中考数学考点总动员系列专题05分式及其计算(含解析)

考点五：分式及其计算
聚焦考点☆复习理解
1、分式的观点
一般地，
用
A 、
B 表示两个整式，
A÷B 就能够表示
成
A 的形式，假如
B 中含有字母，式子
A 就叫做分
B
B
式。

此中，
A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

当B ≠0时，分式
A 存心义，当
B=0时，分式 A 无心义；当 A=0且
B ≠0，分式
A 的值等于
0.
B
B
B
2、分式的性质
（1）分式的基天性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为： A A ×M A
A ÷M ＝ ，＝ (M 是不等于零的整式)
B B ×M B B ÷M
2）分式的变号法例： 分式的分子、分母与分式自己的符号，改变此中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法例
a c
ac ;a c a d ad ; b d
bd b
d b
c bc
(a )
n
a n
(n 为整数);
b
b n
a b a
b ;
c c c a c
ad bc
b d
bd
4．最简分式
假如一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
5．分式的约分、通分
把分式中分子与分母的公因式约去，这类变形叫做约分，约分的依据是分式的基天性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，
这类变形叫做分式的通分，通分的依据是分式的
基天性质．通分的重点是确立几个分式的最简公分母．
6．分式的混淆运算
在分式的混淆运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．如有括号，
先算括号里面的．灵巧运用运算律，运算结果一定是最简分式或整式．
7．分式的化简求值
分式的化简求值题要先化简，再求值 .往常状况下有两种状况：一是把字母的值代入化简后的最简分式或整
式求值；二是用整体思想，把代数式的值整体代入化简后的最简分式或整式求值 .
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的观点，求字母的取值范围
【例1】（2017广西百色第 13题）若分式
1 存心义，则 x 的取值范围是 ．
x 2
【答案】x ≠2
【分析】
试题剖析：由题意，得
x ﹣2≠0．解得x ≠2
考点：分式存心义的条件．
2
【例2】若分式
x
1
的值为零，则x 的值为（
）
x
1
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．±1
【答案】C.
【分析】
考点：分式的值为零的条件．
【点睛】(1)分式存心义就是使分母不为 0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式存心义； (2)第一求
出使分子为 0的字母的值，再查验这个字母的值能否使分母的值为 0，当它使分母的值不为 0时，这就是所
要求的字母的值．
【贯通融会】
2
4
1.（2017重庆A卷第7题）要使分式存心义，x应知足的条件是（）3
A．x＞3B．x=3 C．x＜3D．x≠3
【答案】D.
考点：分式的意义的条件.
2.(2017浙江舟山第12题)若分式2x4
的值为0，则x的值为．
x1
【答案】2.
【分析】由分式的值为0时，分母不可以为0，分子为 0，可得2x-4=0，x+1≠0，解得x=2.【考点】分式的值为0的条件.
考点典例二、分式的性质
【例3】已知x+y=xy，求代数式11
-（1-x）（1-y）的值．
x y
【答案】0.
【分析】
试题剖析：第一将所求代数式睁开化简，而后整体代入即可求值．试题分析：∵x+y=xy，
1 1
∴-（1-x）（1-y）
y
=x y
-（1-x-y+xy）
xy
=x y
-1+x+y-xy
xy
=1-1+0
3
=0
考点：分式的化简求值．
【点睛】(1)分式的基天性质是分式变形的理论依照，全部分式变形都不得与此相违反，不然分式的值改变；
将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，假如分子、分母是多项式，要先将它们分别分解
因式，而后再约分，约分应完全；(3)巧用分式的性质，能够解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思想，
把要求的算式和已知条件由两端向中间凑的方式来求代数式的值.
【贯通融会】
1.分式2可变形为【】
2x
2222
A. B. C. D.
2x2x x2x2
【答案】D．
考点：分式的基天性质．
考点典例三、分式的加减法
【例4】（2017辽宁大连第3题）计算
3x3
的结果是（）(x1)2(x1)2
A．x B．1
C．3D．3
(x1)2x1x1x1
【答案】C.
【分析】
试题剖析：依据分式的运算法则即可求出答案．
3x13
2x1
原式=x1．应选C.
考点：分式的加减法.
【贯通融会】
4
1.（2017湖北咸宁第10
题）化简：
x 2 1
x1 ．
x
x
【答案】x+1.
试题剖析：原式=
x 21
x1x 2 x x(x 1) x1.
x
x
x
考点：分式的加法．
2.化简
1
6 的结果是
x3
x 2
9
1
.
【答案】
x
3
考点：分式的加减法．
考点典例四、分式的四则混淆运算
【例5】（2017重庆A 卷第21题（2））计算：
（2）(
3 a 2
2a 1 a 2)
a
．
a
2
2
a+1
【答案】（2）
．
a-1
【分析】
试题剖析：（2）先将括号里的进行通分，再将除法转变为乘法，分解因式后进行约分 .
试题分析：
（2）（
3
a 2
2a
1
+a ﹣2）÷
a
2
a 2
=[
3 + (a+2)(a-2) ] a 2 2 ， a 2 a 2 (a 1)
a 2-1
a
2 =
2
(a
2
，
a
1)
5
a+1
=．
a-1
考点：分式的混淆运算.
【点睛】正确、灵巧、简易地运用法例进行化简
【贯通融会】
1.（2017黑龙江绥化第15题）计算：(a2b)g a．
a b a b a2b
【答案】
a
ab
【分析】
a2b a a
试题剖析：原式=a b a2b=ab.
考点：分式的混淆运算．
2.（2017陕西省西安铁一中模拟）化简：x2x7x1．
x3x29
【答案】原式=x
2
2x3.
x1
【分析】
试题剖析：先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，而后依据分式的加减法法例分母不变，分子相加即可．
试题分析：解：原式x2x3x7x29 x3x3x1
x2x6x7x29
x3x1
x22x1x29
x3x1
2
x22x3．
x1x3x3x1x3
x3x1x1x1
考点：分式的化简.
考点典例五、分式的化简求值
6
【例6】（2017山东德州第
a24a4a2
3
7 18题）先化简，在求值：
4a22a
，此中a=.
a22
【答案】1
. 2
【分析】：
试题剖析：利用完整平方公式：a2-4a+4=(a-2)2；利用平方差公式：a2-4=(a+2)(a-2)分解因式，把除法转变为乘法，约分化简，而后把a的值代入化简结果即可求值；
a24a4a2试题分析
4a23
a22a
2
（a-2）
=
(a2)(a
=a-3
当a=7
时，原式
2
a(a
a
7
=-3=
2
2)
3
2
1
.
2
考点：分式的化简求值.
【贯通融会】
1.（2017广西贵港，19（2））先化简，在求值：1142a，此中a2
2.
a1a1a21
【答案】7+52
【分析】先化简原式，而后将a的值代入即可求出答案．
当a=-2+2
原式=
242a62a222
2
=
a2
==7+5 (a1)a1a1(a1)16-42
考点：分式的化简求值
2.（2017内蒙古通辽第19题）先化简，再求值.
(12)x25x 6
，此中x从0,1,2,3,四个数中适入选用.
x1x1
【答案】
x 1，-1
22
7
【分析】
试题剖析：第一化简(12)x25x6
，而后依据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适入选用，
x1x1求出算式的值是多少即可．
考点：分式的化简求值
课时作业☆能力提高
一、选择题
1.（2017湖北武汉第2题）若代数式
1
a的取值范围为（）在实数范围内存心义，则实数
a4
A．a4B．a4C．a4D．a4
【答案】D.
【分析】
试题分析：依据“分式存心义，分母不为0”得：
a-4≠0
解得：a≠4.
应选D.
考点：分式存心义的条件.
2.（2017山东省滨州市邹平双语学校八年级期中）以下分式中，最简分式是（）
x21
B.x1x22xyy2x236
A.
21x 21
C.
x2xy
D.
x2x12
8
【答案】A.
考点：最简分式.
3.（2017浙江丽水）化简
x 2
1 的结果是（ ）
x1
1 x
A ．x +1
B ．x ﹣1
C ．x 2
1
D ．x 2
1
x 1
【答案】A ．
【考点】分式的加减法．
4.(2017北京第
7题)假如a 2
2a 1 0，那么代数式a
4 a 2 的值是（
）
a a 2
A ．-3
B ．-1
C.1 D ．3
【答案】C.
【分析】原式=
a 2
4 a 2 a(a 2) a 2 2a ，当a 2
2a 1
0时，a 2
2a1.应选C.
a a2
【考点】代数式求值
二、填空题
x 2 x 3
5. （2017学年苏州市工业园区东沙湖学校八年级第二学期数学期中
）若代数式
的值为零，
2x 6
则x =______________.
【答案】2．
9
【分析】
试题剖析：由题意，得
(x-2)(x-3)=0且2x-6≠0，解得x=2，故答案为：2.
考点：分式值为零的条件．
6.（2017河北）若3
2x=+1，则中的数是（）x1x1
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．随意实数【答案】B．
【分析】∵32x
=+1，∴
3
2x﹣1=32x1=2(1
x)
=﹣2，故____中的数是﹣x1x1x1x1x1x1
2．应选B．
考点：分式的加减法．
7.（2017山东省平邑县阳光中学届九年级一轮复习）化简：a29a3
=_______________．a33a a
【答案】a.
【分析】
试题剖析：a29a3a29a a29a a3a a.因此此题的正a33a a a3a3a3a3a3a3
确答案为a.
考点：分式的混淆运算.
8.（2017江苏省连云港市中考数学三模）若x为21的倒数，则
x
2
x
x6
x2
x3的值为________。

3x6
【答案】221
【分析】∵x为2-1的倒数，∴x=2+1，
x3x2
÷x3
=(x+2)(x-2)=(2+3)(2-1)=22-1
∴原式=
x33x2
x
考点：分式的化简.
10
9.（2017湖北武汉第
x 2 1
．
12题）计算 1
的结果为
x x1
【答案】x-1.
【分析】
x 2 1
x 2
1（x1)(x1) 1
试题分析：
1 x =
=
x1
x
x
1x
1
考点：分式的加减法.
三、解答题
10.（2017四川宜宾第
17（2）题）化简（ 1
）÷（
a 2
4a
4
1﹣
a 2
）．
a
1
a
a
【答案】
a
2．
【分析】
试题剖析：先算减法和分解因式，把除法变为乘法，最后依据分式的乘法法例进行计算即可．
a 1 1 (a
2)2
试题分析：原式 =
=
a
1
a (a
1)
a-2 a (a
1)
2
a-1
(a
2)
a = ．
2 考点：分式的混淆运算.
11．（2017苏州市工业园区东沙湖学校期中模拟）计算：
x 2 6x9
2x 6 （2）
（1）
x
2
x
2
3x
9
【答案】（1）
2
；（2）
2x 6
x
x 2
2x 6 3 x
4 4x x 2 x
2 x 3
11
考点：分式的混淆运算.
12.（2017哈尔滨第
21题）先化简，再求代数式
1
? x+2 x
的值，此中x=4sin60
°-2.
2
x-1x-2x+1x+2
【答案】- 1
，-
3．
x+2 6
【分析】
试题剖析：依据分式的除法和减法能够化简题目中的式子，而后将
x 的值代入化简后的式子即可解答此题．
2
试题分析：原式=
1
?(
x-1
)
x
=x-1-
x =-
1 ，
x-1
x+2x+2 x+2
x+2
x+2
当x=4sin60°﹣2=4×
3
-2=2
3﹣2时，原式=- 2 3
1 2=-
3．
2
2 6
考点：1.分式的化简求值； 2.特别角的三角函数值．
13. （2017青海西宁第 22题） 先化简，再求值：
n 2
m n
m 2，此中m n
2.
n
m
1
2 【答案】
n-m
，﹣ 2
．
考点：分式的化简求值．
12
14.（2017湖南张家界第16题）先化简11x24x4
，再从不等式2﹣1＜6的正整数解中选
1x21x
x
一个适合的数代入求值．
【答案】x1
，4．x2
【分析】
试题剖析：先把括号里的式子进行通分，再把后边的式子依据完整平方公式、平方差公式进行因式分解，而后约分，再求出不等式的解集，最后辈入一个适合的数据代入即可．
试题分析：
1x24x4
(x1)(x1)=
x1
，∵2x﹣1＜6，∴2x＜7，∴x＜
7
，正1
x21
=x2
x1x1(x2)2x22
整数解为1，2，3，当x=1，x=2时，原式都无心义，∴x=3，把x=3代入上式得：
原式=31
=4．
32
考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
15.（2017贵州安顺第20题）先化简，再求值：（x﹣1）÷（2
﹣1），此中x为方程x2+3x+2=0的根．
x1
【答案】1.
【分析】
试题剖析：先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
2x1
试题分析：原式=（x﹣1）÷
x+1
1x
=（x﹣1）÷
1
x1
=（x﹣1）×
x
=﹣x﹣1．
由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2．
当x=﹣1时，原式无心义，因此x=﹣1舍去；
当x=﹣2时，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1．
考点：分式的化简求值；解一元二次方程﹣因式分解法．
13。