等差数列与等比数列的综合-高中数学知识点讲解(含答案)

等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共7小题）
1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90
B ．100
C ．10或90
D ．10或100
2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则
114
3
(a a a += ) A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为(
) A ．3
B ．3或1-
C ．3-
D ．3或3-
5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-
B ．45-
C ．0
D ．15
6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差(
) A ．1-
B ．0
C ．2
D ．1
7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=
B ．13n n b -=
C ．22n n b -=
D ．23n n b -=
二．填空题（共8小题）
8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = ． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 ． 10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关
系为 ．
11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = ，等比数列{}n b 的前n 项n S =
12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则
2
2
a b = ． 13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．
14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 ，则数列{}n b 是等比数列．
15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈
等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90
B ．100
C ．10或90
D ．10或100
【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的前10项和10S ． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 11a =且1a ，2a ，5a 成等比数列，
2215()a a a ∴=，则2(1)1(14)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去）， {}n a ∴的前10项和10109
10121002
S ⨯=⨯+
⨯=， 故选：B ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，考查方程思想．
2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【分析】由二次方程的韦达定理可得0a >，0b >，由题意可得a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，由中项的性质，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求和． 【解答】解：a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点， 可得a b p +=，ab q =，即有0a >，0b >，
a ，
b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，
且适当排序后也可成等比数列，
即a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列， 可得4ab =；
又a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，
可得22b a =-或22a b =-， 解得4a =，1b =或1a =，4b =， 可得5a b +=， 故选：B ．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的中项的性质，以及二次方程的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则
114
3
(a a a += ) A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列首项与公比的关系，然后求解即可．
【解答】解：由1a 、2a 、4a 成等比数列得2
2
41a a a =， 2111()(3)a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=， 0d ≠，1d a ∴=，
则
114111
311
1315523a a a a d a a a d a +++===+， 故选：C ．
【点评】本题考查数列的通项公式的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．
4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为(
) A ．3
B ．3或1-
C ．3-
D ．3或3-
【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差． 【解答】解：1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +成等比数列，则 2
21(2)3(5)a b a b =+⎧⎨+=+⎩，解得：47a b =⎧⎨=⎩或2
5a b =-⎧⎨=-⎩
（舍)． ∴等差数列的公差为3b a -=．
故选：A ．
【点评】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-
B ．45-
C ．0
D ．15
【分析】由题意和等差数列的通项公式可得1a 的方程，解方程代入求和公式计算可得．
【解答】解：由题意可得2
4
25a a a =，公差1d =-， 2111(3)()(4)a d a d a d ∴+=++
代入数据可得2111(3)(1)(4)a a a -=--， 解得15a =， 6165
6152
S a d ⨯∴=+
=． 故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．
6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差(
) A ．1-
B ．0
C ．2
D ．1
【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得2a =，3b =，即可得到公差1d =．
【解答】解：设等差数列的公差为d ， 由1，a ，b 成等差数列，可得21a b =+， 由4，2a +，1b +为等比数列，可得：
24(1)(2)b a +=+， 解得2a =，3b =， 可得公差11d a =-=． 故选：D ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等差数列的公差的求法，以及运算能力，属于基础题． 7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=
B ．13n n b -=
C ．22n n b -=
D ．23n n b -=
【分析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，由题意可得2a =，再由等比数列的中项的性质，可得1d =，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求． 【解答】解：设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +， 即有36a =，解得2a =，
由题意可得23d -+，26+，213d ++成等比数列， 即为5d -，8，15d +成等比数列， 即有(5)(15)64d d -+=， 解得1(11d =-舍去），
即有4，8，16成等比数列，可得公比为2， 则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---===． 故选：A ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．
二．填空题（共8小题）
8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = 24- ． 【分析】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由2a ，3a ，6a 成等比数列．解得d ，然后求解前6项的和． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，2a ，3a ，6a 成等比数列．
2326a a a ∴=，2(12)(1)(15)d d d ∴+=+⨯+，解得2d =-．
61
1665(2)242
S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=-．
故答案为：24-．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 5050 ． 【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：在公差为1的等差数列{}n a 中， 由1a ，2a ，4a 成等比数列，得：
2111(1)(3)a a a +=+，即11a =． 10010099
1001150502
S ⨯∴=⨯+
⨯=． 故答案为：5050．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列的前n 项和的求法，是基础的计算题．
10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关
系为 66a b ．
【分析】运用等差数列中项的性质和基本不等式，以及等比数列中项的性质，即可得到所求结论． 【解答】解：若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>， 由等差数列中项的性质可得111
61112
a a a
a a +=
66||b b =，当且仅当111a a =取得等号．
故答案为：66a b ．
【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = 2 ，等比数列{}n b 的前n 项n S =
【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{}n b 的前n 项n S ．
【解答】解：由12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项， 得2214a a a =，即2(2)2(23)d d +=+，解得2d =． 214a a d ∴=+=，
则数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴12(12)2212
n n n S +-==--．
故答案为：2；122n +-．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题． 12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则
2
2
a b = 1 ． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【解答】解：等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：813d =-+，3d =，22a =；
38q =-，解得2q =-，22b ∴=． 可得
2
2
1a b =． 故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = 2 ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．
【分析】由题意可得1a ，12a +，16a +成等比数列，通过解方程求得1a 的值．然后求和．
【解答】解：数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列，1a ∴，12a +，16a +成等比数列，
2111(2)(6)a a a ∴+=+，解得12a =， 数列{}n a 的前n 项和2(1)
222
n n n S n n n -=+⨯=+． 故答案为：2；2n n +．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 21231()()n n n b b b b b b ⋯= ，则数列{}n b 是等比数列．
【分析】把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得到． 【解答】解：把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，可得： 若数列{}n b 满足21231()()n n n b b b b b b ⋯=，则数列{}n b 是等比数列． 故答案为：21231()()n n n b b b b b b ⋯=．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查类比推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈
【分析】由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量与R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n 项和求解．
【解答】解：由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，
则今年Q 型电动汽车的销售量为1250(111)
10501 1.1
-≈-；
R 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，
则R 型电动汽车的销售量为1211
12502019202
⨯⨯+
⨯=． ∴这两款车的销售总量约为：105019202970+=．
故答案为：1050；2970．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础题．。