专题2-16 有理数的加减混合运算(知识讲解)-七年级

专题2.16 有理数的加减混合运算（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握有理数加减法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数加减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
【典型例题】
类型一、有理数的减法运算
1．计算：（1） 6789-+- （2） 2(5)(8)5---+--
【答案】（1）-2；（2）-10
【分析】（1）根据有理数的加、减法法则计算即可；
（2）根据有理数的加、减法法则计算即可．
解：（1）6789-+-
=189-+-
=79-
2=-
（2）2(5)(8)5---+--
2585=-+--
385=--
55=--
10=-
【点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算，掌握有理数的加、减法法则是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】计算题：12+（﹣23）+47
+（﹣12）+（﹣13） 【答案】37
-
【分析】根据有理数的加减法可以解答本题.
解：原式=11214+22337
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =417-+
=37
- 【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式2】计算：()()3247252410-+---+--．
【答案】-40
【分析】根据有理数的加、减法法则计算即可．
解：原式3247252410=--++-
79252410=-++-
3010=--
40=-．
【点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算，掌握有理数的加、减法法则是解决此题的关键．
【变式3】计算：
（1）(0.8) 1.2(0.7)( 2.1)(0.8)+3.5-++--+--；
（2）11(0.5)37
( 2.75)42⎛⎫⎛⎫---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【答案】（1）1.9；（2）-2.
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据去括号法则去括号，将带小数的数变为分数，再观察题目，交换分数位置，计算得到答案.
解：（1）原式0.4(0.7)( 2.1)(0.8) 3.5(0.3)( 2.1)(0.8) 3.5=+--+--+=-+---+ ( 2.4)0.8 3.5( 1.6) 3.5 1.9=-++=-+=.
（2）原式=1113111337273286224242244⎛⎫⎛⎫=-+-+=--++=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点拨】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是掌握有理数加减混合运算方法. 类型二、有理数加减法的简便运算
2．简便运算：
（1）113113
0.25 3.75 4.5244-+---； （2）()()11312 1.7557.252 2.5424⎛⎫⎛⎫-+--+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【答案】（1）92
-；（2）9 【分析】（1）根据加法结合律、交换律和有理数的加减法运算法则计算即可；
（2）根据加法结合律、交换律和有理数的加减法运算法则计算即可．
解：（1）原式35151159244442
=-+--- 39151551224444⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
332
=-- 92
=-； （2）原式131135121572442442
=-+-+- 4972911511444224
⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1311344
=++ 9=．
【点拨】此题考查的是有理数的加减法简便运算，掌握加法结合律、交换律和有理数的加减法运算法则是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】计算下列各题： (1)1112－134
－114＋412；
(2)(－22.84)－(＋38.57)＋(－37.16)－(－32.57)； (3)112－56＋234＋38
－423； (4)(－36)－(－28)＋(＋125)＋(－4)－(＋53)－(－40)．
【答案】(1)13；(2)－66；(3)－
78；(4)100. 【解析】
【分析】（1）利用加法的交换律和结合律把分母相同的项合在一起分别计算，即可得结果；
（2）利用加法的交换律和结合律把能凑整的小数合在一起分别计算，即可得结果； （3）先把带分数拆分成整数与分数的和，然后利用加法的交换律和结合律把整数、分数（分母为2、4、8与3、6的分别计算）分别合在一起计算，最后再通分计算，即可得结果；
（4）先去括号，利用加法的交换律和结合律分别把正数、负数合在一起分别计算，即可得结果；
解：(1)原式＝1131114
112244⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝16－3
＝13.
(2) 原式＝(－22.84－37.16)＋(－38.57＋32.57)
＝－(22.84＋37.16)－(38.57－32.57)
＝－60－6
＝－66.
(3) 原式＝1533212426483
+-+++-- ＝()1335212424863⎛⎫⎛⎫+-+++-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝46354188866⎛⎫⎛⎫-+++-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝133182
-+-
＝1312188-+
- ＝78
- (4) 原式＝362812545340-++--+
＝(2812540)(45336)++-++
＝193-93
＝100
【点拨】本题考查了加法运算律在加减混合运算中的应用，灵活运用加法交换律和结合律能达到简便计算的目的。

【变式2】 计算：13323 2.19547.8143843⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】218
． 【分析】根据有理数的加减法法则，运用加法结合律计算即可.
【详解】 原式123334(2.197.81)543384⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 58108
=-++ 528
=+ 218
=． 【点拨】本题考查有理数的加减运算，根据式子特点，运用加法结合律进行化简是解题的关键.
【变式3】计算：
（1）()()()()910283+-++---+；
（2）()()5.13 4.628.47 2.3-++---；
（3）211485105⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（4）371214263⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【答案】（1）8；（2） 6.68-；（3）9310-；（4）134
- 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据加法结合律、交换律和有理数的加减法法则计算即可；
（3）根据有理数的加减法法则计算即可；
（4）根据有理数的加减法法则计算即可．
解：()()()()()1910283+-++---+
1283=--++
8=．
()()()2 5.13 4.628.47 2.3-++---
()][()5.138.47 4.62 2.3⎡⎤=-+-+--⎣⎦
13.6 6.92=-+
6.68=-．
()2113485105
⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3148105
=- 9310
=-． ()3712414263⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111142
=-+- 134
=-． 【点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算，掌握有理数的加减法法则是解决此题的关键．
类型三、有理数加减混合运算实际运用
3、彩虹服装店用480元购进8件衬衣，很快全部售完．服装店老板以每件80元
的价格为标准，将超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下：6+，4-，8-，2+，10-，
2-，4+，5+（单位：元）
．他卖完这8件衬衣后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？
【答案】盈利；153元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
“正”和“负”相对．他以每套80元的价格出售，售完应得盈利20×8=160元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损．
【详解】
解：+6+（-4）+（-8）+2+（-10）+（-2）+4+5=-7
（80-480÷8）×8+（-7）=153（元）．
答：他盈利了153元．
【点拨】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足
的记为负数，记录的结果如下：＋8，－3，＋12，－7，－10，－3，－8，＋1，0，＋10．
(1)这10名同学中最高分是多少?最低分是多少?
(2)10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少?
(3)10名同学的平均成绩是多少?
【答案】①最高分：92分；最低分70分；①低于80分的学生有5人，所占百分比50%；
①10名同学的平均成绩是80分.
【解析】
（1）根据题意分别让80分加上记录结果中最大的数就是最高分，加上最小数就是最低分；
（2）共有5个负数，即不足80分的共5人，计算百分比即可；
（3）直接让80加上记录结果的平均数即可求算平均成绩．
【变式2】一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：km ）如下：
9+，3-，5-，4+，8-，6+，3-，6-，4-，10+．
（1）将最后一名乘客送到目的地时，相对于商场，出租车的位置在哪里？________；
（2）这天上午出租车总共行驶了________km；
（3）已知出租车每行驶1km耗油0.08L，每升汽油的售价为6.5元．如果不计其他成本，出租车平均每千米收费2.5元，那么这半天出租车盈利(或亏损)了多少元？
【答案】（1）商场；（2）58；（3）114.84元
【分析】（1）根据有理数的加法运算，看其结果的正负即可判断其位置；
（2）根据绝对值的定义列式计算即可；
（3）根据题意列式计算即可．
--+-+---+=，
解：（1）935486364100(km)
所以将最后一名乘客送到目的地，出租车回到了商场．
故答案为商场．
++-+-+++-+++-+-+-++=，（2）|9||3||5||4||8||6||3||6||4||10|58(km)即这天上午出租车总共行驶了58km．
故答案为58．
⨯-⨯⨯=（元）．
（3）58 2.5580.08 6.5114.84
答：这半天出租车盈利了114.84元．
【点拨】本题主要考查有理数的加减运算，注意正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
（1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？
（2）若标准质量为450克，则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克？
（3）若该种食品的合格标准为450±5克，求该食品的抽样检测的合格率．
【答案】（1）这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克；（2）9024；（3）该食品的抽样检测的合格率85%．
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；。