第十二章 第3节 数学归纳法及其应用29ppt

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4.(2019·新余月考)用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N+)，在验证
n＝1 时，等式左边的项是( )
A.1
B.1＋a
C.1＋a＋a2 解析 当n＝1时，n＋1＝2，
D.1＋a＋a2＋a3
∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
第3节 数学归纳法及其应用
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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知识梳理
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取__第__一__个__值__n_0_(n_0_∈__N_+_)_时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当___n_＝__k_＋__1___时命题也 成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明 方法叫作数学归纳法.
解析 假设当 n＝k 时，公式成立，只需把公式中的 n 换成 k 即可，即 Sk＝ka1＋k(k－2 1)d.
答案 C
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6.(2019·安庆检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k 到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________________. 解析 当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3). 答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
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考点三 归纳——猜想——证明
多维探究
角度1 与函数有关的证明问题
【例3－1】 (2019·梅州质检)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)
的导函数.
(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N+，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.
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角度2 与数列有关的证明问题
【例3－2】 设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*).猜想{an}的 通项公式，并用数学归纳法加以证明.
解 分别令 n＝1，2，3，得22a(a1＝1＋aa21＋2)＝1，a22＋2， 2(a1＋a2＋a3)＝a23＋3，
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3， 猜想：an＝n.
由 2Sn＝a2n＋n，①
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可知，当 n≥2 时，2Sn－1＝a2n－1＋(n－1)，② ①－②，得 2an＝a2n－a2n－1＋1，即 a2n＝2an＋a2n－1－1. (ⅰ)当 n＝2 时，a22＝2a2＋12－1，
∵a2>0，∴a2＝2. (ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N+)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，
a2k＋1＝2ak＋1＋a2k－1＝2ak＋1＋k2－1，即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，
∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0， ∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立， ∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立， 故对于一切n∈N+，均有an＝n.
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解 由题设得 g(x)＝1＋x x(x≥0). x
(1)由已知，g1(x)＝1＋x x，g2(x)＝g(g1(x))＝1＋1＋1＋xx x＝1＋x2x，g3(x)＝1＋x3x，…，可猜
想 gn(x)＝1＋xnx. 下面用数学归纳法证明：
①当 n＝1 时，g1(x)＝1＋x x，结论成立. ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N+)时结论成立，即 gk(x)＝1＋xkx.
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又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴当 a≤1 时，ln(1＋x)≥1a＋xx恒成立(当且仅当 x＝0 时等号成立). 当a>1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0. 即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0， ∴ln(1＋x)≥1a＋xx不恒成立， 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1].
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x 则当 n＝k＋1 时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝1＋gkg(xk()x)＝1＋1＋1＋kxxkx＝1＋(kx＋1)x，即结论成立. 由①②可知，结论对n∈N+成立.
(2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立，即 ln(1＋x)≥1a＋xx恒成立. 设 φ(x)＝ln(1＋x)－1a＋xx(x≥0)， 则 φ′(x)＝1＋1 x－(1＋a x)2＝x(＋1＋1－x)2a， 当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.
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规律方法 用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用 数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时 用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数 法等证明方法.
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则当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k(21k＋2)＋2(k＋1)[21(k＋1)＋2] ＝4(k＋k 1)＋4(k＋11)(k＋2)＝4(kk(＋k＋1)2()k＋＋12) ＝4(k＋(k＋1)(1k)＋2 2)＝4(kk＋＋12)＝4(k＋k＋11＋1). 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N+等式都成立.
答案 C
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5.(2018·咸阳调研)用数学归纳法证明：首项是 a1，公差是 d 的等差数列的前 n 项和公式
是 Sn＝na1＋n(n2－1)d 时，假设当 n＝k 时，公式成立，则 Sk＝(
)
A.a1＋(k－1)d
B.k(a1＋2 ak)
C.ka1＋k(k－2 1)d
D.(k＋1)a1＋k(k＋2 1)d
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规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理 论证结论的正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与 数列结合的问题是最常见的问题.
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考点一 用数学归纳法证明等式 【例 1】 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n(21n＋2)＝4(nn＋1)(n∈N+).
证明 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1×(12×1＋2)＝18， 右边＝4×(11＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N+且k≥1)时等式成立，即有 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k(21k＋2)＝4(k＋k 1)，
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2.数学归纳法的框图表示
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[微点提醒]
1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确 定初始值.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、
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【训练 2】 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n(n∈N+，n≥2). 证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54<2－12＝32，命题成立. (2)假设n＝k(k≥2，且k∈N+)时命题成立， 即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k. 则当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋(k＋11)2<2－1k＋(k＋11)2<2－1k＋k(k＋1 1)＝2－1k ＋1k－k＋1 1＝2－k＋1 1，命题成立. 由(1)，(2)知原不等式在n∈N+，n≥2时均成立.
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解析 对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n边形 的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)， 有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝ k到n＝k＋1，有可能增加不止一项. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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考点二 利用数学归纳法证明不等式
【例 2】 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a2n＋1＋an＋1－1＝a2n，求证：当 n∈N+时，an<an＋1.
证明 (1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根，所以 a2＝ 52－1，即 a1<a2 成立. (2)假设当n＝k(k∈N+，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 所以 a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立. 综上，可知an<an＋1对任意n∈N+都成立.
6知识衍化ຫໍສະໝຸດ 验考点聚集突破2.(选修 2－2P21A16 改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条时，第
一步检验 n 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3. 答案 C
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3.(选修 2－2P17 例 2 改编)已知数列{an}满足 an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N+，且 a1＝2，则 a2 ＝________，a3＝________，a4＝________，猜想 an＝________. 解析 易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1. 答案 3 4 5 n＋1
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规律方法 用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式 两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)， 明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.
猜想的基础.
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基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增 加了一项.( )
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【训练 1】 设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N+).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2， n∈N+). 证明 (1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N+)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)·f(k＋1)－k＋1 1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立. 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).