北师大版九年级上册第二章一元二次方程各小节练习题(提高)(含答案)

北师大版九年级上册第二章一元二次方程各小节练习题
直接开平方法—巩固练习（提高）
一、选择题
1. （2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3
2．若是一元二次方程，则不等式的解集应是( ). A ． B ．a ＜-2 C ．a ＞-2 D ．a ＞-2且a ≠0 3．（2016•重庆校级三模）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．0
D ．﹣3 4．已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是( )．
A ．ab
B ．
C ．a+b
D ．a-b 5．若，则的值为（ ）．
A ．1
B ．-5
C ．1或-5
D ．0
6．对于形如的方程，它的解的正确表达式是（ ）.
A ．用直接开平方法解得
B ．当时，
C ．当时，
D ．当时，
二、填空题 7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 . 8．（2014秋•东胜区校级期中）若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .
9．已知x ＝1是一元二次方程的一个根，则的值为________． 10．(1)当k________时，关于x 的方程是一元二次方程； (2)当k________时，上述方程是一元一次方程．
11．已知a 是方程的根，则的值为 ． 12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 2
530ax ax -+=360a +>1
2
a >
2
0x bx a ++=(0)a a -≠a
b
2
90x -=256
3
x x x -+-x 2
()x m n +
=x =0n
≥x m =0n
≥x m =0n
≥x =2
0x mx n ++=2
2
2m mn n ++2
2
(1)(1)10k x k x ---+=2
104x x +-=35432
1a a a a a
-+--a x 2
201210x x -+=2
2
2012
20111
a a a -+
+
三、解答题
13. （2016•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a （x ﹣1）2
+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．
14．用直接开平方法解下列方程．
(1)(2014·沧浪区校级期中)（x+1）2=4； (2) (2015·岳池县模拟)(2x-3)2=x 2
．
15．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，为实数，且，． (1)求x 的值；
(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积．
配方法—巩固练习（提高）
x 6a b +=2
9x ab =-ABC S △
一、选择题
1. （2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）
A ．（x ﹣3）2=14
B ．（x ﹣3）2=4
C ．（x +3）2=14
D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A ．化为
B ．化为
C ．化为
D ．化为
3．（2015•河北模拟）把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．3
D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )
A ．总小于2
B ．总不小于7
C ．为任何实数
D ．不能为负数 5．已知
，则
的值等于（ ）
A.4
B.-2
C.4或-2
D.-4或2 6．若t 是一元二次方程
的根，则判别式和完全平方式
的关系是( )
A.△=M
B. △＞M
C. △＜M
D. 大小关系不能确定
二、填空题 7．（1）x 2
-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2
. 8．（2015•忻州校级模拟）把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数， 则4m+k= ．
9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2
的形式，则ab=_______．
10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．
11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2
-ax+2a-3是一个完
全平方式，则a=_________. 12．已知
.则
的值为 .
三、解答题
13. 用配方法解方程. （1）（2016•安徽）解方程：x 2﹣2x=4． （2）（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．
22990x x --=2(1)100x -=2
2740t t --=2
781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2
890x x ++=2(4)25x +=2
3420x x --=2
21039x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭2
2
247x y x y ++-+43
14．分解因式．
15．（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
公式法，因式分解法—巩固练习（提高）
4
4x
一、选择题
1. （2016•天津）方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）
A ．x 1=﹣2，x 2=6
B ．x 1=﹣6，x 2=2
C ．x 1=﹣3，x 2=4
D ．x 1=﹣4，x 2=3
2．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2
-3x-4＝0的根是( )． A ．x 1＝-1，x 2＝-4 B ．x 1＝-1，x 2＝4 C ．x 1＝1，x 2＝4 D ．x 1＝1，x 2＝-4 3．如果x 2+x -1＝0，那么代数式的值为( )
A ．6
B ．8
C ．-6
D ．-8
4．若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0 5．若代数式
的值为零，则x 的取值是( )．
A ．x ＝2或x ＝1
B ．x ＝2且x ＝1
C ．x ＝2
D ．x ＝-1
6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2
-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )． A ．12 B ．9 C ．13 D ．12或9
二、填空题
7．已知实数x 满足4x 2
-4x+1＝0，则代数式的值为________． 8．已知y ＝x 2
+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．
9．若方程可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．
10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．
(1)则3※5的值为 ；
(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；
(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ． 11．（2014秋•王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4． 当y=1时，x 2=1，∴x=±1； 当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想． （2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ． 12．（2016•柘城县校级一模）三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
三、解答题
13. 用公式法解下列方程：
（2） ．3
2
27x x +-(2)(1)
||1
x x x ---1
22x x
+
2x mx n ++2
(1)210x ax --=；2
2
2
2
2
(1)()ab x a x b x a b +=+>
14．(2015春·北京校级期中)用适当方法解下列方程：
（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=0
15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?
①方程x 2
+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．
②方程x 2
-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．
③方程3x 2
+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．
(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2
-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，
x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题：
设x 1、x 2是方程2x 2
+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ①
； ②．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（提高）
12
11x x +2212x x +
1. 关于x 的方程无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-1
2．（2015•烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2
﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.
A ．9
B ．10
C ．9或10
D ．8或10 3．若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2
4．设a ，b 是方程的两个实数根，则的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013
5．若ab ≠1，且有，及，则
的值是（ ）． A ．
B ．
C ．
D ． 6．超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2
=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2
]=1000
二、填空题 7．已知关于x 的方程
有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．关于x 的一元二次方程无实数根，则m 的取值范围是__ ___． 9．（2015•曲靖）一元二次方程x 2
﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数， 则c= ．（只需填一个）． 10．在Rt △ABC 中，∠C=900
，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
的两根，那么AB 边上的中线长是 . 11．（2016•南京）设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ．
12．已知：关于x 的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程
②有实数根且k 为正整数，则代数式的值为 .
2
210mx x ++=1x 2x 2
210x x +-=12
11
x x +2
20130x x +-=2
2a a b ++2
5201290a a ++=2
9201250b b ++=a
b
955920125-20129
-2
21(3)04
x m x m --+=2
2
(21)10x m x m -+++-=
13. 已知关于x 的方程的两根的平方和等于
，求m 的值．
14．（2016•南充）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
15．（2015•峨眉山市一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2+2=2（1﹣x ）有两个实数根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程的两实数根x 1、x 2满足|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．
一元二次方程的应用—巩固练习（提高）
2
2210x mx m --+=29
4
1.（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）
A．x（x﹣1）=45B．x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( ) A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝128 3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.
A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,24
5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的
增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )
A．20％B．30% C．50% D．120%
6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．
8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．
9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米.
10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．
11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数
是．
12．（2014•贵阳）如图，在Rt∴ABC中，∴BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A 出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设∴ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．
三、解答题
13．（2016•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
14.（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?
直接开平方法—巩固练习（提高）答案与解析
一、选择题 1．【答案】C ；
【解析】∴方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0， 解得x=﹣1，
当x=﹣1时，a=2，故选C ．
2．【答案】D ；
【解析】解不等式得a ＞-2，又由于a 为一元二次方程的二次项系数，所以a ≠0．即a ＞-2且a ≠0． 3.【答案】D
【解析】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2， ∴a ×（﹣2）2+b ×（﹣2）+6=0， 化简，得 2a ﹣b +3=0， ∴2a ﹣b=﹣3， ∴6a ﹣3b=﹣9，
∴6a ﹣3b +6=﹣9+6=﹣3， 故答案为：D ．
4. 【答案】D ；
【解析】由方程根的定义知，把代入方程得，即，而，
∴ .
5．【答案】B ；
【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由，得，
由分式有意义，可得≠3，所以．当时，
，故选B ． 6．【答案】C ；
【解析】因为当n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n 是非负数时，
直接开平方得
，解得，故选C ．
二、填空题 7．【答案】p=-3,q=2；
【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，
∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①
同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②
联立①，②得 解之得：
8．【答案】m=-2；
【解析】由题意得：m 2﹣4=0，解得：m=±2，∵m ﹣2≠0，∵m≠2，∵m=﹣2 9．【答案】1；
x a =-2
0a ab a -+=(1)0a a b -+=0a ≠1a b -=-2
90x -=3x =±x 3x =-3x =-256
53
x x x -+=--x n m =±24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩3,
2.p q =-⎧⎨=⎩
【解析】将x ＝1代入方程得m+n ＝-1，两边平方得m 2+2mn+n 2
＝1. 10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.
【解析】(1)k 2-1≠0，∴ k ≠±1． (2)由k 2
-1＝0，且k-1≠0，可得k ＝-1． 11．【答案】20； 【解析】由题意可知，从而得，． 于是 ． 12.【答案】2011.
【解析】因为是方程的根，所以，所以，，
所以．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0， 一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得
，
解得．
14.【答案与解析】
解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x 1=1,x 2=-3． (2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x ，∴x 1=3,x 2=1．
15.【答案与解析】
解：（1）代入中得，
∵ ，，
2
104a a +-
=214a a +=21
4
a a =-23
543232232111111444411()()()(1)
44
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===
+--+-+--255
555544201111144444a a a a a a a a a -
--====⎛⎫----- ⎪⎝⎭
a 2201210a a -+=212012a a +=2
20121a a =-2
2201220111
a a a -+
+2012120121201112012a a a a a =--+=+-20122011a a
a -==6a
b =-2
9x ab =-22
(3)0x b +-=2
0x ≥2
(3)0b -≥
∴，．（2）由（1）知，
∴，
x=3
b=
3
a b
==
1064 c=-=
1
4
2
ABC
S=⨯=△
配方法—巩固练习（提高）答案与解析
一、选择题 1.【答案】A ．
【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ； 【解析】选项C ：配方后应为．
3．【答案】D ；
【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，
∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．
4．【答案】D ； 【解析】．
5．【答案】A ；
【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2
=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .
【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2
-4ac=△.故选A.
二、填空题
7．【答案】（1）；； （2）；.
【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
8．【答案】﹣1；
【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5
=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，
∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1． 故答案为﹣1．
9．【答案】4；
【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2
,
所以 解得或
所以.
10．【答案】（x-1）2
=5；
．
【解析】方程两边都加上1的平方得（
x-1）2
=5，解得x= 11．【答案】
；2或6.
【解析】3x 2-2x-3=0化成；
2
890x x ++=2(4)7x +=2
2
2
2
247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥4923x -2
4
p 2p x +241a b b =-⎧⎨=⎩－41a b =⎧⎨=⎩4
1
a b =-⎧⎨=-⎩4ab =1±1±
即，a=2或6.
12.【答案】5； 【解析】原式
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴（x ﹣1）2=5 ∴x=1± ∴x 1=1+，x 2=1﹣．
（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0． （2）解：移项得x 2﹣6x=4， 配方得x 2﹣6x +9=4+9， 即（x ﹣3）2=13， 开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣． 14. 【答案与解析】
．
15. 【答案与解析】
解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1
=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，
又∴（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0， ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∵当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．
2
(-)232
a a =
-4222
22
4()22222x x x x +=++-2
2
2
2
2
(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+
公式法，因式分解法—巩固练习（提高）答案与解析
一、选择题 1.【答案】D
【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ． 2．【答案】B ；
【解析】∵ ，∴ 的根是，．
3．【答案】C ．
【解析】∵ ，∴ ．
∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-． 4.【答案】B ；
【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0， ∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2． 5．【答案】C ； 【解析】且，∴ ．
6．【答案】A ；
【解析】x 2
-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12． 二、填空题 7．【答案】2；
【解析】用因式分解法解方程得原方程有两个等根，即， 所以． 8．【答案】5或-6；
【解析】此题把的值代入得到关于的一元二次方程，解之即可．
如：根据题意，得，整理得，解得，．
9．【答案】 1 ； -12 ；
【解析】，∴ m ＝1，n ＝-12． 10．【答案】(1)60；(2) ，；(3) ． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；
(2)∵ ※+2※※4＝，∴ ，；
(3)∵ ※，， ∴ 只有，等式才能对任何值都成立．
2
34(1(4)x x x x --=+-2
340x x --=11x =-24x =2
10x x +-=2
1x x +=(2)(1)0x x --=||1x ≠2x =2
4410x x -+=1212
x x ==
1
21122x x
+
=+=y x 2
624x x +-=2
300x x +-=15x =26x =-2
2
(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-12x =24x =-1
4
a =x x 2x -2
4(28)0x x +-=12x =24x =-a 4x ax ==x 4(41)0ax x a x -=-=410a -=x
∴ ． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2． 【解析】解：（1）换元，降次
（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0， 解得y 1=6，y 2=﹣2．
由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2． 由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，
b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．
12.【答案】24或8．
【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0， ∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0，
解得：x 1=6，x 2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图∵：AB=AC=6，BC=8，AD 是高， ∴BD=4，AD=
=2
， ∴S ∵ABC =BC•AD=×8×2
=8
；
当x=10时，如图∵，AC=6，BC=8，AB=10， ∵AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°， S ∵ABC =BC•AC=×8×6=24． ∴该三角形的面积是：24或8．
故答案为：24或8．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵
∴
∴
∴
（2），
14
a
=
1,
2,1,a b a c ==-=-2
2
2
4(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞22
a x a =
=±12x a x a =+
=-2
2
2
(1)ab x a x b x +=+
即， 令A ＝ab ，B ＝，C ＝ab ．
∵ ∴ ，
∴ ， ，
∴ ，．
14.【答案与解析】
解：（1）直接开平方得：2x-3=±5， ∴2x-3= 5或2x-3=-5 ∴x 1= 4，x 2= -1 （2）∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b 2
-4ac=16-8=8. ∴
x =
±
∴12=2=2x x
（3）分解因式得：（x -6）(x+1)=0 ∴ x-6= 0或 x+1=0
∴x 1= 6，x 2= -1. 15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
① -1 ； -1 ； -2 ； 1.
②
； 3 ；-1. ③ ； 1 ； ； . (2) ；
； ；.
(3)，
．
222()0abx a b x ab -++=22()a b -+2
2
2
2
2
22
4()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞，
2222()
2a b a b x ab
+±-==222221222a b a b a a
x ab ab b
++-=
==222222()222a b a b b b
x ab ab a
+--===1a
x b
=
2b x a =73-
43-73
-2b a -2b a --b a -c
a
123
2x x +=-
1212
x x =-
①．
②．
121212
3
112312
x x x x x x -
++===-2
2
2
121212919
13()221424
4x x x x x x ⎛⎫+=+-=
-⨯-=+= ⎪⎝⎭
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（提高）
答案与解析
一、选择题 1．【答案】B ；
【解析】当m ＝0时，原方程的解是；当m ≠0时，由题意知△＝22
-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】B ；
【解析】∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，
∵a，b 是关于x 的一元二次方程x 2
﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，
把x=2代入x 2
﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0， 解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=9不合题意，
②当a=b 时，方程x 2
﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2
﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10， 故选B ．
3．【答案】C ； 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而．
4.【答案】C ；
【解析】依题意有，，∴．
5．【答案】A ；
【解析】因为及，
于是有及， 又因为，所以，故a 和可看成方程的两根， 再运用根与系数的关系得，即． 6．【答案】D ；
【解析】一月份的营业额为200万元；二月份的营业额为200（1+x ）万元；
三月份的营业额为200（1+x ）2
万元；一季度的总营业额共1000万元，
所以200[1+(1+x)+(1+x)2
]=1000，故选D.
12
x =-
1212x x +=-1212x x =-12
1212
111x x x x x x ++==22013a a +=1a b +=-222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=2
5201290a a ++=2
9201250b b ++=2
5201290a a ++=2
11
5()201290b
b
+•
+=1ab ≠1a b ≠
1b 2
5201290x x ++=195a b •
=9
5
a b =
二、填空题 7．【答案】1；
【解析】由题意知△＝，所以，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】； 【解析】因为关于x 的一元二次方程无实数根，
所以，解得． 9．【答案】4；
【解析】∵一元二次方程x 2
﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣5）2
﹣4c ＞0，解得c ＜，
∵x 1+x 2=5，x 1x 2=c ＞0，c 是整数，
∴c=4．
故答案为：4．
10．【答案】；
【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，
∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5，
∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.
11【答案】4；3．
【解析】∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ．∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1， ∴m=3．
12.【答案】0.
【解析】先根据根与系数的关系求得a 值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.
因第二个方程一定有实根，由△≥0得，因为k 为正整数， 当时，分母为0，故舍去，所以k=1,
当k=1时. .
三、解答题
2
21[(3)]404m m ---⨯
⨯>3
2
m <5
4
m <-
22(21)10x m x m -+++-=22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<54
m <-
17
8
k ≤
=12k 或，=2k 0=k-1
k-2
13. 【答案与解析】
解：设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，
得，．
由题意，得 ， 即， ∴ ，
整理，得．解得，． 当m ＝3时，△＝；
当m ＝-11时，△＝，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．
14. 【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0， 解得m ≤4；
（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1， 而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，
所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，
所以m 的范围为3≤m ≤4．
15. 【答案与解析】
解：（1）方程整理为x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0，
根据题意得∴=4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0，
解得k ≤；
（2）根据题意得x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1•x 2=k 2， ∴|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1， ∴|2（k ﹣1）|=k 2﹣1， ∴k ≤，
∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1，
整理得k 2+2k ﹣3=0，解得k 1=﹣3，k 2=1（舍去）， ∵k=﹣3．
122
m
x x +=
12122m x x -=2
2
12294
x x +=
2
121229()24
x x x x +-=
2
12292224m m -⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
2
8330m m +-=13m =211m =-28(21)490m m +-=>28(21)630m m +-=-<
一元二次方程的应用—巩固练习（提高）答案与解析
一、选择题 1.【答案】A
【解析】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x （x ﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x （x ﹣1）=45，
故选A ． 2．【答案】B ；
【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．
根据题意可列方程168(1-a%)2
＝128．
3．【答案】D ；
【解析】设截去小正方形的边长为x ，则30×12-4x 2＝296，∴ x 2
＝16，x 1＝-4(舍去)，x 2＝4． 4.【答案】C ；
【解析】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x 1=16，x 2=－2.
经检验：x 1=16，x 2=－2都是原方程的根，但x 2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.
5．【答案】A ；
【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ．
. 6．【答案】D ；
【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．
若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，
第二次倒出纯酒精（
·x ）升．
根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数． 20－x －
·x ＝5． 二、填空题
1216
(),=0.2=205
x x =-
舍去％20
20x
-20
20x
-
7．【答案】220. 【解析】
方法一，设增长的百分率为x ，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2
万元，
依题意得200(1+x)2
＝242．解得x 1＝10%，x 2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．
方法二，设2010年的盈利额为x 万元，则2010年增长的百分率为
， 2011年增长的百分率为
，由增长率相同可列方程， 解得x 1＝220，x 2＝-220(舍去)
8．【答案】2.5m.
【解析】设留空的宽度为x m ，则，解得x 1＝15(舍去)，． 9．【答案】1.
【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm ，即可耕土地的长 为(120-4x)m ，宽为(78-3x)m ． (120-4x)(78-3x)＝8700，
即x 2
-56x+55＝0， 解得x 1＝1，x 2＝55．
当x ＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x ＝1．
答：水渠应挖1m 宽． 10．【答案】35或53．
【解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．
化简得x 2
-8x+15＝0， 解之得：x 1＝3，x 2＝5．
经检验，x 1＝3，x 2＝5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 11．【答案】10%．
【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x ，
依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2
＝1324．
即100x 2
+300x-31＝0．
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝-3.1(不合题意，舍去)．
答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%． 12.【答案】6 .
【解析】∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高， ∴AD=BD=CD=8cm ， 又∴AP=t ，
则S 1=AP •BD=×8×
t=8t ，PD=8
﹣
t ，
∴PE ∴BC ，
∴∴APE ∴∴ADC ，
200
100%200
x -⨯242100%x x -⨯200242200x x
x
--=1(152)(202)20152x x --=
⨯⨯25
2
x =
∴，
∴PE=AP=t ，
∴S 2=PD •PE=（8﹣t ）•t ， ∴S 1=2S 2，
∴8t=2（8﹣t ）•t ， 解得：t=6． 三、解答题
13.【答案与解析】
（1）设这地面矩形的长是xm ，则依题意得： x （20﹣x ）=96，
解得x 1=12，x 2=8（舍去）， 答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）． 规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）． 因为8250＞7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
14. 【答案与解析】 解：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ，由题意，得 （）2+（
）2=58，
解得：x 1=12，x 2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm ，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）． 答：李明应该把铁丝剪成12cm 和28cm 的两段； （2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ，由题意，得 （）2+（
）2=48，
变形为：m 2﹣40m+416=0，
∴∴=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0， ∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2． 15. 【答案与解析】
(1)当蚂蚁在AO 段时，设离开A 点t s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2
．
根据题意，得．
(502)34502
t t
-=。