2024学年江苏省江阴市第一中学高三高考数学试题系列模拟卷(4)

2024学年江苏省江阴市第一中学高三高考数学试题系列模拟卷（4）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线()22210x y a a
-=>的一条渐近线与圆()2
222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围
是（ ） A ．)
2,⎡+∞⎣
B ．[)2,+∞
C ．(
1,2⎤⎦
D ．(]1,2
2．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率
355
113
≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24
(4)2
h 2π+π+
B ．216
(2)4
h π+π+
C ．2(8421)h π+π+
D ．2(2216)h π+π+
3．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O
为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2
B ．5
C ．6
D ．7
4．设实数满足条件
则的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．下列命题是真命题的是（ ）
A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2
011x -≤；
C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；
D ．命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”.
6．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83π
1633
+
B ．4π1633
+
C ．
16343π
3
+
D ．43π
1633
+
8．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，
则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B ．
63
C ．
33
D ．
23
9．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48
B ．60
C ．72
D ．120
11．定义在R 上的函数()f x 满足()(
)2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
12．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．4
3
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若向量()
()2
21a x b x ==，
，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 14．已知函数2()x
f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.
15．已知实数x ，y 满足约束条件3312
x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩
，则y
z x =的最小值为______.
16．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.
甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 √ × × √ 乙的猜测 × ○ ○ √ 丙的猜测 × √ × √ 丁的猜测
○
○
√
×
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 23sin 2x y αα⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12
π
θ=
，若直线l 与曲线C 交于两点A ．B ，求AB 的长；
（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2
MON π
∠=
，求OMN ∆面积的最大值.
18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点． （1）求证：1//B E 平面ACF ；
（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．
19．（12分）在四边形ABCP 中，2,3
AB BC P π
==∠=
，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边折起，连结PB ，
使PB PA =，求证：
（1）平面ABC ⊥平面PAC ；
（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为
3
4
，求二面角F PC A --的大小. 20．（12分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，
12AB BC BB ===，1AD =，3CD =，160ABB ∠=︒.
（1）求证：1AB B C ⊥；
（2）若平面ABCD ⊥平面11ABB A ，求二面角1D B C B --的余弦值.
21．（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；
（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.
22．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面积为3（1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离d ≥a 的范围，再由离心
率公式计算即可得到所求范围． 【题目详解】
双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，
由题意知，直线0x ay -=与圆()2
222x y +-=相切或相离，则
d =
≥
解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(
c e a ==.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 2、D 【解题分析】
设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得
42a h =π，所以2
h
a π=，
，
所以需要灯带的总长度约为44(22
h
+π⨯=π+
h ，故选D ．
3、D 【解题分析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【题目详解】
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，
所以x ＝2a ，则EF 2＝a ，
由勾股定理可得（4a ）2+（）2＝（2c ）2，
所以c 2＝7a 2， 则e 7c
a
=
= 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 4、C 【解题分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且
时，
有最大值为.
故选：.
【题目点拨】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 5、D 【解题分析】
根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【题目详解】
若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2
011x ->，故B 错误；
p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q ∨为真，
所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；
命题“若()110x
x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110x
x e -+≠”，故D 正确；
故选D 【题目点拨】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题. 6、D 【解题分析】
先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．
【题目详解】
由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 7、D 【解题分析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【题目详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积1
1143π
4π23233
V =⨯⨯⨯=
,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯⨯=163,故该几何体的体积1243π
1633
V V V =+=
+. 故选:D.
【题目点拨】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 8、A 【解题分析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6
PO =
，22CO =，
同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，
所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，
有222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==
⋅，
故1
sin 3
POC ∠==. 故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 9、B 【解题分析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【题目详解】
输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则10
52
n =
=，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则16
82n =
=，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则8
42n ==，314i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则4
22n ==，415i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则2
12
n ==，516i =+=；
1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 10、A 【解题分析】
对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【题目详解】
数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，
共有222
32212C A A =个
数字2出现在第4位时，同理也有12个
数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，
共有1222232224C C A A =个
故满足条件的不同的五位数的个数是48个
故选A
【题目点拨】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

11、C
【解题分析】
推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．
【题目详解】
∵定义在R 上的函数()f x 满足()(
)2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．
【题目点拨】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
12、A
【解题分析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可．
【题目详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以
PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭，所以斜率为
1041314k -==--，故选A ． 【题目点拨】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、()3,1-
【解题分析】
根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.
【题目详解】
()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<.
故答案为：()3,1-.
【题目点拨】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
14、2 -0e x y =
【解题分析】
设切点坐标为()2,t t e ，利用导数求出曲线()y f x =在切点()2,t
t e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，
于此可得出所求的切线方程．
【题目详解】
设切点坐标为()2,t t e ，
()2x f x e =，()22x f x e '∴=，()22t f t e '=， 则曲线()y f x =在点()2,t t e 处的切线方程为()222t t y e
e x t -=-， 由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =
， 因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=．
【题目点拨】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
15、12
【解题分析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B 处，联立32x y x +=⎧⎨=⎩
，解得点B 坐标，即可求得答案. 【题目详解】
作出满足约束条件3312x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，故OB OA k z k ≤≤
由题可知，联立312y x x =-⎧⎨=⎩得()2,5A ,联立32
x y x +=⎧⎨=⎩得()2,1B 所以51,22OA OB k k ==，故1522
z ≤≤ 所以z 的最小值为
12
故答案为：1 2
【题目点拨】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
16、乙、丁
【解题分析】
本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.
【题目详解】
从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.
所以本题答案为乙、丁.
【题目点拨】
本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（12；（2）1.
【解题分析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+
⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，即最大值为1. 【题目详解】 （1）将曲线C
的参数方程化为普通方程为2
2112x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，
即220x y x +-=；
再将222
x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，
得2cos sin 0ρρθθ--=，
故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中，
必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，
即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+= ⎪⎝
⎭（2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭， 则OMN 面积为
121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 当πsin 213θ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【题目点拨】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.
18、（1）证明见详解；（2
. 【解题分析】
（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；
（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.
【题目详解】
（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：
在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，
//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，
1B F BC ∴//，且112
B F B
C =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，
∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴
又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ，
1//B E ∴平面ACF ，即证.
（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，
以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
则()
0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2B
CE 3,2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，CF (1,0,2)=，
CA ()
1,=，1CB (2,0,2)= 设平面1CEB 的一个法向量m (),,x y z =，
则100
m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，则00y x z -=+=⎪⎩， 令1x =．则
m 1)=-，
同理得平面ACF 的一个法向量为
n 12⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则286,?19
m n cos m n n m ⋅=
=， 故平面1CEB 与平面ACF 所成二面角（锐角）的余弦值为
19. 【题目点拨】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.
19、（1）证明见详解；（2）
6π 【解题分析】
（1）由题可知，等腰直角三角形ABC 与等边三角形PAC
，在其公共边AC 上取中点O ，连接OB 、OP ，可得,OB AC OP AC ⊥⊥，可求出OP =在OPB △中，由勾股定理可证得OP OB ⊥，结合OP AC O ⋂=，可证明OB ⊥平面PAC .再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC ⊥平面PAC . （2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由点F 在线段AB 上，设(01)AF mAB m =
<<，得出CF 的坐标，进而求出平面PFC 的一个法向量n .用向量法表示出AP 与平面PCF 所成角的正弦值，由其等于4
，解得n .再结合OB 为平面PAC 的一个法向量，用向量法即可求出n 与OB 的夹角，结合图形，写出二面角F PC A --的大小.
【题目详解】
证明：（1）在PAC ∆中，2,3PA PC P
π==∠=
PAC ∴△为正三角形，且2AC =
在ABC 中，AB BC ==
ABC ∴为等腰直角三角形，且AB BC ⊥
取AC 的中点O ，连接0,B OP
,OB AC OP AC ∴⊥⊥
1,2OB OP PB PA ====，
222PB OB OP ∴=+，
OP OB ∴⊥
OP AC O =，,AC OP ⊂平面PAC
OB ∴⊥平面PAC
OB ⊂平面ABC
..平面ABC ⊥平面PAC
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C P -，
(1,1,0),AB AP ==，
(0,1,3),(0,2,0)CP CA =-=-，
设(01)AF mAB m =<<.则(,2,0)CF CA AF m m =+=-
设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则
00n CF n CP ⎧⋅=
⎨⋅=⎩
(2)00
mx y m y +-=⎧⎪∴⎨-
=⎪⎩，
令y =1
x z ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
n ⎫∴=⎪⎭
AP 与平面PFC
222334||||(2)2331n AP n AP m m ⋅∴==-++
整理得23440m m +-=
解得23
m =或2m =-(含去) (23,3,1)n ∴=
又OB 为平面PAC 的一个法向量
3cos ,2n OB n OB n OB ⋅∴〈〉=
= ,6n OB π
∴〈〉=，
二面角F PA C --的大小为
6π.
【题目点拨】
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.
20、（1）证明见解析（2）10535
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【解题分析】
（1）取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，1AB ，根据线段关系可证明ABC ∆为等边三角形，即可得AB OC ⊥；由1ABB ∆为等边三角形，可得1AB OB ⊥，从而由线面垂直判断定理可证明AB ⊥平面1OB C ，即可证明1AB B C ⊥. （2）以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面1BB C 和平面1B CD 的法向量，即可由法向量法求得二面角1D B C B --的余弦值.
【题目详解】
（1）证明：取AB 中点为O ，连接OC ，1OB ，AC ，如下图所示：
因为1AD =，3CD =，90ADC ∠=︒， 所以2AC =，故ABC ∆为等边三角形，则AB OC ⊥. 连接1AB ，因为12AB BB ==，160ABB ∠=︒， 所以1ABB ∆为等边三角形，则1AB OB ⊥. 又1OC OB O =，所以AB ⊥平面1OB C . 因为1B C ⊂平面1OB C ，
所以1AB B C ⊥.
（2）由（1）知AB OC ⊥，
因为平面ABCD 平面11ABB A AB =，OC ⊂平面ABCD ， 所以OC ⊥平面11ABB A ，
以O 为原点，1OB ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求13OC OB =，则()0,1,0B ，)13,0,0B ，(3C ，330,2D ⎛- ⎝⎭， 则(0,3BC =-，(
13,0,3B C =-，330,,2CD ⎛=- ⎝⎭. 设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =，
则1110,0,n BC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即11110,0,
y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令11x =
，则1y =11z =， 故()
11,3,1n =.
设平面1B CD 的法向量()2222,,n x y z =， 则2210,0,n CD n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
则222230,20,y z ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
令21x =
，则23y =-，21z =
，故21,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，
所以121212
cos ,355n n n n n n ⋅===
. 由图可知，二面角1D B C B --为钝二面角角，
所以二面角1D B C B --
的余弦值为【题目点拨】
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.
21、（1）3
π；（2. 【解题分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1cos 2
B =，根据()0,B π∈可求得结果；（2）利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用基本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果.
【题目详解】
（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+
A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠
2cos 1B ∴=，即1cos 2B =
由()0,B π∈得：3B π
=
（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=
又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=
即()max 4ac =
∴三角形面积S 的最大值为：14sin 2
B ⨯= 【题目点拨】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.
22、（1）3
π；（2）7. 【解题分析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ．
详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆= 138sin 2A =⨯⨯⨯=
∴sin A =， ∵A 为锐角， ∴3A π
=；
（2）由余弦定理得：
a =7==. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记
两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.。