【常考题】高中必修三数学上期末第一次模拟试卷及答案

【常考题】高中必修三数学上期末第一次模拟试卷及答案
一、选择题
1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到
该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则
(|)P B A =（ ）
A ．
33
B ．
3 C ．
13
D ．
23
2．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795
B ．0780
C ．0810
D ．0815
3．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）
A ．45
B ．47
C ．48
D ．63
4．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个
D ．至少有1个红球
5．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为
150
；
④中部地区学生小张被选中的概率为15000
A ．①④
B ．①③
C ．②④
D ．②③ 6．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()
sin sin α
α，()
cos sin α
α，
()
sin cos α
α，其中,42ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，则输出的x 为( )
A ．()
cos cos α
α
B ．()
sin sin α
α
C ．()
cos sin α
α
D ．()
sin cos α
α
7．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：
x
0 1 2 3 4 y 2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆy
x a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.5
8．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）
A ．4k <
B ．5k <
C ．6k <
D ．7k <
9．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin
6
y x π
=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
136
B ．
118
C ．
112
D ．
19
10．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）
A ．
17
B ．
14
C ．
13
D ．
413
11．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机
取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
17
D ．
413
12．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．
13
B ．
49
C ．
59
D ．
23
二、填空题
13．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．
14．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．
15．一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.
16．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________
，上，其频率分布直方图如17．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]
图所示，则成绩不低于60分的人数为___．
18．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．
19．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，L，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．
20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．
三、解答题
21．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI )，数据统计如下： 空气质量指数(3
/g m )
0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染
中度污染 重度污染 天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m 的值，并完成频率分布直方图；
(2)在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率. 22．某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.
（1）写出该函数的解析式；
（2）执行该程序框图，若输出的结果为4，求输入的实数x的值.
23．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
24．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].
（1）求直方图中x 的值；
（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.
25．1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号（x ） 1（金星） 2（地球） 3（火星） 4（ ）
5（木星） 6（土星）
离太阳的距离（y ）
0.7 1.0 1.6 5.2 10.0
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星. （1）为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；
①y ax b =+；②(1)x
y a b c b =⋅+>；③log (1)b y a x c b =⋅+>.
（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
26．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按
[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：
（1）求m 的值；
（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；
（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]130,150内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =
62
93
= ，故选D. 2．A
解析：A 【解析】
分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.
详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为1000
2050
= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=
选A.
点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.
【详解】
各数据为：122031323445454547474850506163，
最中间的数为：45，所以，中位数为45．
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．C
解析：C
【解析】
分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案
详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况
则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况．
故选C
点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．
5．B
解析：B
【解析】
分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
详解：逐一考查所给的说法：
①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生
2400
100
240016001000
⨯=
++
48人、
中部地区学生
1600
100
240016001000
⨯=
++
32人、
西部地区学生
1000
100
240016001000
⨯=
++
20人，题中的说法正确；
②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；
③西部地区学生小刘被选中的概率为
1001 24001600100050
=
++
，题中的说法正确；
④中部地区学生小张被选中的概率为
1001 24001600100050
=
++
，题中的说法错误；
综上可得，正确的说法是①③.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】
由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈
⎪⎝
⎭
∴0cos α1sin α<<
<<， 又()y x
sin α=在R 上为减函数，y sin x α
=在()0∞+，
上为增函数， ∴()
sin sin α
α＜()
cos sin α
α，()
sin cos α
α＜()
sin sin α
α
故最大值为()cos sin α
α，输出的x 为()
cos sin α
α
故选：C 【点睛】
本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项. 【详解】
由$$1.5y x a
=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误； 由已知表格中的数据，可知01234
25
x ++++=
=，
2.2 4.3 4.5 4.8 6.7
4.55
y ++++=
=，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错
误；
又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+， 当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确， 故选：D. 【点睛】
本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过()
,x y ，本题属于基础题.
8．C
解析：C 【解析】
由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.
要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.
9．B
解析：B 【解析】
设大圆的半径为R ，则：
126
226T R ππ=
=⨯=， 则大圆面积为：2
136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，
则满足题意的概率值为：21
3618
p ππ==. 本题选择B 选项.
点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可 【详解】
设DE x =，因为D 为BE 中点，
且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=︒
所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠
222142272x x x x x ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
即BC =
，设DEF V 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S
因为DEF V 与ABC V 相似
所以
2
1
2
1
7 S DE
P
S BC
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
故选：A
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意求出7
AB BD
=，所求概率即为DEF
ABC
S
P
S
=V
V
，即可得解.
【详解】
由题意易知120
ADB
∠=o，AF FD BD
==，
由余弦定理得2222
2cos1207
AB AD BD AD BD BD
=+-⋅⋅=即7
AB BD
=，
所以7
AB FD
=，则所求概率为
21
7
DEF
ABC
S FD
P
S AB
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
V
V
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【详解】
如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，
则0≤x≤15，0≤y≤15，
两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．
将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，
必须满足{（x，y）|
05
05
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
，或
515
515
x
y
≤
⎧
⎨
≤
⎩
＜
＜
}，
即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×
5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=5
9
， 故选：C 【点睛】
本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
二、填空题
13．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为
解析：3
5
【解析】
由题意可知，2次检测结束的概率为222251
10A p A ==，
3次检测结束的概率为3112323233
53
10
A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为23133
1110105
p p p =--=-
-=. 14．5【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的的值当时根据题意退出循环输出结果【详解】模拟执行程序框图可得；；；；此时退出循环输出结果故答案为5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到
解析：5 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,s k 的值，当5
,58
s k ==时，根据题意，退出循环，输出结果. 【详解】
模拟执行程序框图，可得
1,7S k ==；771,688s k =⋅
==；763,5874s k =⋅==；355
,5468
s k =⋅==； 此时，
57
810<，退出循环，输出结果， 故答案为5.
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算循环结构程序框图输出结果的问题，属于简单题目.
15．3【解析】【分析】执行该算法后输出y ＝令y ＝1求出对应x 值即可【详解】执行如图所示的算法知该算法输出y ＝当x≥1时令y ＝x2﹣2x ﹣2＝1解得x ＝3或x ＝﹣1（不合题意舍去）；当x ＜1时令y ＝＝1此 解析：3
【解析】 【分析】
执行该算法后输出y ＝222,11,11
x x x x x x ⎧--≥⎪
⎨+<⎪
-⎩，令y ＝1求出对应x 值即可．
【详解】
执行如图所示的算法知，该算法输出y ＝222,11,11
x x x x x x ⎧--≥⎪
⎨+<⎪
-⎩
当x ≥1时，令y ＝x 2﹣2x ﹣2＝1，解得x ＝3或x ＝﹣1（不合题意，舍去）；
当x ＜1时，令y ＝
1
1
x x +-＝1，此方程无解； 综上，则输入的实数x 的值为3． 故答案为3． 【点睛】
本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．
16．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考
解析：18 【解析】 【分析】
由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为
1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】
因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为
1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】
本题主要考查了系统抽样，属于中档题.
17．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人
解析：30
由题意可得：
()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=
则成绩不低于60分的人数为30人
18．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要
解析：8 【解析】 【分析】
根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】
当2i =时，满足循环条件，2,4,2s i k ===， 当4i =时，满足循环条件，4,6,3s i k === ， 当6i =时，满足循环条件，8,8,4s i k ===； 当8i =时，不满足循环条件，跳出循环，输出8s =. 故填8. 【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.
19．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率
解析：12 【解析】 分析：由频率=
频数
样本容量
，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频
率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.
详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，
第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.
点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
20．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详
解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力
解析：1 【解析】
分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果. 详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.
三、解答题
21．(1)答案见解析；(2)35
. 【解析】
【试题分析】（1）借助题设中提供的频率分布直方图，算出0-50的频率为
0.004500.2⨯=，进而求出样本容量200.2100n =÷=，从而求出25m =，最后完成频率分布直方图；（2）先运用分层抽样的方法求出空气质量指数为51-100和151200-的
监测天数中分别抽取4天和1天，即将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，算出从中任取2天的基本事件数为10种和其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件数为6种，进而算得事件A “两天都为良”发生的概率是()63105
P A =
=： (1)由频率分布直方图可知0-50的频率为0.004500.2⨯=， 所以200.2100n =÷=，从而25m =， 频率分布直方图补充如下图所示.
(2)在空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共
10种.
其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d 共6种，
所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105
P A =
=. 22．(1) 22,0log ,042,4x x x y x x x ⎧<⎪
=<≤⎨⎪>⎩
当0x =时，y 无解.(2) 2x =-.
【解析】 【分析】
(1)根据框图得到函数解析式；（2）结合第一问得到的函数表达式，分情况得到x 值即可. 【详解】
（1）函数解析式为22,0log ,042,4x x x y x x x ⎧<⎪
=<≤⎨⎪>⎩
，
当0x =时，y 无解.
（2）当0x <时，24x =，2x =-或2（舍）. 当04x ≤≤时，2log 4x =，解得16x =（舍）. 当4x >时，24x =，解得2x =（舍） 所以2x =- 【点睛】
这个题目考查了程序框图的应用，以及分段函数的应用；解决分段函数求值问题的策略：(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决；(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.
23．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】
试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=
；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17
人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．
试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；
（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以
，
课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，
（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 考点：频率分布表和频率分布直方图的应用．
【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m ，两侧的样本数据的概率相等且为，则m 即为中位数． 24．（1）0.0125；（2）25
. 【解析】 【分析】
（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x 即可.
（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解. 【详解】
（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1. 所以 x ＝0.0125.
（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a ，b ，c ，d ； 则基本事件有：12，1a ，1b ，1c ，1d ，2a ，2b ，2c ，2d ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种 抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种.
所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P 62155
==. 【点睛】
本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题. 25．（1）模型②符合题意（2）见解析（3）2.8AU 【解析】 【分析】
（1）画出散点图，根据图形得到答案.
（2）将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x
y a b c =⋅+得到解析式，再验证得到答案.
（3）取4x =，代入计算得到答案. 【详解】
（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意
（2）将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x
y a b c =⋅+得230.711.6a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩
，
解得0.15,2,0.4a b c ===，所以(
)*
0.1520.4x
y x =⨯+∈N
当5x =时，5
0.1520.4 5.2y =⨯+=. 当6x =时，60.1520.410y =⨯+=. 与已知表中数据完全吻合.
（3）当4x =时，4
0.1520.4 2.8AU y =⨯+=，即谷神星距太阳的距离为2.8AU
【点睛】
本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力. 26．（1）0.008m =（2）121.8（3）35
【解析】 【分析】
（1）利用小矩形的面积和为1，求得m 值；
（2）每个小矩形的中点与面积相乘，再相加，求得平均数；
（3）利用古典概型，求出试验的所有等可能结果，再计算事件所含的基本事件，最后代入公式计算概率值. 【详解】
（1）0.040.120.240.40.12101m +++++=，∴0.008m =.
（2）0.04950.121050.241150.4125x =⨯+⨯+⨯+⨯0.121350.08145121.8+⨯+⨯=.
（3）由直方图得，[)130140
,有3人，[]140,150有2人， [)130140
,的学生为1A ，2
A ，3A ，[]140,150的学生为1
B ，2B ， 所有情况：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，12B B 共10种情况；
符合题意的：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种情况. 所以概率为63105P =
=. 【点睛】
本题考查频率分布直方图估计平均数、及古典概型的概率求解，考查概率与统计思想，考查数据处理能力.。