4.1.3幂函数举例(职高)

，
a 其中x为自变量， 为常数。
注 1.幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”
意 2.定义域与k的值有关系.
解析式 y x a，
底数为自变量x， 指数为常数α， α∈R；
练习1、下列函数中，哪几个
函数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
4.1实数指数幂 4.1.3 幂函数
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 需要支付P = _w__元___ __P__是__w__的函数 y=x
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _a_²__
__S__是__a__的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _a_³__
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x 01
-2
1
y x2 0 1
-3
24
22
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
(1,1)
(4,2)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） K>0时,图象还都过点(0,0)点
-4
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
1
y=x
y=x2 y=x3 y=x2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
8
12 4 6 8
6
1 1.6 2.5 3.3 4
4
2
(1,1)
(4,2.5)
-10
-5
o
5
-2
(8.4)
10
x
10
y
x0 y0
8
12 4 6 8
6
1 1.6 2.5 3.3 4
4
2
(1,1)
(4,2.5)
-10
-5
o
5
-2
(8.4)
10
x
10
y
x0 y0
8
12 4 6 8
6
1 1.6 2.5 3.3 4
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y=x0
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
在第一象限内(-,2,4)
4
函数图象的变化 3
趋势与指数有什
么关系?
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
y=x3 (2,4) y=x2
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x2
y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
2
1
(-1,1)
(1,1)
4
2
(1,1)
-10
-5
o
-2
(4,2.5)
5
(8.4)
10
x
2
例2：讨论函数 y x 3的定义域，作出
它的图象，并根据图象说明函数的单调
探 究 性、奇偶性及值域。
与 定义域（： , )
发 奇偶性：偶函数 现 值 域： [0, )
单调性：在(-,0]上是减函数
在 [0, )上是增函数
练习：如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3 是幂
（2）y=2x2 （4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
下面研究幂函数 y xa .
结合图象，研究性质：定义域、值域、
单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究
1
y=x y x2 y x3 y x 2 y x1
y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
1
y=x y x2 y x3 y x 2 y x1 y=x0
V是a的函数
y=x3
(长4)_如a__果_S_一12__个__正方a是形S场的地函的数面积为y=xS,12那么正方形的边
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度v=__t⁻_¹_k_m__/s___ v是t 的函数 y=x-1
以上问题中的函数具有y什 么xa共同特征?
一般地，函数 y xa 叫做
y
3
x 1/4 1/2 1 y 2 1.4 1
23 42 0.7 0.6 0.5 1
-4
-2
o
2
-1
-2
-3
4
x
y
3
1
( ,2)
2
4
1 ( ,1.4)
2
(1,1)
1
(2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)
-4
Hale Waihona Puke -2o2-1
4
x
-2
-3
y
3
1
( ,2)
2
4
1 ( ,1.4)
2
(1,1)
1
(2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞）
非奇
奇 非偶
{y|y≠0}
奇
单调性
在R 上增
在（-∞，0)上减, 在R上 在(0，+∞）上增， 增
在(0，+∞）在（-∞，0)上减， 上增， 在(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
幂函数的性质
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1);
(4,2)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y x3 … -27 -8 -1 0 1
1
y x2 … \
\ \01
8 27 …
2 3…
y x1 … -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
-4
-2
o
2
-1
4
x
-2
-3
2
探 例2：讨论函数y x 3 的定义域、奇偶性,
究 作出它的图象，并根据图象说明函数的单调 与 性、及值域。
发 定义域:(－∞,+∞)
现 奇偶性:偶函数
10
8
x 0 1 2 4 6 86 y 0 1 1.6 2.5 3.3 4
4
2
-10
-5
o
-2
5
10
x
10
y
x0 y0
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 3
y=x
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足 条件的实数m的集合。
解:依题意,得 m2 m 1 1
解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为 f (x) x3 符合题意.当m=-1时,函数为 f (x) x0 1
不合题意,舍去.所以m=2
课堂小结：
本节知识结构 :
幂函数
定义
六个特殊幂函数
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并
在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
K<0
例1.研究幂函数
的定义域、奇偶性
和单调性，并作出图象
解:
它的定义域是（０，+∞）
(1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称, ∴为非奇非偶函数. (2)单调性：在（０，+∞）上是减函数
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
y=x-1
y=x0
2
4
6
在第一象限内， 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降
-3
-4
不管指数是多少(-2,4) ,图象都经过哪
个定点?
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y=x0
图象
基本性质
第 一 象 限y
双曲线型
k<0时
k<0
K=1
K=0,直线型
O
X
k>0时
y ｋ＞１开口向上型抛物线
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出 函数在其他象限还有的图象。
熟记六个特殊幂函数的图像和性质