2018版高中数学(3)第3章 3.2.1 古典概型含解析

3.2古典概型
3。

2.1 古典概型
1．了解基本事件的特点,能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点）
2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．（难点)
3．会用列举法求古典概型的概率．（重点)
［基础·初探］
教材整理1 基本事件的特点
阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．1．任何两个基本事件是互斥的．
2．任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本
事件的和．
某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个,则基本事件共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】基本事件有（数学，计算机），(数学，航空模型），（计算机，航空模型)共3个．
【答案】C
教材整理2 古典概型
阅读教材P126~P127“探究”以上的部分,完成下列问题．
1．古典概型的特点
如果某类概率模型具有以下两个特点：
（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝错误!.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）
(1）若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( ）
（2）“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上"是基本事件．( )
（3）从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是错误!。

（)
【答案】（1）×(2）×（3）×(4)√
2．甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是（)
A.错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
【解析】基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率：P＝错误!＝错误!。

【答案】C
3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本,3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．
【解析】从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为错误!。

【答案】错误!
［小组合作型]
基本事件和古典概
型的判断
（1)抛掷一枚骰子,下列不是基本事件的是
（）
A．向上的点数是奇数
B．向上的点数是3
C．向上的点数是4
D．向上的点数是6
（2）下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．
【尝试解答】(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1,向上的点数是3，向上的点
数是5，则A项不是基本事件，B,C，D项均是基本事件．故选A.
（2）A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是．
【答案】（1)A （2）C
1．基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．2．判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可．
[再练一题］
1．下列试验是古典概型的为________。

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小;
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【解析】①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
【答案】①②④
基本事件的计
数问题
有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2，3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：
（1）试验的基本事件；
（2)事件“朝下点数之和大于3”；
（3）事件“朝下点数相等”；
（4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．
【精彩点拨】根据事件的定义,按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．【尝试解答】（1)这个试验的基本事件为:
（1，1)，(1,2)，（1，3）,(1,4）,(2,1)，（2，2)，(2，3),（2，4），（3，1），(3，2)，（3，3），(3,4），(4，1),（4，2），(4，3），（4,4）．
(2）事件“朝下点数之和大于3"包含以下13个基本事件：
（1，3），(1,4)，（2,2），(2,3)，（2,4），(3,1)，(3，2),（3,3）,(3,4)，（4，1),（4,2），(4,3),（4,4)．
（3）事件“朝下点数相等"包含以下4个基本事件：（1，1），（2,2)，（3，3),(4，4）．
(4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2"包含以下10个基本事件：(1，1），(1,2），(2,1),(2,2），（2,3），(3,2），（3，3)，(3,4），（4,3），（4，4）．
1．在求基本事件时，一定要按规律去写,这样不容易漏写．
2．确定基本事件是否与顺序有关．
3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．
［再练一题］
2．连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
（1）写出这个试验的所有基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
(3）“恰有两枚硬币正面朝上"这一事件包含哪些基本事件？
【解】（1)这个试验包含的基本事件有：（正，正，正)，(正，正，反），（正,反，正），(反，正，正）,（正，反,反）,（反，正，反)，（反，反，正)，(反，反,反）．
（2）这个试验包含的基本事件的总数是8。

（3）“恰有两枚硬币正面朝上"这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反),（正，反,正)，(反，正，正)．
简单的古典概型的
概率计算
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率．
【精彩点拨】（1)可以利用初中学过的树状图写出；(2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；（3）找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率
计算公式求出．
【尝试解答】（1)用树状图表示所有的结果为：
所以所有不同的结果是ab,ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce,de。

（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd,be，共6个基本事件，
所以P（A）＝错误!＝0.6,
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0。

6。

(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac,ad,ae，bc,bd,be,共7个基本事件，
所以P（B)＝错误!＝0。

7,
即至少摸出1个黑球的概率为0.7。

1．求古典概型概率的计算步骤
（1)确定基本事件的总数n；
（2)确定事件A包含的基本事件的个数m;
（3)计算事件A的概率P(A）＝错误!。

2．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题,可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率．
［再练一题]
3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色恰有两次同色;（2）三次颜色全相同;
(3）三次摸到的红球多于白球．
【解】每个基本事件为（x，y，z）,其中x,y，z 分别取红、白球,故基本事件个数n＝8个．全集I＝{（红,红，红)，（红，红，白），(红,白，红），(白，红，红）,(红，
白,白），（白，红，白），(白，白，红)，（白,白，白）}．(1）记事件A为“三次颜色恰有两次同色"．
∵A中含有基本事件个数为m＝6,
∴P（A)＝错误!＝错误!＝0。

75.
(2)记事件B为“三次颜色全相同”．
∵B中含基本事件个数为m＝2，
∴P（B）＝错误!＝错误!＝0.25.
（3）记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．∵C中含有基本事件个数为m＝4，
∴P(C）＝4
8
＝0。

5.
［探究共研型]
基本事件的
特征
探究
【提示】基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰
子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生,因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．
探究2 基本事件的表示方法有哪些?
【提示】写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法,但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．
古典概型的
特征
探究
【提示】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
（1）基本事件个数有限，但非等可能；
（2)基本事件个数无限,但等可能；
（3）基本事件个数无限，也不等可能．
探究4 举例说明古典概型的概率与模型选择无关？
【提示】以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙"、“甲丙乙"、“乙甲丙”、“乙丙甲"、“丙甲乙”、“丙乙甲"六种结果,其中“甲站在中间"包含“乙甲丙"、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝错误!＝错误!；若仅从甲的站位来看,则只有“甲站1号位”、“甲站2号位"、“甲站3号位"三种结果,其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝错误!.
先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
（2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
【精彩点拨】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数,然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．
【尝试解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36种．
(1）记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6，1），(5，2）,(4，
3)，(3,4），（2，5),（1，6)．故P(A)＝6
36
＝错误!.
（2）记“出现两个4点"为事件B，从图中可以看出,事件B包含的基本事件只有1个，即（4，4)．故P(B）＝错误!.
（3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：（1，2），(2,1)，(1，5），(5,1)，（2，4），（4，2),（3，3),（3，6)，（6,3),（4,5），（5，4)，（6，6）．故P（C)＝错误!＝错误!.
1．在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数．
2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
［再练一题]
4．抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率;
（2)点数之和大于5小于10的概率．
【解】如图，基本事件共有36种．
(1）记“点数之和是4的倍数"的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个:(1，3），(2,2)，(2,6),(3，1)，(3,5)，(4,4),(5,3),（6,2），（6,6），所以P（A）
＝错误!。

(2）记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5),（2，4)，（3,3），(4，2)，(5,1)，（1,6），（2，5)，（3,4），（4,3），（5,2），(6,1），(2，6），(3，5），（4,4），（5，3),（6，2），(3,6)，(4,5），（5，4）,（6，3)．所以P（B）＝错误!。

1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是（)
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】事件A包含的基本事件有6个:（1，1），(1，2),(1，3)，(2,1）,(2，2)，(3，1)．
【答案】D
2．下列关于古典概型的说法中正确的是（)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A 若包含k个基本事件,则P（A）＝错误!。

A．②④B．①③④
C．①④D．③④
【解析】根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．
【答案】B
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!D．1
【解析】从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲、乙）、(甲、丙）、（乙、丙）共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝错误!.
【答案】C
4．在1，3,5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假
定这个站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．
【解析】∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，
∴P＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
5．一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1，2，3，…,10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解】随机选取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),（2,3），(3，4)，(4,5)，（5，6），（6,7），（7,8）,(8,9），(9,10),（2，1），
（3，2），(4,3)，(5，4），(6，5)，（7，6)，（8，7），（9，8)，(10,9）共18种．
（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果（x,y），共有可能结果90种．
因此，事件A的概率是错误!＝错误!＝错误!。

（2）如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果（x,y），则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种．
因此，事件A的概率是错误!＝错误!。

学业分层测评（十八) 古典概型
（建议用时：45分钟）
[学业达标]
一、选择题
1．下列试验中，属于古典概型的是( ）
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D ．某人射击中靶或不中靶
【解析】 依据古典概型的特点判断,只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
【答案】 C
2．集合A ＝{2，3｝，B ＝｛1,2，3}，从A ，B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A.错误!
B 。

错误!
C 。

错误! D.错误! 【解析】 从A ，B 中各任取一个数有(2，1），（2,2）,（2,3）,（3，1)，（3,2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有（2，2)，(3，1)，故所求概率为错误!＝13。

故选C 。

【答案】 C
3．四条线段的长度分别是1，3,5,7，从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( ）
A.14
B.13
C.错误! D 。

错误!
【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，（1,3，7）,（1,5，7)，(3，5，7）四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概
率是P ＝14。

【答案】 A
4．已知集合A ＝{2，3，4,5，6，7},B ＝｛2，3,6,9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则该元素是集合A ∩B 中的元素的概率为( )
A 。

错误!
B.错误! C 。

37 D.错误!
【解析】 A ∪B ＝{2,3，4,5，6,7，9},A ∩B ＝{2,3，6},所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是错误!。

【答案】C
5．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为( )
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
【解析】掷骰子共有6×6＝36(种)可能情况，而落在x2＋y2＝9内的情况有（1，1），(1，2),(2,1）,（2，2)，共4种，故所求概率P＝错误!＝错误!。

【答案】D
二、填空题
6．一只蚂蚁在如图3。

2.1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为________．
图3。

2­1
【解析】 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为错误!＝错误!.
【答案】 错误!
7．在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0)，B (2，0)，C (1,1），D (0,2），E （2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．
【解析】 从五个点中任取三个点,构成基本事件的总数为n ＝10；
而A ，C ，E 三点共线，B ，C ,D 三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8。

设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A ，则A 所包含的基本事件数为m ＝8，
故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P （A )＝m n
＝错误!＝错误!。

【答案】 错误!
8．现有5根竹竿,它们的长度(单位：m ）分别为2。

5，2。

6,2。

7，2.8,2。

9。

若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0。

3 m的概率为________。

【解析】基本事件共有（2.5,2.6）,(2.5，2.7），（2。

5,2。

8)，(2.5,2。

9)，（2.6,2。

7),(2.6，2。

8），(2。

6,2.9),(2.7，2。

8)，（2.7，2.9），（2。

8，2.9）10种情况．相差0.3 m的共有（2。

5，2。

8),(2。

6，2.9）两种情况，所以P＝错误!＝错误!.
【答案】错误!
三、解答题
9．某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0，1,2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率;
(2）求中奖的概率．
【解】设“中三等奖"为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有（0,0），(0，1）,(0,2），（0，3），(1,0）,（1,1），（1，2)，（1,3），(2,0)，(2，1）,（2,2)，(2，3)，（3,0），（3，1)，（3,2)，（3,3)，共16种不同的结果．
（1）取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3），（2,2)，（3，1)，（0，3），（1，2),(2,1），(3，0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P（A)＝错误!。

（2）由(1）知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种;
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，（3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）．
则中奖概率为P(B)＝错误!＝错误!。

[能力提升］
1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
【解析】个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类:
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20（个)，符合条件的两位数．
（2)当个位为偶数时，有5×5＝25（个)，符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个）符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝错误!＝错误!。

【答案】D
2．从含有3件正品、1件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________．
【解析】从4件产品中不放回地任取两件，共有6个基本事件，事件“取出的两件中恰有一件次
品”的基本事件有3个,故概率为错误!.
【答案】错误!
3．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社
团和演讲社团的情况，数据如下表:(单位:人）
上述一个社团的概率；
（2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名未被选中的概率．
【解】（1)由调查数据可知，既未参加书法社
团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15
（人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上
述一个社团的概率为P＝15
45
＝错误!。

(2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
｛A1，B1｝，{A1，B2}，{A1，B3｝，｛A2，B1}，{A2，B2},｛A2，B3}，｛A3,B1｝,{A3，B2}，{A3，B3｝，{A4,B1}，｛A4，B2｝，{A4，B3｝，{A5,B1}，｛A5,B2}，｛A5，B3｝，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2｝，｛A1,B3｝，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝错误!。