福建省清流一中年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案

清流一中高二数学(理科)半期考试卷
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题（本题共10题，每题5分，共50分）
1．已知i 为虚数单位，)21(i i Z +⋅=，则复数Z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知随机变量X ～(,0.8)Bn ，6.1)(=X D ，则n 的值是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
3．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2
a ＞0”，你认为这个推理（ ） A ． 大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的
4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归方程ˆy =0.7x+0.35，那么表中m 的值为（ ）
A.4
B.3.15
C.4.5
D.3
5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4个蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法种数为 （ ） A ．6种
B ．12种
C ．18种
D ．24种
6. 某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由图中曲线可得下列说法中正确的一个是 （ ） A. 甲科总体的标准差最小 B. 乙科总体的标准差及平均数都居中 C. 丙科总体的平均数最小 D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同
7．抛掷一颗骰子两次，定义随机变量⎪⎩
⎪
⎨⎧=次的点数）次的点数等于第第次的点数）次的点数不等于第第21(121(0X ，随机变量X 的方差=)(X D （ ） Ａ．
61 Ｂ．18
5
Ｃ．
36
5
Ｄ．
6
5 8．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为凸数，如254， 674等都是凸数，那么，各个数位上无重复数字的三位凸数有 （ ） Ａ．120个 Ｂ．204个 Ｃ．240个
Ｄ．360个
9．观察右图的图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(
)
A. B.
C. D.
10．()1n
a x
b y -+展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为 （ ）
A ．2,1,5a b n ==-=
B ．1,2,6a b n =-==
C ．1,2,5a b n =-==
D ．2,1,6
a b n =-=-= 二、填空题（本题共5题，每题4分，共20分）
11..如果随机变量ξ～N （0，σ2
），且P （－2＜ξ≤0）=0.4 ，则P （ξ>2）= 。

12.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A = 。

13．()
10
102
21010
2x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-设,则()()2
9
312
1020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ 的 值为 。

14．一同学在电脑中打出如下若干个圈，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中有 个 ●。

15、给出下列结论：
（1）在回归分析中，可用相关指数R 2
的值判断模型的拟合效果，R 2
越大， 模型的拟合效果越好；
（2）某工产加工的某种钢管，内径与规定的内径尺寸之差是离散型随机变量； （3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度， 它们越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（4）若关于x 的不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则a 的最大值是1；
（5）甲、乙两人向同一目标同时射击一次，事件A ：“甲、乙中至少一人击中目标”与事件B ：“甲，
乙都没有击中目标”是相互独立事件。

其中结论正确的是 。

（把所有正确结论的序号填上）
2013—2014下学期清流一中高二数学(理科)半期考试卷答题卡
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题答案（每题5分，共50分）
11、______________， 12、______________，
座号
13、 ， 14、______________， 15、_____________. 三、解答题（本题共6题，共80分）
16、(本题满分13分) 甲乙两名射手在一次射击中的得分是两个独立的随机变量,X Y ，分布列为
（1） 求,a b 的值；
（2） 计算,X Y 的均值()E X ，()E Y 与方差(),()D X D Y ；并分析甲，乙的技术状况。

（参考数据：222
0.3(1.3)0.1(0.3)0.6(0.7)0.81
⨯-+⨯-+⨯=） 解：
17.(本题满分13分)某中学共2200名学生中有男生1200名，按男女性别用分层抽样抽出110名学生，询问是否爱好某项运动。

已知男生中有40名爱好该项运动，女生中有30名不爱好该项运动。

（1）补全答题卷上的列联表；
（2）通过计算说明，是否有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”? 参考信息如下：
2
2
()
()()()()n a d b c K a dc da cb d -=
++++ 解：
18.(本题满分13分)由-1，0，1，2，3这五个数中选三个不同的数组成二次函数2y a x bx c =++的系数。

（1）开口向下的抛物线有几条？
（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（3）与x 轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？ 解：
19.(本题满分13分) 已知
n
的展开式中，第六项为常数项。

（1）求n ； （2）求含2
x 的项的二项式系数； （3）求展开式中所有项的系数和。

解：
20.(本题满分14分) 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．
解：
21.(本题满分14分) 设数列{n a }的前n 项和为n s ，且方程02
=--n n a x a x 有一根 为
1n s
-
， 123n =，，，
(1) 求1a
，2a ；
(2) 猜想数列{n s
}的通项公式，并给出严格的证明． 解：
…………………………………………………………………………………………………………
密 封 线
2013—2014下学期清流一中高二数学理科半期考试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）
11、0.1， 12、1/4 13、1 14、 61 15、（1），（3），（4） . 三、解答题（16-19题各13分，20-21题各14分，共80分）
16.解答：（1）0.10.61 0.3a a ++=∴= 0.30.31 0.4b b ++=∴= ……2分
（2）10.320.130.62.3E X =⨯+⨯+⨯= …………………………4分
10.320.430.32E Y =⨯+⨯+⨯= …………………………6分
又
222
0.3(12.3)0.1(22.3)0.6(32.3)0.81
D X =⨯-+⨯-+⨯-= …8分 222
0.3(12)0.4(22)0.3(32)0.6
D Y =⨯-+⨯-+⨯-
= …………10分 从均值角度而言，E X E Y
>，所以甲的平均分较高； ……………11分 但是从稳定性的角度而言，D X D Y
>，所以乙是相对甲更稳定的。

…13分 17、
------------4（2）2
2
110(40302020)7.860506050
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>6.635 -----------10分
∴有99%以上的把握认为“爱好该项活动与性别有关”。

--------------13分 18.解答：（1）a<0，a 只能取-1
，b 、c 有A
42种选法，共有A 42
=12（条）；4分 （2）a>0且c ≠0，共有C 31
C 31
C 31
=27（条）；8分
（3）ac<0，当a>0，c<0时，a 、b 、c 分别有C 31
、C 31
、C 11
种选法；当a<0，c>0时，a 、b 、c 有C 11
、C 31
、
C 31种选法，共有C 31C 31C 11+C 31C 31C 11
=18（条）；13分
19.（1）55
56n n
T C -=155110
5555333333()()3()n n n n
C x x C x ---== ………4分
由已知110
033
n -=，所以10n =； ………5分 （2
）102
1033
110
3()k k k k k T C x -+== ………9分 令
102233
k -=，解得2k =，所以含2x 的项的二项式系数为2
104
5C = …11分 （3）令1x =，得展开式中所有项的系数和为101010
(13)(2)2
-=-= …13分 20.解：解：(1)依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1
3
，去参加乙游戏的概率为
23
． 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，
则P (A i )＝44
12C 33i
i
i -⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝2
2
24
128C 3327
⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭． (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4．由于A 3
与A 4互斥，故
P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝34
344
41211
C +C 3339
⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19
． (3)ξ的所有可能取值为0,2,4． 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故
P (ξ＝0)＝P (A 2)＝
827
，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝
4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781
． 所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×
827
＋2×
81＋4×81＝81
． 21解：(1)当n ＝1时，01
12
=--a x a x 有一根为11-s ＝1a －1， 于是(1a －1)2
－1a (1a －1)－1a ＝0，解得1a ＝1/2. ..............2分 当n ＝2时，0222
=
--a x a x 有一根为12-s ＝2
1
2-a ， 于是(2a －1/2)2－2a (2a －1/2)－2a ＝0，解得2a ＝1/6 ..............4分 (2)由题设(n s －1)2
－n
a
(n s －1)－n a ＝0，
2n s －2n s ＋1－n a n s ＝0 当n ≥2时，n a ＝n s －1-n s ，
代入上式得2
1S －21S ＋1＝0.①..................6分
由(1)得S 1＝1a ＝1/2，2S ＝1a ＋2a ＝1/2＋1/6＝2/3.
由①可得s3＝3/4.由此猜想n S ＝n/n ＋1，n ＝1,2,3，.....................8分 下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n ＝1时已知结论成立．......................9分 (ii)假设n ＝k 时结论成立，即k S ＝k/k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得1+k S ＝12－Sk ， 即1+k S ＝k ＋1/k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． ..................13分
综上，由(i)、(ii)可知n S ＝n/n ＋1对所有正整数n 都成立．................14分。