八年级数学下学期第二次月考测试卷含解析

一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先减小后增大
D ．先增大后减少
3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（ ）
A ．MC
B MCA ∠=∠ B ．MCB ACD ∠=∠
C ．B AC
D ∠=∠
D ．MCA BCD ∠=∠
4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；②·ABCD
S
AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的
边长为1，1160B C O ︒
∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )
A ．331(3,)++
B ．333(3,)2++
C ．331(3,)2++
D ．333(3,)++ 7．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝1
2
AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论： ①CN ⊥BD ； ②MN ＝NP ；
③四边形MNCP 是菱形； ④ND 平分∠PNM ． 其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，
F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结
论：
①FB OC ⊥，OM CM =； ②EOB CMB ≅； ③四边形EBFD 是菱形； ④:3:2MB OE =．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且1
2
BD CD =
．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF
于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )
A ．
233
B ．
334
C ．
536
D ．3
10．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④
2
PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①②④
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．
12．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为
___________cm.
13．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到
,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接
DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
14．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．
15．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，
EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填
序号）．
16．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当
CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
17．如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．
18．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=5，则BC的长为_______．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD，取BD的中点E，连接CE，则CE的最大值为_____．
20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE，再折叠，使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B，如果AD=a，那么AB长是多少？”常明说；“简单，我会. AB应该是_____”.
常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B，而是经过了AB边上的M点，如果AD=a，测得EC=3BM，那么AB长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，
AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
22．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将
ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)
①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写
作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；
()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
23．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 32
； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
24．已知正方形ABCD ．
（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．
（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1
3
AE CF =时．请直接写出HC 的长________．
25．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；
（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF
OF
＝ （直接填结果）．
26．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ． （1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______； （2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．
①求证：点M是CD的中点；②求x的值．
（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．
27．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝1
3
PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
28．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
29．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒： （1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】
解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴
1
2
2
DE AB
==，故选：D.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2．D
解析：D
【分析】
根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．
【详解】
从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A.不能推出MCB MCA
∠=∠，故本选项符合题意；
B. ∵∠MCB=∠B=∠ACD，故本选项不符合题意；
C.∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
故本选项不符合题意；
D. ∵∠ACB=90°，CM是斜边的中线，
∴CM=BM，
∴∠MCB=∠B=∠ACD ，
∴∠ACM=∠BCD ，
故本选项不符合题意；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．
4．C
解析：C
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直
角三角形的性质得到AC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=
12
BC ，于是得
到OE ：∶6；故③错误；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒
∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，
∴60DCE BCE ∠=∠=︒，
∴CBE △是等边三角形，
∴BE BC CE ==．
∵2AB BC =，
∴AE BE CE ==，
∴90ACB ∠=︒，
∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；
∵AC BC ⊥，
∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；
在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，
∴AC =．
AO OC =，AE BE =， ∴1OE BC 2
=， 1
::62
OE AC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
5．D
解析：D
【分析】
首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE ＝∠DCE ，再证
△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD ＝∠HCD ，推出∠ABE ＝∠HAD:求出∠ABE+∠BAG ＝90°;最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE ＝90°即可得到①正确； 因为点E 是AD 边的中点，求出AB= 2AE ，
即可求得
，故②正确；
根据 AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出 S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，
即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；
由∠AHD ＝∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB ＝∠EHD ，故④正确
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，
∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，
在△BAE 和△CDE 中
∵AE DE BAE CDE AB CDA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAE ≌△CDE （SAS ），
∴∠ABE=∠DCE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，
∵在△ADH 和△CDH 中，
AD CD ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADH ≌△CDH （SAS ），
∴∠HAD=∠HCD ，
∵∠ABE=∠DCE
∴∠ABE=∠HAD ，
∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，
∴AG ⊥BE ，故①正确；
∵点E 是AD 边的中点，
∴AB= 2AE ，
∴
∴，故②正确；
∵AD ∥BC ，∴S △BDE =S △CDE ，
∴S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，
即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；
∵△ADH ≌△CDH ，
∴∠AHD=∠CHD ，
∴∠AHB=∠CHB ，
∵∠BHC=∠DHE ，
∴∠AHB=∠EHD ，故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质. 6．C
解析：C
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．
【详解】
解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，
∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，
∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，
∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；
∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，
同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；
111122223111111222
OC D E E E B E C E B C ∴=====
=⨯=
11111C E D C ===
2234342213236
E C E E B E B E ====⨯=
433433313636
E C B E ==⨯= 3343112263
B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，
则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 33333331A N A M ++=
==3313313322C M A M ++=== 34313333123C N E M C M ⎛⎫+-∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++
1313131313322262
-=++++++= ∵点A 3在第一象限，
∴点A 3的坐标是3313,26⎫⎪⎪⎭
. 故选C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
证出OC ＝BC ，由等腰三角形的性质得CN ⊥BD ，①正确；证出MN 是△AOB 的中位线，得MN ∥AB ，MN ＝12AB ，由直角三角形的性质得NP ＝12
CD ，则MN ＝NP ，②正确；周长
四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝1
2 AC，
∵AD＝1
2 AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝1
2 AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，
∴NP＝1
2
CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE
=，在Rt△OBM中，可得，即可得BM ：OE =3：2，④正确.
【详解】
①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
∴FB⊥OC，OM=CM；
①正确；
②∵FB垂直平分OC，
根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，
∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB垂直平分EF，
∴△OBF≌△OBE，
∴△EOB≌△FCB，
②错误；
③∵△FOC≌△EOA，
∴FC=AE，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OB垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴平行四边形DEBF为菱形；
③正确；
④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，
在Rt △OBE 中，3， 在Rt △OBM 中，BM=
32OB, ∴BM ：OE =
32
：=33OB=3：2. ④正确； 所以其中正确结论的个数为3个；
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．
9．C
解析：C
【分析】
根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．
【详解】 解：等边三角形边长为2，12
BD CD =， ∴23BD =，43
CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，
60FDC B ∴∠=∠=︒，
90EDF ∠=︒，
30BDE ∴∠=︒，
DE BE ∴⊥，
1123BE BD ∴==，2
222213()33DE BD BE ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，
如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12DM EF FM ==，
60FDC FCD ∠=∠=︒，
CDF ∴∆是等边三角形，
43
CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，
30DCN ∴∠=︒，
Rt CDN ∴∆中，43
DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ，
∴132MN ED ==， 23353CM CN MN ∴=+=
+=． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得
2DP EC =，即可得到答案． 【详解】
证明：过P 作PG ⊥AB 于点G ，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
EC
=，故④错误．
∴正确的选项是①③；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．2
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=1
2
PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+
1
2
（CP+PD）
=1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值
最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=1
2 PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+1
2
（CP+PD）=
1
2
（CD+PC+PD）=
1
2
C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，
∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴2222
4442
CT CD DT
++=
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥42
∴PT+PC的最小值为2，
∴△PDC的最小值为4+42
∴C△CEF=1
2
C△CDP=222．
故答案为：222．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
12．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠B EB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，2222
68
AB BC
+=+，
∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
13．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，
∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED ，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=
12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．14．8或12
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解】
在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，
的平分线交CD于点E，
∵BAD
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
15．②③
【分析】
根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设
∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出
∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，
解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=1
2
∠ABE=36°，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，
∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BF=AF．故③正确
∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°
∴∠AFD=∠EAD
∴AD=FD
又∵AD=AB=AE
∴AE=FD，故②正确
∴正确的有②③
故答案为：②③
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．
16．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB ∥CD ，∠A=90°
又GH ∥AD ，
∴四边形AGHD 是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD 是矩形，
∴AG=DH ，∠GHD=90°，即B'H ⊥CD ，
又B'D=B'C ，
∴DH ＝HC ＝183CD =，AG=DH=8，
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13， EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt △EGB'中，由勾股定理得：
GB′＝2213512，
∴B'H=GH ×GB'=18-12=6，
在Rt △B'HD 中，由勾股定理得：B′D ＝226810+=
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论 ． 17．5
【分析】
先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12
MN FC =
即可． 【详解】
∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，
∴四边形BCEF 是矩形，
∵1PE =，
∴3CE =，
连接FM FC 、，如图所示：
∵四边形ABCP 是正方形，
∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，
∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，
∴FM AG
⊥，FMC是直角三角形，
又∵N是FC中点，
1
2
MN FC
=，
∵5
FC==
∴ 2.5
MN=，
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
18．4
【分析】
过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得
EM=1
2
AD=
1
2
BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角
三角形，可得BF=EF=FC=1
2
BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=
1
2
FC，在
Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．
【详解】
过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，
∵AB=OB，BE平分∠ABO，
∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，
又∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x，
∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=FC，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=1
2
BC=x，
∵EM∥BF，
∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），
∴EP=FP=1
2
EF=
1
2
FC=
1
2
x，
∴在Rt△BFP中，222
BP BF PF
=+，
即：2221(5)()2x x =+，
解得：2x =，
∴BC=2x =4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 19．【分析】
作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．
【详解】
解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．
在Rt △ABC 中，AB ＝22AC BC +＝2286+＝10，
∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，
∴CM ＝12
AB ＝5． ∵E 是BD 的中点，M 是AB 的中点， ∴ME ＝
12AD ＝2． ∴5﹣2≤CE ≤5+2，即3≤CE ≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
20
12
a 【分析】
（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；
（2）结合（1）可知，AE AM ==
，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得，
CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，
∵AE ==
∴AB =．
（2）结合（1）可知，AE AM ==，
∴FM a =-，
∵EC=3BM ， ∴1BM 2
FM =
∴BM 2
a -=
∴1AB 22
a a -=+=．
． 【点睛】
本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由AB=AD 可得平行四边形ABCD 是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA 的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC ，在Rt ACE ∆应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵AB CD ∥，
∴OAB DCA ∠=∠，
∵AC 为DAB ∠的平分线，
∴OAB DAC ∠=∠，
∴DCA DAC ∠=∠，
∴CD AD AB ==，
∵AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AD AB =，
∴ABCD 是菱形；
（2）
∵四边形ABCD 是菱形
∴AO CO =
∵CE AB ⊥
∴90AEC ∠=︒
∴26AC OE ==
在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．
【分析】 ()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =， 22221086DE AE AD ∴=-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ，
即PA BE ⊥，
PB PC PE ==，
90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥， //EC PA ∴． ()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=，
22BD'AB AD'6∴=-=，
在Rt BQC 中，222CQ BC BQ +=，
222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=，
DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ，
DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=，
AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN 3＝3cm ，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
t×3＝
3
2
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，。