理论力学教学材料7质点动力学ppt课件

( 式中 r r(t) 为质点矢径形式的运动方程 )
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
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3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
Fgez '
FgCz '
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自然轴投影：
m
d 2sr dt 2
F
Fge
特殊情况：
m vr2
Fn
Fgen FgCn
(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于 是：
mar F Fge
(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和 ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方
令
Fge mae
——牵连惯性力
FgC maC ——科氏惯性力
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则：
mar F Fge FgC
这就是质点相对运动动力学基本方程。
直角坐标投影： d 2 x' m dt 2 Fx' Fgex' FgCx'
m
d 2 y' dt 2
Fy '
Fgey '
FgCy '
m
d 2z' dt 2
Fz '
发射初速度大小与初发射角 0 为
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos0
tg1 2H s
31
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[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
上式称为质点相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质 点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不相同的。
注意：牵连惯性力和科 氏惯性力氏为了在非惯 性参考系中也能应用牛 顿定理而假想的，对惯 性参考系中的观察者来
说是不存在的。如放在车厢内光滑水平板上的小球，对 在地球上的观察者来说，它只受到 W、N的作用，但对于 坐在车厢中的人看来，惯性力又是存在的，当车厢以加 速度a向前运动时小求将向后运动。也就是说，对于非
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F G
x2
mg G mM R2
mgR 2
F x2
—(a)
建立质点运动微分方程 mdx2 mgR2
dt 2
x2
即： mv x
dv x dx
mgR x2
2
(
d2x dt 2
dv x dt
dv x dx
dx dt
vx dvx dx
)
v
v0mv
x
dv
x
x R
N' N
当=/4时，Nman’=3m（g+a）
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2
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
三.动力学分类:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：
第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
程与相对于惯性参考系的基本方程形式一样，即
mar F
相对运动动力学基本方程与相对于惯性参考系的基本方程形 式一样。
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上式说明，对这样的参考系，牛顿定律也是适用的。因此所 有相对于惯性参考系作匀速直线平动的参考系都是惯性参考 系。上式中不包含与牵连运动有关的项，这说明，当动系作 惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动的影响。因此可 以说：发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于发觉 该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。
填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶
板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t
0,
x0
0,
y
0
0;v0
x
v0
cos
0
,v0
y
v0
sin
0
,v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
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④列出自然形式的质点运动微方程
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G g
v2 l
T
Gcos
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
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设质点M，相对于非惯性参考系 O’z’y’z’（动系）运动。受有力F （主动力和约束力）作用，其相对 加速度为ar。动系相对于惯性参考
系Oxyz运动。按牛顿第二定律：
maa F
由点的合成运动知 aa ae ar ac
于是： mae mar mac F
或： mar F mae mac
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
3
4
§7-1 质点运动微分方程
一、质点运动微分方程
将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为质点的运动微Biblioteka 方程。1.矢量形式m
d2 dt
r
2
F
mgR x2
2
dx
(t 0时x R,vx v0 )
则在任意位置时的速度
v
(v02
2
gR
)
2
gR x
2
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v (v20 2gR) 2gR2 x
当物体到达最高点时，x=xmax，v=0
解得：
xmax
2 gR 2 2gR v02
——（b）
由（a）知，要使物体脱离地球的引力，必须x=∞；而由
（b）知，要使x=∞ ，必须
gl
其中,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tmax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、
则运动方程为:
则轨迹方程为:
x
y
v0tcos0 ,
xtg
0
1 2
y v0tsin0
g
v0
2
x02
cos2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
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惯性参考系的人，小球受到除W、N外，还有Fge的作用 （FgC=0）。实际上，使小球向后运动的施力物体是没有 的。小球向后运动，只是为了保持原来的运动状态（惯 性）不变。可见，在惯性参考系中表现出的惯性，在非 惯性参考系中就以惯性力的形式反映出来。
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例：半径为r的光滑圆环，以匀加速度a铅直向上运动。质量为 m的小球穿在圆环上，小球相对圆环在=0的位置由静止开始 运动。求（1）小球的相对速度；（2）小球对圆环的最大压 力。 解：研究对象：小球 将动系固结在圆环上，因动系作平 动，所以FgC=0
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引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤同前。注意：应根据力的函数形式决定如何积分，
并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dt
v
dv ds
,
再分离变量积分。
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[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
m
dvx dt
m
dv y dt
0 mg
dx dt
dy dt
c1 gt c2
x y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
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代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
(3)当质点相对于动系静止时，即ar=0， vr=0因此有
FgC=0。于是：
F Fge 0
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参
考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连
惯性力相互平衡。
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(4)当质点相对于动参考系作匀速直线运动时，有ar=0，于是
F Fge FgC 0
d d d d
dt d dt d
∴由（3） r d (g a) cos
d
(4)
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0 , 0
积分得： 2(g a) sin
r
于是： vr r 2r(g a) sin
由（4）得： mr 2(g a) sin N m(g a) sin
r
N 3m(g a) sin
Fge=mae=ma
小球相对运动的动力学方程：
mar N W Fge
：mar=(W+Fge) cos
n： marn=N-(W+Fge) sin
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s r , vr s r
ar
d 2s dt 2
r , arn
vr2 r
r 2
于是： r (g a) cos
(3)
mr 2 N m(g a) sin
2gR v02 0
v0 2gR 2 9.8103 6370 11.2 (km/s)
（第二宇宙速度）
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§7-2 质点相对运动动力学方程
前面讨论了质点在惯性参考系中的运动，即绝对运动， 本节将讨论质点在非惯性参考系（动系）中的运动，即相对 运动。
工程实际中经常遇到质点在非惯性参考系中的运动，如 研究气轮机、水轮机或水泵中的气流或水流相对于叶片的运 动，固结在转轮上的参考系就是非惯性参考系