2021年高三上学期第一次联考数学理试题 含答案

2021年高三上学期第一次联考数学理试题含答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. “”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 已知，其中i为虚数单位，则＝（）
A.－1 B．1 C．2 D．3
3. 若，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
4.下列四个命题中，正确的是（）
A．已知服从正态分布，且，则
B．已知命题;命题．则命题“”是假命题
C．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位
D．已知直线,，则的充要条件是 =-3
5. 已知单位向量满足，则夹角为（）
A．B．C．D．
6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）
A. B. C. D.
7. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 记集合, M=}4,3,2,1,|10
101010{
4433221=∈+++i T a a
a a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第xx 个数是（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）
9． 在展开式中的系数为,则实数的值为 .
10．计算定积分 .
11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.
12．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 .
．将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数 列第项 ;第项 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是 .
15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.
图2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

最
终，商定以抛硬币的方式决定结果。

规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为.
图1
E
C
A
俯视图
⑴求=6的概率；
⑵求的分布列和期望.
17．（本小题满分12分）
已知函数()sin2sin2cos2
66
f x x x x a
ππ
⎛⎫⎛⎫
=++--+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（为常数）．
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值. 18．(本小题满分14分)
设函数
（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间;
（Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．
19．（本小题满分14分）
已知几何体A—BCED的三视图如图所示，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角
三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得
AQBQ并说明理由.
20．（本小题满分14分）
如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，
直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，
与椭圆交于点.
（1）若是的中点，求证：.
（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.
21.（本小题满分14分）
设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求的值及的通项；
（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，
设，求，并证明.
.
xx 届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15
题是选做题，考生只能选做一题． 9. ; 10. ; 11. ; 12．; 13.,; 14.; 15. .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

最
终，商定以抛硬币的方式决定结果。

规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一 分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议. 记所需抛币次数为. ⑴求=6的概率； ⑵求的分布列和期望.
16.解:(1)()32
3511156222216
P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………4分
(2)分布列为:
……………………10分
∴ ………………………12分 17．（本小题满分12分）
E
已知函数()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭（为常数）． （1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值. 17. 解：（1）
………………………4分
的最小正周期为 ………………………5分
当，即时，函数单调递增，故所求单调增区间为 ………………………8分
（2）函数的图像向左平移个单位后得，
………………………9分
要使的图像关于轴对称，只需 ………………………11分
即，所以的最小值为． ………………………12分
18．(本小题满分14分)
设函数
（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; （Ⅱ）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围．
18. 解：（Ⅰ）在时有极值，有， ………………………2分 又，有， ………………………4分 有，
由有， ………………………6分 又关系有下表
的递增区间为 和 ， 递减区间为 ……………………9分 （Ⅱ）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，…………………10分 ，
需时恒成立，
化为恒成立，，
. ………………………14分 19．（本小题满分14分）
A
B C
D E
F
O
Q
A
B C
D E
已知几何体A—BCED的三视图如图所示，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角
三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得
AQBQ并说明理由.
19. 解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴
∴．
即该几何体的体积V为．----------------------------------3分
（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分
在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．
∴．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………………………7分
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.
连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵∴∽
∵∴
∴．……………………11分
∵,
∴
∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q
∴
∵面,面∴∴面---------13分
∵面ACQ
∴．………………………14分
解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则
，
∵AQBQ ∴ ----------------------------①
∵点Q在ED上，∴存在使得
∴-----------② ②代入①得，解得
∴满足题设的点Q 存在，其坐标为． 20．（本小题满分14分）
如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为， 直线的方程为，为上一点，且在轴的上方， 与椭圆交于点.
（1）若是的中点，求证：.
（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围. 20．（1）证:由题意得，
又点在椭圆上，且在轴上方，得
15535(,),(,227575
44
MA MF MA MF MA MF ∴=-
-=∴⋅=-+=∴⊥ ………………………6分
（2）解:（方法一）设，其中
圆过三点，圆心在线段的中垂线上
设圆心为，半径为，有2222)(()91()41(t b b r -+--=+--= ， ………………………10分 ，，当且仅当即时取“=”
.的取值范围是 ………………………14分 （方法二）解：设，其中，圆过三点， 设该圆的方程为，有 解得 圆心为半径
， ………………………10分
，当且仅当即时取“=”
，的取值范围是. ………………………14分
21.（本小题满分14分）
设，，Q=；若将，lgQ ，lgP 适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项. （1）试比较M 、P 、Q 的大小; （2）求的值及的通项；
（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.
21. 解：（1）由 ………………………1分
得 ………………………2分
2110831810(0)M Q a a -=++>∆< ………………………3分
………………………4分
，
又当时，，
当时，即，则 ………………………5分 当时，，则
当时，，则 …………………6分 （2）当时， 即
解得，从而 ………………………7分 当时， 即 , 无解.
………………………8分
（3）设与轴交点为 ，
当=0时有
………………………9分 又，
…………10分
1223
11111111
4[()()(
)]4n n n
T a a a a a a -∴=⨯-+-+
+- 11111112lg 22lg 2(12lg 2)(2lg 2)
n n a a n n -=
-=-=---- …………11分 112(1)
1(12lg 2)(2lg 2)2
n n n n T n n n ---=
>=
-- 1
23422223242(1)22345n n n T T T T n n
-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= …………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.J25131 622B 戫 =32191 7DBF 綿?25216 6280 技36740 8F84 辄?29234 7232 爲F}28619
6FCB 濋ph。