin
(),7
7
7
n n S n N π
ππ
=+++∈则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ) A ．16 B ．72
C ．86
D ．100
【答案】C
6．已知cos(
)
12cos ,0,52tan()cos()tan π
απαααπαα
+=-<<+-则的值为( ) A ．26 B ．26-
C ．6
12
-
D ．
612
【答案】D
7．函数)3
2
cos(π
-
-=x y 的单调递增区间是( )
A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-
ππππ B ． )(324,344Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+-
ππππ
C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππ D ． )(384,324Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
++
ππππ 【答案】D
8．设α角属于第二象限，且2
cos
2
cos α
α
-=，则
2
α
角属于( )
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
【答案】C
9．将函数sin y x =的图象向右平移2
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为( ) A ．1sin y x =-
B ．1sin y x =+
C ．1cos y x =-
D ．1cos y x =+
【答案】C
10．定义行列式运算12
34
a a a a =3241a a a a -．将函数sin 23
()cos 21
x f x x =
的图象向左平移
6
π
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是( ) A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
11．已知f （x ）＝sin （x+
2π），()cos()2
g x x π
=-，则()f x 的图象( ) A ．与g （x ）的图象相同
B ．与g （x ）的图象关于y 轴对称
C ．向左平移
2π
个单位，得到g （x ）的图象 D ．向右平移2
π
个单位，得到g （x ）的图象
【答案】D
12．若tan 2θ=，则cos2θ＝( )
A ．
45
B ．－
45
C ．
35
D ．－
35
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．与
160终边相同的角，则=α
【答案】360160,k k Z ⨯+∈
14．已知角,
(0,)2
π
αβ∈，且tan()3,sin 2sin(2)αββαβ+=-=+，则α= .
【答案】
4
π 15．
292925sin
cos()tan()634
πππ+-+-= 【答案】0
16．若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,2
2
π
ϕπ
<
<-
）的部分图像如图，则
=)0(f .
【答案】-1
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．向量)1,(sin θ=a ，)3,(cos θ=b ，且//a b ，其中)2
,0(π
θ∈.(1)求θ的值；
(2)若2
0,53)sin(π
ωθω<<=-，求cos ω的值.
【答案】（1）.30),2
,
0( =∴∈θπ
θ (2）)6sin(6sin )6cos(6cos )66
cos cos πωππωπππ
ωω---=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
=∴）（
3413433
.525-=
⨯-⨯= 18．在ABC ∆内，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，a,b,c 成等差数列，且a=2c 。

(1）求A cos 的值；（Ⅱ）若4
15
3=
∆ABC S ，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）因为a,b,c 成等差数列，所以a+c=2b ， 又c a 2=，可得c b 2
3
=
，
所以41
2
324492cos 222
22
22-=⨯-+=-+=c c c c bc a c b A ，
(Ⅱ）由（Ⅰ）),0(,4
1
cos π∈-
=A A ，所以415sin =A ， 因为A bc S S ABC ABC sin 21
,4153==
∆∆， 所以4
1534152321sin 212=⨯==
∆c A bc S ABC ， 得3,2,42
===b c c 即.
19．在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=
+-+= (1) 求证：2
B C π
-=
(2) 若2a =
,求△ABC 的面积.
【答案】 (1)由 sin(
)sin()44
b C
c B a π
π
+-+=及正弦定理得:
sin sin()sin sin()sin 44
B C C B A ππ
+-+=,
即22222sin (
cos sin )sin (cos sin )22222
B C C C B B +-+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4
B C π
<< 所以2
B C π
-=
(2) 由(1)及34B C π+=
可得5,88B C ππ==,又,24
A a π==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8
a B a C
b
c A A ππ
====, 所以三角形ABC 的面积
1521
sin 2sin 2cos 28888242
bc A πππππ===== 20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
b
a
c B C A -2cos cos 2-cos =.
(1)求
A
C
sin sin 的值； (2)若4
1
cos =B ，△ABC 的周长为5，求b.
【答案】（1）由b
a
c B C A -=
-2cos cos 2cos 得 B
A
C B C A sin sin sin 2cos cos 2cos -=
- 得A B C B B C B A sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos -=- C B C B A B B A sin cos 2cos sin 2sin cos sin cos +=+
即)sin(2)sin(C B B A +=+
由π=++C B A 得 )sin(2)sin(A C -=-ππ 即A C sin 2sin = 故2sin sin =A
C
(2）由（1）知
2sin sin =A
C
及正弦定理得 2sin sin ==a
c
A C 即a c 2= 由余弦定理ac
b c a B 241cos 2
22-+==
故2
22
22244441a b a b a a =-+=得即a b 2=
由5=++c b a 得522=++a a a 即1=a
∴2=b 21．化简：
）
（）（）
（）（）（）（απαππαπααπαπ++5sin -4sin 2-sin --sin -3sin -sin
【答案】解：原式=
2)
sin )(sin (sin sin sin sin =--⋅+⋅ααα
ααα
22．已知C B A ,,为锐角ABC ∆的三个内角，向量(22sin ,cos sin )m A A A =-+, (1sin ,cos sin )n A A A =+-，且m n ⊥．
(Ⅰ）求A 的大小； (Ⅱ）求222sin cos(2)3
y B B π
=+-取最大值时角B 的大小． 【答案】（Ⅰ）
m n ⊥，
∴(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0A A A A A A -+++-=
222
2(1sin )sin cos A A A ⇒-=- ABC ∆是锐角三角形，
(Ⅱ）ABC ∆是锐角三角形，且3
A =
，
6
2
B π
π
∴<<
2
212sin cos(
2)1cos 2cos 22322
y B B B B B π∴=+-=--+
3
2cos 21)1223
B B B π
=
-+=-+ 当y 取最大值时，23
2
B π
π
-=
即5
12
B π=
．。