【北师大版】高三数学一轮课时作业【45】(含答案)

课时作业45 直线方程与两直线的位置关系
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )
A ．(－12，3)
B ．(1
2，3) C ．(1
2，－3)
D ．(－1
2，－3)
解析：原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1＝0，
y ＋3＝0，
解得
x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点(－1
2，－3)．
答案：D
2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A ．[π6，π3)
B ．(π6，π2)
C ．(π3，π2)
D ．[π6，π2]
解析：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π
6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是(π6，π2)．
答案：B
3．(2014·咸阳一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
解析：由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
答案：A
4．(2014·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x ＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；
当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.
当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，
此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.
所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．
答案：C
5．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A ．3x ＋y －6＝0
B ．3x －y ＋6＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －3y －2＝0
解析：由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，
tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°
1－tan αtan45°＝－3，
所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0. 答案：A
6．点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2
x －1
的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1 解析：令k ＝y －2
x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线
斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，1. 答案：D
7．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )
A ．[0，π)
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π
2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1
cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3π4.
综上知倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，3π4，故选C.
答案：C
8．(2013·新课标Ⅱ理，12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(1－22，1
2) C ．(1－22，1
3]
D ．[13，12)
解析：如图(1)，①若a ＝0，设y ＝b 0，S △CEF ＝12S △ABC ＝1
2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b 0，y ＝－x ＋1，
可解得交点E (22，1－22)． 又a >0，∴b >1－2
2.
②a >0时，如图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋b ，
y ＝－x ＋1，
交点M (1－b a ＋1，a ＋b a ＋1)与x 轴交点为N (－b
a ，0)，
|MN |＝(a ＋b )2(a 2＋1)
a 2(a ＋1)2
，点(1,0)到y ＝ax ＋b 距离为d ，d ＝
|a ＋b |
a 2
＋1
， 由12|MN |·d ＝12，∴|MN |＝1， 整理得，b 2＋2ab －a ＝0， ∴a ＝b 21－2b >0，∴b <12，
综上可得1－22<b <1
2. 答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．若直线l 的斜率k 的取值范围为[－1，3]，则它的倾斜角α的取值范围是________．
解析：由－1≤k ≤3，即得－1≤tan α≤3， ∴α∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3∪⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
34π，π.
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34π，π
10．平面上三条直线x －2y ＋1＝0，x －1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为________．
解析：
由于直线x －2y ＋1＝0与x －1＝0相交于点(1,1)，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．
有以下三种情况：(1)这三条直线交于一点(1,1)，此时1＋k ＝0，k ＝－1.
(2)x ＋ky ＝0与x －2y ＋1＝0平行，此时k ＝－2. (3)x ＋ky ＝0与x －1＝0平行，此时k ＝0.
综上知，k ＝0或－1或－2，实数k 的取值集合为{0，－1，－2}． 答案：{0，－1，－2}
11．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．
解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率k ＝tan60°＝3，
又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.
答案：y ＝3x ＋5
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1
6.
解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k －3，3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k ＋3＝±6，
解得k 1＝－23或k 2＝－8
3.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝1
6x ＋b ， 它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
13．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )
＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，
∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2
＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2,1)，
如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.
14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．
解：法1：因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得 |3－(－1)|2＝|m －(－1)|
2， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.
法2：由题意知l 1∥l 2，
设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，
设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )，
于是有⎩⎨⎧
b －3
a ×1＝－1，
a ＋02－
b ＋3
2－1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝－1，
即M ′(4，－1)．
把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.。