山东省泰安市宁阳第一中学高三数学平面向量及其应用测试题doc

一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -⋅=
B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-，
ABC S =
△b = ）
A ．1cos 2
B =
B ．cos 2
B =
C ．a c +=
D ．a c +=3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．32
OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆ 8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-
⎪⎝⎭
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
11．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==
13．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
14．已知ABC ∆的面积为
3
2
,且2,b c ==,则A =( )
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
18．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
19．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
22．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =
，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=
（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
23．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且
27
sin 7
BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A ．
23
B ．
3 C ．
33
D ．
43
24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角 25．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）
A ．
32
B ．
22
C ．
31
2
D ．
212
- 27．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
28．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
29．已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 30．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．2-
D ．32
-
31．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ⋅=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
32．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．3
4
D ．
14
33．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 34．已知ABC 中，1,3,30
a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
35．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
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一、多选题 1．ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，
整理可得：， 可得，
∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确
解析：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =
，结合范围()0,B π∈，可求3B π
=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c += 【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
，故A 正确，B 错误，
∵()0,B π∈， ∴3
B π
=
，
∵ABC S =△3b =，
∴
11sin 42224
ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
3．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
4．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =，
则()()24124x x y y ⎧=-⎪
⎨
-=-⎪⎩
，
解得8
33x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),(,
)33
E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
3
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以3133y y -
=-，解得：3
y =
，
即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
1
(3ED =，(1,BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确. 故选：BCD
【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
6．ABD
【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．
【详解】
解：由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图
解析：ABD
【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．
【详解】
解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒
，故A 正确； 对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．
易知当122
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即122
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个． 故B ，D 正确，C 错误．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．ACD
【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又 ，所以角为
解析：ACD
【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；
由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18
A A =-=，所以cos2A cosC =
由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,
2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以28R =
，解得：R =D 正确. 故选:ACD.
【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
8．ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
9．AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
10．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
11．AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB
【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、
C 、
D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 12．BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】 由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.
故选：BC
【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使
12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.
13．AD
【解析】
【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是所在平面内一点，且，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故
解析：AD
【解析】
【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，
∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，
即||||CB AC AB =+，
∴||||AB AC AC AB -=+，
两边平方并化简得0AC AB ⋅=，
∴AC AB ⊥，
∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
14．BD
【分析】
由三角形的面积公式求出即得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,因为,
所以或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD
由三角形的面积公式求出sin A =
即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A =
=,
所以13222
A ⨯=,
所以sin A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．D
作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．
【详解】
解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，
30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，
依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，
在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，
在Rt BSD ∆中，
sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
17．B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

18．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．A
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；
对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
20．A
【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2
C ，从而求得tan C ．
【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22
ab C a b ab c ⨯
⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-， 又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan
2242tan 1231tan 2C
C C ⨯===---，
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
21．C
【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12
a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=
，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=
， 所以1cos ,2
a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，
故选：C.
【点睛】 该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.
22．B
【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.
【详解】
13BE AE AB AD AB =-=-，1()2
AD AB AC =+ ， 5166
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23
λμ∴+=-. 故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
23．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正
弦定理表示AD，建立方程求DC的值.【详解】
AB=
3
==，
222
cos
2
AB BC AC
B
AB BC
+-
∴===
⋅
又因为角B是三角形的内角，所以
6
B
π
=，
90
BAC
∴∠=，
sin BAD
∠=
，cos BAD
∴∠==，
sin cos
7
DAC BAD
∴∠=∠=，
在ABD
△中，由正弦定理可得
sin
sin
BD B
AD
BAD
⋅
=
∠
，
在ADC中，由正弦定理可得
sin
sin
DC C
AD
DAC
⋅
=
∠
，
(
)1
77
DC DC
⨯⨯
=
，解得：
3
DC=.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
24．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
因为a b //，所以,a b的夹角为0或者π，则a在b上的投影为||cos||
a a
θ=±，故A不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)
c b a
===，则有(0)
a c
b
c c
⋅=⋅≠，但a b
≠，故B不正确；
,||||
AB DC AB DC
=∴=且//
AB DC，又,,,
A B C D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则//
AB DC且
||||
AB DC
=，所以AB DC
=，故C正确；0
a b⋅>时，,a b的夹角可能为0，故D不正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.
25．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 26．C
【分析】
易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．
【详解】
45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，
在ABC 中，由正弦定理，得
sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，
解得BC =-，
在BCD 中，由正弦定理，得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒，
sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=
cos θ∴= 故选：C ．
【点睛】
该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 27．C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】 解：3cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4sin 5
A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c B C =，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
28．A
【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，
因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113
m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
解得34λ=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．D 【详解】 ()22cos 3sin 2cos 23sin 212sin(2)16f x x x x x x π=+=++=++，当12x π
=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π=
对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ=
=， 当(,0)3x π
∈-时,2(,)626x π
ππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
30．B
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.
【详解】
如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()
BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以： ()()
()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-
+，12t μ=， 所以12
λμ+=-
. 故选：B.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
31．A
【解析】
分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：
BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=
2211()()24222
BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 32．D
【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，
所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =
代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =
+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44
m n == 所以1344CP CA CD =
+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比
所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为
14
故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
33．B
【解析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；
②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；
③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，
即()0CB AB AC ⋅+=；
又因为AB AC CB -=，
所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，
即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．
综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
34．D 【分析】
由正弦定理可得，sin 2B =
，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 35．A
【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m CP a b CH =
+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；
【详解】
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()
m CP a b CH =+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.。