压电效应振动模式

Gjllw lt
S33
ds1E2311
tank(lk2l)
2
高次谐波的不同说法：泛音、副音。
一次谐波、二次谐波 … n=0,1,2…
基波、三次谐波 … m=2n+1=1,3,5…
tan( kl ) ; 2
kl 2 n 1 ; n 0 ,1, 2 ,...
2
2
kl 2n 1; l 2n 1 ;
对于正弦电流V=V0ejt，代入上式 后可得:
IjCR 1j 1LVGeV
第二十四页，共70页。
比较以上三式，可得机电类比如表5-1所示。
机械振动
FjmRmjK UZmU
LC串联电路 VjLRj1CIZeI
LC并联电路
IjCR 1j 1LVGeV
第二十五页，共70页。
表5-1 机械量及电学量类比
F ZmU ZmeI
V
ZemU
ZeI
（5-94）
式中：
Ze=(V/I)u=0为机械端开路（即夹持）时的电学端输入阻抗； Zem=(V/U)I=0为电学端开路时的变换参数；Zme=(F/I)u=0为机械端 开路（即夹持）时的变换参数；
Zm=(F/U)I=0为电学端开路时力学端的输出机械阻抗。
第三十一页，共70页。
第四页，共70页。
压电振动模式分析过程
牛顿定律
压电方程
波动方程
电位移、应力、应变
边界条件
质点位移
电流、导纳、阻抗
材料设计
材料参数|等效电路
元件设计
第五页，共70页。
例子：薄长片压电振子
设d310的压电晶体的zx切割晶片，长度l沿x方向，宽度lw沿y 方向，厚度lt沿z方向，并且有l>>lw和lt，电极面及z轴垂直， 如图6-3所示。因为l>>lw和lt，长度方向是主要因素，所以只考 虑应力分量X1的作用，其它应力分量X2、X3、X4、X5、X6可以忽 略不计。
c
2n 1 c ; f 2n 1 1
l
2
l
s
E 11
第十二页，共70页。
基波和一次谐波的位移示意图
节点，夹具固定的位置
第十三页，共70页。
及传统电介质材料不同！
于是得到在谐振频率时，薄长片压电振子的等效导纳为无限 大。
G r
而阻抗等于零，Z|r=1/G|r=0，响应的电流I3|r =。 可见，当外加交变电场的频率等于薄长片压电振子的谐振频率fr 时，阻抗为零时，而通过的电流最大。谐振频率fr为：
第二十九页，共70页。
例如图5-18所示的T型机械四端网络，它的传输方程为： F1(Zm1Zm12)U1Zm12U2 F2Zm12U1(Zm12Zm2)U2 （5-93）
第三十页，共70页。
机电四端网络:如图5-19所示的机电四端网络，选电流I和速度U为 自变量，电压V和力F为因变量，它的传输方程：
F1 F2
Zm11U1 Zm21U1
Zm12U2 Zm22U2
ZZm mee12II
VZem1U1 Zem2U2 ZeI
式中：
（5-98）
Zm11=(F1/U1)U2=0,I=0为电学端开路和力学2端开路（即夹持）时力学1端的输出机
械阻抗；
Zm12=(F1/U2)U1=0,I=0为电学端开路和力学1端开路（即夹持）时的转移机械阻抗
fr
f0
c 2l
1 2l
1 s1E1
晶片沿长度方向机械振 动的谐振频率！
力学谐振
薄长片压电振子长度
电学谐振
第十四页，共70页。
弹性顺服常数sE11的确定
实验上，可以通过谐振频率的测量，即：阻抗最小，电流最大时 的频率来确定弹性柔顺常数sE11（当然还要测量压电振子的密度），
即：
s
E 11
1 4 l 2 fr2
NV 1V Ze
（5-96）
F
Zm
ZmeZem Ze
U
Zme Ze
V
I Zem U 1 V
Ze
Ze
将（5-96）式及（5-95）式比较，即得机电变压器的转换系数N为:
N Zme Zem Ze Ze
（5-97）
第三十三页，共70页。
机电六端网络:如图5-21所示的机电六端网络，选速度U1、U2和 电流I为自变量，力F1、F2和电压V为因变量，它的传输方程：
因为>0，所以(+)/2在第二象限，这时tan((+)/2)<0，并随 频率的增加在（- 0）范围内变化，因此一定存在某一 个频率fa或a，即k=ka=a/c时，使得:
x 33
d
2 31
s1E1
tan( kal ) 2
kal
0
2
基波解！
第十六页，共70页。
x 33
d
2 31
s1E1
tan( kal ) 2
d231 s1E1
tan(kl)
2 kl
]
2
频率特性及传统（线性）
介质电容基本31 s1E1
]
第十页，共70页。
频率很低时，薄长片压电振子的等效导纳：
G|low
j
l
lw lt
[
x 13
d
2 31
s1E1
]
j l lw lt
1X3
jC low
式中电容：
Clow
V1 V2
Z11I1 Z21I1
Z12I2 Z22I2
（5-90）
式中：
Z11=(V1/I1)I2=0为输出端开路时的输入电阻； Z12=(V1/I2)I1=0为输入端开路时的反向转移阻抗； Z21=(V2/I1)I2=0为输出端开路时的正向转移阻抗； Z22=(V2/I2)I1=0为输入端开路时的输出电阻。
第二十一页，共70页。
机电类比
某机械振动系统，如图所示，其中质量为m，弹性常数为K， 阻力为RmU，振动速度为U。若外界的作用力为F，则此系
统的运动方程式为：
mddU t FRmUkx
或: Fmd dU t RmUKUdt
对于正弦运动: UU0ejt
FjmRmjK UZmU
第二十二页，共70页。
机械振动系统
第二十七页，共70页。
例如图5-16所示的T型四端网络，它的传输方程为： V1 (Z1 Z12)I1 Z12I2 V2 Z12I1 (Z12 Z2)I2 （5-91）
第二十八页，共70页。
机械四端网络:如图5-17所示的机械四端网络，选速度U1、U2为 自变量，力F1、F2为因变量，它的传输方程：
某LC串联电路，如图所示，其中电感为L，电容为C，电阻 为R，电流为I。若外加电压为V，则有：
VLd dIt RIC 1Idt
对 于 正 弦 电 流 I=I0ejt ， 代 入 上 式可得:
VjLRj1CIZeI
第二十三页，共70页。
如果为LC并联电路，如图所示，则有
IIcIRILC d d V tV R L 1V d t
压电效应振动模式
第一页，共70页。
• 石英晶体：
– 石英晶体的结构、培育、主要特性、质量检验、缺 陷和电清洗
• 压电效应：
– 压电效应、压电方程、切型和定向、旋转坐标系、 频率温度系数
• 振动模式：
– 振动模式、压电振子的等效电路、机电类比和机电网络， 常见的振动模式
• 谐振器和振荡器：
– 谐振器的等效电路、振动模式；振荡器原理
第三页，共70页。
z
沿x加电压产生三个振动：
沿x方向的厚度伸缩振动；
沿y方向的长度伸缩振动；
沿yz方向的面切变振动；
y
x
如何保留我们所需要的振动，抑制寄生振动（我们所不需要的）？
施加电压的频率及某个方向机械振动的频率相同，产生谐振（共
振 resonate）。压电振子 piezoelectric resonator
F1 Zm11U1 Zm12U2 F2 Zm21U1 Zm22U2
（5-92）
式中：
Zm11=(F1/U1)u2=0为输出端开路(即夹 持)时的输入机械阻抗； Zm12=(F1/U2)u1=0 为 输 入 端 开 路 ( 即 夹持)时的反向转移机械阻抗；
Zm21=(F2/U1)u2=0 为 输 出 端 开 路 ( 即 夹持)时的正向转移机械阻抗； Zm22=(F2/U2)u1=0 为 输 入 端 开 路 ( 即 夹持)时的输出机械阻抗。
第六页，共70页。
长度伸缩振动模式压电晶片内，质点位移随u位置x和时间t的变 化关系：
ux,td31E3cos(k (lx))cos(k x)
k
sin(k l)
为了对上式所表示的波形有较具体的了解，在图5-2中，绘 出了t=0及t= /=1/2周期时的波形。从图5-2中可以看出上式
代表纵驻波方程式，即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波。
神奇：通过电学量测量确定力学量！
回忆力学实验课的杨氏模量的测量！
(5-23)
第十五页，共70页。
在反谐振频率时 anti-resonant
当外加交变电场的频率f稍高于谐振频率fr时，即：
t a n k l / 2 t a n l / 2 c t a n / 2
并有>0，于是： r ( )c/ l
tank(lk2l)
2
2f, k/c
c 1
s
E 11
电场（电压）频率：f 声速：c 密度：
第九页，共70页。
频率很低时的情况 at low frequency：当外加交变电场的频率 很低时，即很小时，可以近似认为k=/c0，于是:
lim
k 0
tan( kl 2
kl
)
1
2
G
jllw lt
[3x3
位移（形变）是由压电性引起的！
第七页，共70页。
t=0及t= /=1/2周期时的波形
压电振子谐振时的波形，
理论上振幅应该无限大！
实际上是谐振模式振幅远 大于非谐振模式振幅！
基波和一次谐波质点位移示意图
第八页，共70页。
薄长片压电振子的等效导纳为：
G
j l lw lt
3x3
d231 s1E1
kal
0
2
即:当k=ka时，薄长片压电振子的等效导纳为零，等效阻抗为 无限大；通过压电振子的电流等于零。
导纳：
G|kajalltlw3x3
ds1E2311
tank(akl2al)0
2
第十七页，共70页。
G Z 1j C 0j2llw ts c1 E d 12 3 1ta n ( 2c l)Z 1 0Z 1 1
其中：
C0
l
lw lt
x 33
为分路电容
Z0
1 jC 0
为分路阻抗
Z1
j
lts1E1 2lwd231ctan(l2c)
为动态阻抗
第十八页，共70页。
C0
l lw lt
x 33
分路电容
Z1
j
lts1E1 2lwd231ctan(l2c)
动态阻抗
在谐振频率附件展开分路阻抗Z1可以得到：
L1
1 8
l l
s1E1 d31
2
R1
1 rC1Qm
其中: Qm为机械品质因子。
Mechanical Quality factor
等效电路成立的条件：谐振频率附近！
第二十页，共70页。
等效网络方法 Equivalent circuit method
➢基本概念:机电类比和传输方程 ➢例子:薄长片压电振子的等效网络
l lw lt
3X3
（5-21）
机械自由介电常数
第十一页，共70页。
在谐振频率时的情况 resonant：当外加交变电场的频率f等于谐振 频率fr时，即：=r=c/l时，<= 基波解n=0!
ta n (k 2 l)| r ta n ( 2 c l)| r ta n ( 2 r c l) ta n ( 2 )
第二页，共70页。
• 为什么研究压电振子的振动模式？
• 有哪些常用的振动模式？
石英晶体的压电性
x 1 d 11 0 0
x
2
d
1
2
x3
0
x 4 d 14
x x
5 6
0 0
0 0 0 d 25 d 26
0 0 0 0 0
E E E
1 2 3
如果使用石英晶体的xy切片（ 即：厚度沿x方向，长度沿y方 向，电极面在x面上），加电压 沿x产生电场，会激发三个振动 ： 沿x方向的厚度伸缩振动； 沿y方向的长度伸缩振动； 沿yz方向的面切变振动；
F ZmU ZmeI
V
ZemU
ZeI
若选V、U为自变量，则由（5-94）式可得另一 组传输方程:
F
Zm
ZmeZem Ze
U
Zme Ze
V
I Zem U 1 V
Ze
Ze
（5-95）
第三十二页，共70页。
例如图5-20所示的机电四端网络，它的传输方程为:
F I
Z
' m
U
NU
机械量
力F 速度U 质量m 力阻Rm 力顺1/K 机械阻抗 Zm
电学量
一类（串联） 二类（并联）
电压V
电流I
电流I
电压V
电感L
电容C
电阻R
电导1/R
电容C
电感L
阻抗Ze
导纳Ge
第二十六页，共70页。
线性机电网络
电学四端网络:如图5-15所示的四端网络，选电流I1、I2为自变 量，电压V1、V2为因变量，它的传输方程：
lt
w
s
E 11
d 31
2
C1
8
l lw lt
d
2 31
s
E 1
1
无损耗时压电振子的等效电路（谐振频率附近）
第十九页，共70页。
有损耗时压电振子的等效电路（谐振频率附近）
等效电路参数为：
C0
l lw lt
3x3 ,
C1
8
l lw lt
d231 s1E1
,
L1
1 8
l lt lw