最新全国高考数学冲刺复习专题2.1 三角函数、解三角形及答案

【知识络】
【考点聚焦】
对知识的考查要求依次分为了解、解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．
1.原题（必修4第十页A组第五题）
变式1下列说法中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等
【答案】C.
变式2 已知θ为第二象限角，那么
3
θ
是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D.
【答案】C. 【解析】22,(),,(),2
4
2
2
k k k Z k k k Z π
π
α
π
παππππ+
<<+∈+
<
<+
∈
当2,()k n n Z =∈时，2
α
在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，
2
α
在第三象限；
而cos
cos
cos
02
2
2
α
α
α
=-⇒≤，2
α
∴
在第三象限；答案：C .
2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A.143 π B．－143 πC.718 π D ．－7
18
π 【答案】B.
【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的1
3，
用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－14
3π.故选B.
3.原题（必修4第十九页例6）变式 （1）已知sin α1
3
=
，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α.
【解析】（1）1
sin 3
α=，且α为第二象限角，
cos α∴=
.sin tan cos ααα∴== （2）
sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α
为第一或第四象限角时，
cos α
=
，tan α=
；当α为第二或第三象限角时
，
cos α=
tan α=，综上，tan α
.
4.原题（必修4第十九页例7）变式 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（ ）
【答案】
B.
5.原题（必修4第二十二页习题1.2B 组第二题）变式
为（ ）
A. 2tan x C. 2tan x -
B. 2tan x ± D. 不能确定 【答案】
C.
【解析】C .原式=2tan 2,4432tan 2,44x x k k x x k k ππππππππ⎧
⎛
⎫∈-+ ⎪
⎪⎪
⎝
⎭⎨
⎛
⎫⎪-∈++ ⎪
⎪⎝
⎭⎩
6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式 已知tan 2α=，计算：（1）
2sin cos sin 2cos αα
αα
-+； （2）22sin sin cos 2cos αααα+-
【解析】：（1）原式2tan 13
tan 24αα-==+；（2）原式2222
sin sin cos 2cos sin cos αααααα
+-=+
22tan tan 24tan 15
ααα+-==+
7.原题（必修4第二十三页探究）变式1
( ) A.sin 2cos 2+ B.cos 2sin 2- C.sin 2cos 2- D.±cos 2sin 2- 【答案】
C.
【答案】B.
【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+
sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,
(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=
8.原题（必修4第二十七页例4）变式 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则
()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为. 【解析】
()
cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫
+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函的定义，可知33tan ,=-tan 44
y x x x =
=-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式 函12log cos 34x y π⎡⎤
⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增
区间为. 【解析】
1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，∴所求的递增区间就是使
cos 34x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k z ππππ≤+〈+∈得：
33
66,.44
k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为
()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭
答案：()336,64
4
k k k z ππππ⎡⎫
-++∈⎪⎢
⎣⎭
10.原题（必修4第五十三页例1）变式 设ω>0，函y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右
平移4π
3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.23
B.43
C.3
2D ．3 【答案】C.
11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，
频率和初相分别为______，______. 【解析】 2
1
π4π
-
12.原题（必修4第五十八页例4）变式 某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变的函关系是
),[0,)6
v t t π
π=-∈+∞.
（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当1600t =
，1
60
时，求瞬时电压； （3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 取
1.4≈）
【解析】（1）周期2110050T ππ=
=，频率1
50f T
==，振幅A =
（2）1
600
t =
时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）
； 1
60t =
时，13)6062
v ππ
π=⨯-==-V ）.
（3）由)846
t ππ-> 1.4≈，得1
sin(100)6
2
t π
π->.
结合正弦图象，取半个周期，有
51006
6
6t π
π
ππ<-
<
，解得11300100
t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为
112
100300300
-=
（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式 在函x y sin =、x y sin =、)3
22sin(π+
=x y 、2tan(2)3
y x π
=+
中，最小正周期为π的函的个为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个
14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式 已知1
tan tan αα
，是关
于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ2
7
3<
<，求2
s i n c o s s
i n ααα+的值．
【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅
=-=∴=±，而παπ2
7
3<<，则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=，则222
222
sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααα
αααααα
+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式 已知
222121,y
x y u x x
-==
+则的值域为. 【解析】
221,x y -=
()222
2
1cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1
x sec y u sec θθ
θθ
θθθθθθ
θθ⎧
==
⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，
∴所求值域为（-1，2）. 16.原题（必修
4
第一百二十七页例2）变式 已知
431c o s ,,,t a n ,,,
5
2
32πααπ
πββπ⎛⎫⎛⎫
=-
∈=-∈ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
求()cos αβ+
.
17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.
变式 已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求
2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.
【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)
3(18
tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=
+βαβαβα，
∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα
)(cos )(sin )]
(cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=
5
812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32
222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα. 18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式
简：+
是.
【解析】2sin2
19.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长
.
20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式 若
函
2
()sin 22cos f x x x m
++在区间[0,]2
π上的最小值为3，求常m 的值及此函当[,]x a a π∈+(其中可取任意实)时的最大值
.
21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3
C π
=
，326,a c ==则的值为（ ）
B 1C
1D
【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定即得.选D.
22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.
变式2 在△ABC
中，已知a =
，b =B =45︒ ，求A 、C 及c .
23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式 （2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定得22(2)(2)a b c b c b c =+++
即222a b c bc =++，由余弦定得 2222cos a b c bc A =+-，故1
cos 2
A =-，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sin sin sin sin(60)
B C B B +=+︒-
1
sin 2
sin(60)B B
B =
+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.
24.原题（必修5第11页例2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=
千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离
.
25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式 一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．
【解析】A 到C 的距离为60+ 【感受高考】
1.【2016高考新课标1卷】已知函()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
， 为()
f x 的零点,4x π
=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调,则ω的最大值为( )
（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】
试题分析：因为4
x π
=-
为()f x 的零点,4
x π
=
为()f x 图像的对称轴,所以
()444T kT π
π--=+,即41412244k k T ππ
ω
++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选
B.
2.【2016年高考四川】为了得到函π
sin(2)3
y x =-的图象，只需把函sin 2y x =的图
象上所有的点( )
（A ）向左平行移动
π3个单位长度（B ）向右平行移动π
3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π
6
个单位长度
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意，为了得到函sin(2)sin[2()]36
y x x ππ
=-=-，只需把函sin 2y x =的
图像上所有点向右移6
π
个单位，故选D.
3.【2016高考新课标2】若3
cos()45
πα-=，则sin 2α=（ ）
（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-
【答案】D
4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
2cos (cos cos ).
C a B +b A c = （I ）求C ；
（II ）若c ABC =∆,求ABC 的周长．
【答案】（I ）C 3
π
=（II ）5【解析】
（II ）由已知,1sin C 2ab =．
又C 3
π
=
,所以6ab =．
由已知及余弦定得,222cosC 7a b ab +-=． 故2213a b +=,从而()2
25a b +=．
所以C ∆AB 的周长为5+
5.【2016高考天津】已知函f(x)=4tanxsin(2
x π
-)cos(3
x π
-
(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间,44
ππ
-
]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区
间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函为基本三角函：()()=2sin 23
f x x π
-，再根据正弦函性质求定义域、周期()II 根据（1）
的结论，研究三角函在区间,44
ππ
-
]上单调性 试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
.
()
4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2
1=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()
=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23
x x x x x π
=-
.
所以,()f x 的最小正周期2.2
T π
π=
=。