平面向量基本定理

平面向量基本定理
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si ，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1．平面向量基本定理
定理
条件
e 1，e 2是同一平面内的两个__不共线__向量
结论
对于这一平面内的__任意__向量a ，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a ＝__λ1e 1＋λ2e 2__
基底 把__不共线__的向量e 1，e 2叫做表这一平面内所有向量的一组__基底__
[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．
(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．
2．两向量的夹角与垂直 定义
已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则__∠AOB __叫做向量a 与b 的夹角
图示
特殊情况
θ＝0° a 与b __同向__ θ＝180° a 与b __反向__ θ＝90° a 与b __垂直__，记作 a ⊥b
[知识点拨](1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线． (2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．
(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC 中，∠BAC 不是CA →与AB →的夹角，∠BAD 才是CA →与AB →
的夹角．
1．若a ，b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( B ) A ．a ＝b ，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0
D ．a ＝0，μ＝0
2．在正方形ABCD 中，AC →与CD →
的夹角等于( D ) A ．45° B ．90° C ．120°
D ．135°
3．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：
①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( B )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
[解析] ②中DA →与BC →和④中OD →与OB →
为共线向量，不能做为基底． 4．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →
等于( A )
A ．1
2(5e 1＋3e 2)
B ．1
2(5e －3e 2)
C ．1
2
(2e 2＋5e 1)
D ．1
2
(5e 2＋3e 1)
[解析] OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝1
2
(5e 1＋3e 2)．
命题方向1 ⇨对基底概念的理解
典例1 如果e 1、e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确．．．的是( B ) ①a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1λ2＝μ1
μ2．
④若实数λ、μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0． A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．②
[思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e 1与e 2不共线和平面内向量a 用基底e 1、e 2表示的唯一性求解．
[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B ．
『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．
〔跟踪练习1〕设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是__③__.(写出所有满足条件的序号)
[解析] ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝1，1＝0，无解，
∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；
②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2λ＝0，
2＋λ＝0，无解，
∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；
③∵e 1－2e 2＝－1
2(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作
为一组基底；
④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
1－λ＝0，1＋λ＝0，无解， ∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底． 命题方向2 ⇨求两向量的夹角
典例2 在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求： (1)AD →与BD →
的夹角大小； (2)DC →与BD →
的夹角大小．
[思路分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识
和向量夹角知识解答本题．
[解析] (1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，
∴AB 2＋BC 2＝(3)2＋12＝22＝AC 2， ∴△ABC 为直角三角形．
∵tan A ＝BC AB ＝13＝3
3，∴A ＝30°．
∵D 为AC 的中点，
∴∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →
．
在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°． ∴AD →与BD →
的夹角为120°． (2)∵AD →＝DC →，
∴DC →与BD →
的夹角也为120°．
『规律总结』 求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误． 〔跟踪练习2〕如图，已知△ABC 是等边三角形．
(1)求向量AB →与向量BC →
的夹角；
(2)若E 为BC 的中点，求向量AE →与EC →
的夹角． [解析] (1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°． 如下图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，
则AB →＝BD →，
∴∠DBC 为向量AB →与BC →
的夹角．
∵∠DBC ＝120°，
∴向量AB →与BC →
的夹角为120°． (2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →
的夹角为90°． 用基底表示平面向量
用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．
典例3 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →．
[思路分析] 把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．
[解析] 如图，连接FD ，
∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB ，
∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12
b ，
BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →
＝a －12b ，
EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →
＝－(a －12b )－12×12b ＝1
4
b －a ．
〔跟踪练习3〕如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →
＝2P A →
，则( A )
A ．x ＝23，y ＝1
3
B ．x ＝13，y ＝2
3
C ．x ＝14，y ＝3
4
D ．x ＝34，y ＝1
4
[解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋1
3OB ．∴x ＝23，y ＝13．
忽略两个向量作为基底的条件
典例4 已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0
[错解] A
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件．若没有指明，则应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．
[思路分析] 当e 1∥e 2时，a ∥e 1，又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又e 1≠0，故a 与b 共线；当λ＝0时，则a ∥e 1.又因为b ＝2e 1，所以b ∥e 1.又因为e 1≠0，故a 与b 共线．
[正解] D
[点评] 当条件不明确时要分类讨论．
〔跟踪练习4〕已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于__3__．
[解析] ∵e 1，e 2不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝62x －3y ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6
y ＝3
， ∴x －y ＝3．
1．向量的夹角θ的范围是( B ) A ．0°≤θ<180° B ．0°≤θ≤180° C ．0°<θ<180°
D ．0°<θ≤180°
2．设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D ) A ．e 1、e 2一定平行 B ．e 1、e 2的模相等
C ．同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )
D ．若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) [解析] 由平面向量基本定理可知，选项D 正确．对于任意向量e 1，e 2，选项A 、B 不正确，而只有当e 1与e 2为不共线向量时，选项C 才正确．
3．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为该平面内所有向量基底的是( B )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →
，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
4．在锐角△ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是( B ) A ．AB →与BC →
的夹角是锐角 B ．AC →与AB →
的夹角是锐角 C ．AC →与BC →
的夹角是钝角
D ．AC →与CB →
的夹角是锐角
[解析] 由向量夹角的定义可知，AB →与AC →
的夹角为∠A ，为锐角． 5．在▱ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底{a 、b }表示AB →、BC →
． [解析] 如图，设AC 、BD 相交于点O ，
则有AO →＝OC →＝12a ，BO →＝12BD →＝12b ，
∴AB →＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －1
2b ，
BC →＝BO →＋OC →＝12a ＋12
b ．
A 级 基础巩固
一、选择题
1．e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )
A ．e 1＋e 2和e 1－e 2
B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1
C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1
D ．e 2和e 1＋e 2
[解析] 3e 1－2e 2与4e 2－6e 1是共线向量，不能作为一组基底．
2．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a 、b 的判断正确的是( B ) A ．a 与b 一定共线 B ．a 与b 一定不共线 C ．a 与b 一定垂直
D ．a 与b 中至少一个为0
[解析] 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B ．
3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD →＝DB →，CD →＝23CA →＋λCB →
，则λ等于( A )
A ．13
B ．－13
C ．23
D ．－23
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋13AB →＝CA →＋13(CB
→
－CA →)＝23CA →＋13CB →
，所以λ＝13
．
方法二 因为A ，B ，D 三点共线，CD →＝23CA →＋λCB →
，所以23＋λ＝1，所以λ＝13．
4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
( A )
A ．34A
B →－14A
C →
B ．14AB →－34A
C →
C ．34AB →＋14
AC →
D ．14AB →＋34
AC →
[解析] EB →＝AE →＋AB →＝－12AD →＋AB →＝－12×12(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →
．
5．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( D ) A ．π
6
B ．56π
C ．π3
D ．23
π
[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，
∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π
3.故选D ．
6．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C ) A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内
B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2可以不唯一
C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＝λ2e 2，则λ1＝λ2＝0
D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在
[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表
示向量AM →
＝ b ＋12
a ．
[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →
＝b ＋12
a ．
8．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝__0__．
[解析] ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝03x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝0
，∴x ＋y ＝0． 三、解答题
9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →
．
[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14
(AC →－AB →)，
∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14
AC →
．
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若AB →
＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →．
[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12
b ，
CF →＝12CD →＝12BA →
＝－12AB →＝－12a ．
∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2
b ，
BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →
＝b －12
a ．
B 级 素养提升
一、选择题
1．如果e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数m 、n 使得m e 1＋n e 2＝0，则m ＝n ＝0
B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2为实数
C ．对于实数m 、n ，m e 1＋n e 2不一定在此平面上
D ．对于平面内的某一向量a ，存在两对以上的实数，m ，n ，使a ＝m e 1＋n e 2
[解析] 选项B 中应为“平面内任一向量”，C 中m e 1＋n e 2一定在此平面上，选项D 中，m ，n 应是唯一的，只有A 正确．
2．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( B ) A ．150° B ．120° C ．60°
D ．30°
[解析] ∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ，
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形．
∴a 与b 的夹角为120°．
3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( A )
A ．AD →
＝－13AB →＋43AC →
B ．AD →＝13AB →－43A
C →
C ．A
D →＝43AB →＋13
AC →
D ．AD →＝43AB →－13
AC →
[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝13AB →＋43AC →
，故选A ．
4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→，则OP →
＝( D ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb 1＋λ
[解析] ∵P 1P →＝λPP 2→
， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，
(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝λb ＋a 1＋λ
．
二、填空题
5．向量a 与b 的夹角为25°，则2a 与－32b 的夹角θ＝__155°__． [解析] 作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝25°，如图所示．
延长OA 到C ，使OA ＝AC ，则OC →＝2a ．
延长BO 到D ，使OD ＝32BO ，则OD →＝－32
b ． 则θ＝∠DOA ，又∠DOA ＋∠AOB ＝180°，则∠DOA ＝180°－25°＝155°，则θ＝155°．
6．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝__－2__．
[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)．
又∵e 1、e 2不共线．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题
7．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝2e 1－3e 2，，试用a ，b 表示c ．
[解析] 设c ＝x a ＋y b ，则2e 1－3e 2＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)，
即(3x －2y )e 1＋(y －2x )e 2＝2e 1－3e 2．
又e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝2，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝5，所以c ＝4a ＋5b ．
8．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DC AB
＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →．
[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB
＝k ，
∴DC →＝kAB →＝k e 2，
又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，
∴BC →＝－AB →－CD →－DA →
＝－AB →＋DC →＋AD →
＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2．
而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，
∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12
AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2
． C 级 能力拔高 如图，点L 、M 、M 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA ＝m ，AN AB
＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0．
求证：l ＝m ＝n ．
[证明] 令AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，
则由BL BC
＝l 得，BL →＝lb ； 由
CM CA ＝m 得CM →＝m c ； 由AN AB
＝n 得AN →＝n a ． ∵AL →＋BM →＋CN →＝0，
∴(AB →＋BL →)＋(BC →＋CM →)＋(CA →＋AN →)＝0．
即(a ＋l b )＋(b ＋m c )＋(c ＋n a )＝0，
∴(1＋n )a ＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0．
又∵a ＋b ＋c ＝0，
∴a ＝－b －c ，
∴(1＋n )(－b －c )＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0，
即(l －n )b ＋(m －n )c ＝0．
∵b 与c 不共线，
∴l －n ＝0且m －n ＝0，
∴l ＝n 且m ＝n ，
即l＝m＝n．。