高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2

所以 AB · AD = 5 . 4
答案: 5 4
课堂探究
题型一 数量积的基本运算
【例1】 已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30°时,分别求a与b的数量积.
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
ab ab 2 量 a 与 b 的夹角为 120°.故选 C. 答案:(1)C
(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为 .
解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得 b = 1 .再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可 a3
得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得 a·b=-︱b︱2.设 a,b 的夹角为θ,于是 cos θ= a b = b 2 = b =- 1 .
.
解析:(2)因为︱2a+b︱= 10 ,所以(2a+b)2=10,所以 4a2+4a·b+b2=10,又
因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且︱a︱=1,所以 4×12+4×1×︱b︱× 2 + 2
︱b︱2=10,整理得︱b︱2+2 2 ︱b︱-6=0,解得︱b︱= 2 或︱b︱=-3 2 (舍去). 答案:(2) 2
②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);
解:(1)因为向量 a 与 b 的夹角为 π .︱a︱=4,︱b︱=5,所以 a·b=4×5× 1 =10.
3
2
①(a+b)2=︱a︱2+2a·b+︱b︱2=61.
②a2-b2=︱a︱2-︱b︱2=-9. ③(2a+3b)·(3a-2b)=6︱a︱2+5a·b-6︱b︱2=-4.
2.向量数量积的几何意义
(1)投影的概念 在a·b=︱a︱︱b︱cos θ中,︱a︱cos θ(︱b︱cos θ)叫做向量a在b方向 上(b在a方向上)的投影,如图所示. (2)数量积的几何意义 数量积a·b等于向量a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cos θ的乘积. 3.向量数量积的性质 设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角. (1)a⊥b⇔_____a_·_b_=_0____; (2)当a与b同向时,a·b=__︱__a_︱__︱__b_︱______, 当a与b反向时,a·b=___-_︱__a_︱__︱__b_︱_____;
(A)[ 2 -1, 2 +1] (B)[ 2 -1, 2 +2]
(C)[1, 2 +1]
(D)[1, 2 +2]
解析:(1)因为 a,b 是单位向量,所以︱a︱=︱b︱=1.又︱c-a-b︱2=c2-2c· (a+b)+2a·b+a2+b2=1,所以 2c·(a+b)=c2+1.因为︱a︱=︱b︱=1,且 a·b=0,
a·b>Leabharlann ,则 a,b 夹角为锐角或 0°角,a·b<0,则 a 与 b 的夹角范围为（ π ,π］. 2
4.向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ,则 (1)a·b=___b_·_a_____; (2)(λa)·b=___λ__(_a_·_b_)____=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 注意:a·b=a·cb=c,因为a·b=a·c⇔a·(b-c)=0⇔a⊥(b-c),此时不一定有b=c. 【拓展延伸】
对于数量积的进一步理解: (1)投影是一个数量而不是向量.
(2)b 在 a 方向上的投影为︱b︱cos θ= a b ,具体情况可以借助下表分析: a
θ的 范围
θ=0°
0°<θ <90°
θ=90°
90°<θ <180°
θ=180°
图形
b在a
方向上 的投影
正
正
0
负
负
的正负
(3)由a·b=︱a︱︱b︱cos θ可得, 当θ为锐角时,a·b>0且a·b≠︱a︱︱b︱; 当θ为钝角时,a·b<0且a·b≠-︱a︱︱b︱; 当θ=0°时,a·b=︱a︱︱b︱; 当θ=180°时,a·b=-︱a︱︱b︱; 当θ=90°时,a·b=0.
直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积为
.
(1)解析:由题意得,︱a︱=1,又△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 所以 OA ⊥ OB ,︱ OA ︱=︱ OB ︱.由 OA ⊥ OB 得(a-b)·(a+b)=︱a︱2︱b︱2=0,所以︱a︱=︱b︱,由︱ OA ︱=︱ OB ︱得︱a-b︱=︱a+b︱,所以 a·b=0,︱a+b︱2=︱a︱2+︱b︱2=2,所以︱ OB ︱=︱ OA ︱= 2 ,故 S = △OAB
3.已知︱b︱=3,a 在 b 方向上的投影是 3 ,则 a·b 为
.
2
答案: 9 2
4.已知平行四边形 ABCD 中,AC=3,BD=2,则 AB · AD =
.
解析:▱ ABCD 中, AC = AB + AD , DB = AB - AD , 所以︱ AB + AD ︱=3,︱ AB - AD ︱=2, 所以( AB + AD )2-( AB - AD )2=5,
(2)已知非零向量 a=2b+2c,︱b︱=︱c︱=1,若 a 与 b 的夹角为 π ,则︱a︱= 3
.
解析:(2)由于 c= 1 a-b,所以 c2= 1 ︱a︱2+︱b︱2-2× 1 ︱a︱︱b︱×
2
4
2
1 =1,整理得︱a︱2-2︱a︱=0,所以︱a︱=2 或︱a︱=0(舍去). 2 答案:(2)2
(2)若向量a+b+c=0,且︱a︱=3,︱b︱=1,︱c︱=4,求a·b+b·c+c·a的值.
解:(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a), 所以 a·b+b·c+c·a=（a b c)2 (a2 b2 c2 )
2 = 0 （32 12 42）=-13.
ab ab a 3 答案:(2)- 1
3
方法技能 向量的垂直与夹角的范围 (1)已知非零向量a,b,若a⊥b,则a·b=0,反之也成立.
(2)设 a 与 b 夹角为θ,利用公式 cos θ= a b 可求夹角θ,求解时注意向量夹 ab
角θ的取值范围是[0,π].
即时训练 3-1:(1)已知向量 a=（- 1 , 3 ）, OA =a-b, OB =a+b,若△OAB 是以 O 为 22
方法技能 (1)要求几个向量线性运算后的模,可先求其平方,利用数量积 的计算易解. (2)已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模,可把条件平方后化为所 求目标的方程求解.
即时训练 2-1:(1)已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足︱c-a-b︱=1,则
︱c︱的取值范围是( )
题型三 两向量的垂直与夹角 【例3】 (1)若︱a︱=1,︱b︱=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角为( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:(1)由 c⊥a,得 a·c=0,又 c=a+b,所以 a·c=a·(a+b)=0,即 a2+a·b=0. 设向量 a 与 b 的夹角为θ,则 cos θ= a b = a2 =- 1 ,所以θ=120°,即向
2
10 3 .
变式探究:把(3)中的a与b的夹角改为120°,试求(2a-b)·(3a+2b).
解:因为 a 与 b 的夹角为 120°,︱a︱=4,︱b︱=5, 所以 a·b=4×5×（- 1 ）=-10,
2 所以(2a-b)·(3a+2b)=6a2+4a·b-3a·b-2b2 =6︱a︱2+a·b-2︱b︱2 =6×16-10-2×25 =36.
1 × 2 × 2 =1. 2
答案:1
(2)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.
(2)解:因为 e1,e2 为单位向量且夹角为 60°,所以 e1·e2=1×1×cos 60°= 1 . 2
因为 a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=-2-e1·e2+1=-2- 1 +1=- 3 .︱a︱= a2 =
自我检测
1.若︱m︱=4,︱n︱=6,m 与 n 的夹角θ为 45°,则 m·n 等于( B ) (A)12 (B)12 2 (C)-12 2 (D)-12
2.已知︱a︱=1,︱b︱= 2 ,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( D ) (A)60° (B)30° (C)135° (D)45°
2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课标要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.掌握数量积 公式,理解其几何意义及投影的定义.3.掌握平面向量数量积的重要性 质及运算律,并能运用这些性质和运算律解决有关问题.
自主学习
知识探究
1.向量数量积的定义 (1)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则把数量︱__a_︱__︱__b_︱__c_o_s__θ__ 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=___︱__a_︱__︱__b_︱__c_o_s__θ_______. (2)规定,零向量与任一向量的数量积均为___0____. 探究1:对于两个非零向量a与b,夹角为θ,其数量积a·b何时为正数?何时为 负数?何时为零? 提示:当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0.
方法技能 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求︱a︱和︱b︱; (3)求数量积,即a·b=︱a︱︱b︱cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆 点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
即时训练 1-1:(1)已知︱a︱=4,︱b︱=5,向量 a 与 b 的夹角为 π ,求①(a+b)2; 3
2
题型二 求向量的模 【例2】 (1)已知向量a,b满足a·b=0,︱a︱=1,︱b︱=1,则︱a-3b︱= .
解析:(1)因为 a·b=0,︱a︱=1,︱b︱=1, 所以︱a-3b︱= (a 3b)2 = a2 6a b 9b2 = 12 9 12 = 10 . 答案:(1) 10
(2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且︱a︱=1,︱2a+b︱= 10 ,则︱b︱=
(3)a·a=__a_2___或︱a︱= a a = a2 ; (4)cos θ= a b ;
ab (5)︱a·b︱___≤____︱a︱︱b︱. 探究2:两个向量的数量积大于0,夹角一定是锐角吗?两个向量的数量积小 于0,两个向量的夹角一定是钝角吗?
提示:a,b 夹角为锐角⇒ a·b>0,a,b 夹角为钝角⇒ a·b<0,但是反过来不成立,如
2
2
(e1 e2 )2 =
1 2 1 1 = 2
3 ,︱b︱=
b2 =
(e2 2e1)2 =
1 44 1 = 2
3,
所以 cos θ= a b =- 3 × 1 =- 1 .因为θ∈[0°,180°],所以θ= a b 2 3 3 2
120°.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
所以︱a+b︱= 2 ,所以 c2+1=2 2 ︱c︱cos θ(θ是 c 与 a+b 的夹角).又-1 ≤cos θ≤1,所以 0<c2+1≤2 2 ︱c︱,所以 c2-2 2 ︱c︱+1≤0.根据二次函 数 y=x2-2 2 x+1 的图象.可得 2 -1≤︱c︱≤ 2 +1.故选 A. 答案:(1)A