2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

压轴第25题精选30道-几何综合问题（教师版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）
A ．1或6秒
B ．8.5秒
C ．1或8.5秒
D ．2或6秒
【答案】C
【分析】 设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，①612t <≤和①1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：设A 灯旋转的时间为t 秒，
A 灯光束第一次到达AN 所需时间为
180630︒=︒
秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，
0182t ∴<≤-，即016t <≤，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，
30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，
//,//MN PQ AM BP ''，
1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，
MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，
解得1t =，符合题设；
①如图，当612t <≤时，//AM BP ''，
18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，
//,//MN PQ AM BP ''，
2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，
MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，
解得8.5t =符合题设；
①如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，
30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，
同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，
解得1916t =>，不符题设，舍去；
综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．
2．如图，E 在线段BA 的延长线上，①EAD ＝①D ，①B ＝①D ，EF①HC ，连FH 交AD 于G ，①FGA 的余角比①DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使①CKG ＝①CGK ，在①AGK
内部有射线GM ，GM 平分①FGC ，则下列结论：
①AD①BC ；①GK 平分①AGC ；①①E ＋①EAG ＋①HCK ＝180°；①①MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD①BC，故①正确；由平行线的性质得到①AGK=①CKG，等量代换得到①AGK=①CGK，求得GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；根据题意列方程得到①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，得到①AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：①①EAD=①D，①B=①D，
①①EAD=①B，
①AD①BC，故①正确；
①①AGK=①CKG，
①①CKG=①CGK，
①①AGK=①CGK，
①GK平分①AGC；故①正确；
延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，
①EF①CH，
①①EPQ=①CQP，
①①EPQ=①E+①EAG，
①①CQG=①E+①EAG，
①AD①BC，
①①HCK+①CQG=180°，
①①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；
①①FGA的余角比①DGH大16°，
①90°-①FGA-①DGH=16°，
①①FGA=①DGH，
①90°-2①FGA=16°，
①①FGA=①DGH=37°，
设①AGM=α，①MGK=β，
①①AGK=α+β，
①GK平分①AGC，
①①CGK=①AGK=α+β，
①GM平分①FGC，
①①FGM =①CGM ，
①①FGA +①AGM =①MGK +①CGK ，
①37°+α=β+α+β，
①β=18.5°，
①①MGK =18.5°，故①错误，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =．将矩形纸片沿GH 折叠，使点B 与D 重合．有下列语句：①四边形BGDH 是菱形；①74
AG =
；①7.5GH =；①60BGH ∠=︒．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【分析】 根据折叠的性质及矩形的性质可得BH =DH =GD =BG ，即可判定①正确；若设AG =x ，则BG =DG =8-x ，在Rt ①AGB 中由勾股定理建立方程可求得x ，即AG 的长，因此可判定①；连接BD ，利用菱形的面积相等，可求得GH 的长，从而可判定①；根据对①的判定可确定①ABG 是否为30°即可判定①．
【详解】
根据折叠的性质得：BH =DH ，BG =GD ，①BHG =①DHG ，①BGH =①DGH
①四边形ABCD 是矩形
①AD ①BC ，AD =BC =8，①A =90°
①①DGH =①BHG
①①DGH =①DHG
①GD =DH
①BH =DH =GD =BG
①四边形BGDH 是菱形
即①正确
设AG =x ，则BG =GD =8-x
在Rt ①AGB 中，由勾股定理建立方程得：2226(8)x x +=- 解得：74
x = 即AG 的长74
故①正确
如图，连接BD
在Rt ①ABD 中，由勾股定理得：10BD = ①12BD GH GD AB =，GD =AD -AG =725844
-= ①12510624
GH ⨯=⨯ ①GH =7.5
故①正确
①BG =GD =
254 ①12
AG BG ≠ ①①A =90°
①①ABG ≠30°即①AGB ≠60°
①①BGH =①DGH
①①BGH +①DGH ≠120°
从而①BGH ≠60°
即①不正确
故正确的有3个
故选：C ．
【点睛】
本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前
提．
4．如图，正方形ABCD 中，P 为CD 边上任意一点，DE①AP 于点E ，点F 在AP 延长线上，
且EF ＝AE ，连结DF 、CF ，①CDF 的平分线DG 交AF 于G ，连结BG ．给出以下结论：
①DF
＝DC ；①①DEG 是等腰直角三角形；①①AGB ＝45°；①DG+BG ．所有正确的结论是（ ）
A ．①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①①①
【答案】D
【分析】 根据等腰三角形三线合一，得到AD ＝DF ，又根据正方形性质得AD ＝DC ，从而等量代换得，DF ＝DC ，即可判断①；设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，由
902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-,推得1452
FDG PDF α∠=∠=-，进一步得到=45DGE DFA FDG ∠=∠+∠，从而可判断①；在Rt ADE △和Rt ADP △中进行角等量代换，得到DAP EDP ∠=，再由AD DF =和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合DE AF ⊥，即可判断①；作BH ①AF ，分别在Rt BHG 和Rt DEG △中，进行边的转换，再根
据BAH ADE ≅△△得到DG ，由AH GH AG +=，代入化简即可判断①．
【详解】
解：①四边形ABCD 是正方形，
①AD DC =,90BAD ADC ∠=∠=，
DE AF ⊥，EF AE =，
①AD DF =，
①DF DC =，
①①正确；
①AD DF =，
①DAF DFA ∠=∠，
设DAF DFA α∠=∠=，
则1802ADF α∠=-，
①902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-，
①DG平分①CDF，
①
1
45
2
FDG PDFα
∠=∠=-，
①=45
DGE DFA FDG
∠=∠+∠，
①①DEG是等腰直角三角形，
①①正确；
①四边形ABCD是正方形
①90
ADC
∠=,
①90
ADE EDP
∠+∠=,
①DE AF
⊥，
①90
ADE DAP
∠+∠=，
①DAP EDP
∠=∠，
①AD DF
=，
①DAP DFP
∠=∠，
①EDP DFP
∠=∠，
①CDF
∠的平分线交AF于点G，
①CDG FDG
∠=∠，
①EDP CDG DFP FDG ∠+∠=∠+∠，①EDG EGD
∠=∠，
又①DE AF
⊥，
①DEG
△是等腰直角三角形．
①①正确
如下图：
作BH①AF于H，
①①AGB＝45°，
①BG，
①DEG
△是等腰直角三角形，
①
DG=，
①四边形ABCD是正方形
①AB AD
=，
又①BH AF
⊥,DE AP
⊥，
①90
BHA AED
∠=∠=，
①90
BAH EAD EAD ADE
∠+∠=∠+∠=，
①BAH ADE
∠=∠，
①BAH ADE
≅
△△，
①AH DE
=，
①DG=，
①AH GH AG
+=，
=，
①DG BG
+=，
①①正确；
①故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．
5．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH
平分①CDE；①S四边形ABDE=7
4
S①ABP；①S①APH=S①ADE，其中正确的结论有（）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明
①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S①ABP．①正确．由DH①PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：在①ABC中，A D、BE分别平分①BA C、①ABC，
①①A +①B =90°，
又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC ，
①①BAD +①ABE =1
2（①A +①B ）=45°，
①①APB =135°，故①正确．
①①BPD =45°，
又①PF ①AD ，
①①FPB =90°+45°=135°，
①①APB =①FPB ，
又①①ABP =①FBP ，
BP =BP ，
①①ABP ①①FBP （ASA ），
①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF ，
在①APH 和①FPD 中， APH FPD PA PF
PAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ①①APH ①①FPD （ASA ），
①PH =PD ，
①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确．
①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD ，
①S ①APB =S ①FPB ，S ①APH =S ①FPD ，PH =PD ，
①①HPD =90°，
①①HDP =①DHP =45°=①BPD ，
①HD ①EP ，
①S ①EPH =S ①EPD ，
①S ①APH =S ①AED ，故①正确，
①S 四边形ABDE =S ①ABP +S ①AEP +S ①EPD +S ①PBD
=S ①ABP +（S ①AEP +S ①EPH ）+S ①PBD
=S ①ABP +S ①APH +S ①PBD
=S ①ABP +S ①FPD +S ①PBD
=S ①ABP +S ①FBP
=2S ①ABP ，故①不正确．
若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH ，
①①CDH=①CBE=①ABE，
①①CDE=①ABC，
①DE①AB，这个显然与条件矛盾，故①错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将①ADE沿AE对折至①AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①①ABG①①AFG；①BG=CG；
①S①AGE=18；①①GAE=45°，其中正确的是（）
A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①
【答案】D
【分析】
根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt①ABG①Rt①AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt①ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出①DAE=①F AE，①BAG=①F AG，即可得出△GAE.
【详解】
解：①四边形ABCD是正方形，
①AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，
①CD=3DE，
①DE=2，
①①ADE沿AE折叠得到①AFE，
①DE=EF=2，AD=AF，①D=①AFE=①AFG=90°，
①AF=AB，
①在Rt①ABG和Rt①AFG中
AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，
①Rt ①ABG ①Rt ①AFG （HL ）．
①①正确；
①Rt ①ABG ①Rt ①AFG ，
①BG =FG ，①AGB =①AGF ．
设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ①ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．
①CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，
①（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．
①BG =GF =CG =3．
①①正确；
①BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2，
①GE =GF +EF =5，AF =AB =6，
①S △AGE =11561522
GE AF ⨯=⨯⨯=， ①①错误；
①①ADE 沿AE 折叠得到①AFE ，
①①DAE ①①F AE ．
①①DAE =①F AE ．
①①ABG ①①AFG ，
①①BAG =①F AG ．
①①BAD =90°，
①①EAG =①EAF +①GAF =1
2×90°=45°．
①①正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x =-+的图象交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以AB 为边在直线右侧作正方形ABCD ，连接BD ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交BD 于点E ，连接AE ．则下列说法中正确的是（ ）
A．点D的坐标为(17,7)B．45
EAF
∠=︒
C．点C的坐标为(12,17)D．AEF的周长为(14+
【答案】C
【分析】
根据一次函数教师式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的教师式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则①EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出①AEF 的周长．
【详解】
解：①一次函数
12
12
5
y x
=-+的图象交x轴、y轴与A、B两点，
①当x=0，则y=12，故B（0，12），
当y=0，则x=5，故A（5，0），
①AO=5，BO=12，
在Rt①AOB中，AB，
故AB的长为13；
过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：
①四边形ABCD是正方形，
①①ABC =①BAD =90°，AB =DA =BC =CD ，
①①OAB +①OBA =①OAB +①HAD =90°，
①①OBA =①HAD ，
在①OBA 和①HAD 中，
AOB DHA OBA HAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ①①OBA ①①HAD （AAS ），
①DH =AO =5，AH =BO =12，
①OH =OA +AH =17，
①点D 的坐标为（17，5），A 错误，不符合题意；
①①CBN +①NCB =①CBN +①ABO =90°，
①①NCB =①ABO ，
在①CNB 和①BOA 中，
NCB OBA CNB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ①①CNB ①①BOA （AAS ），
①BN =AO =5，CN =BO =12，
又①CF ①x 轴，
①CF =BO +BN =12+5=17，
①C 的坐标为（12，17），C 正确，符合题意；
设直线BD 的教师式为y =kx +b ，
①17512k b b +=⎧⎨=⎩，解得：71712
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线BD 的教师式为71217
y x =-
+， ①OF =CN =12， ①AF =12-5=7，E 点的坐标为（12，
12017
）， ①EF =12017≠AF ， ①CF ①x 轴，
①①EAF ≠45°，B 错误，不符合题意；
在①CDE 和①ADE 中，
CD AD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ①①CDE ①①ADE （SAS ），
①AE =CE ，
①AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，
①C ①AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24，D 错误，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．
8．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，90BAF CAG ∠=∠=︒，AB AF =，AC AG =．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG CF =；①BG CF ⊥；①2BC AE =；①EF EG =，其中正确的有（ ）
A ．①①①
B ．①①①
C ．①①①
D ．①①①①
【答案】D
【分析】 证得①CAF ①①GAB （SAS ），从而推得①正确；利用①CAF ①①GAB 及三角形内角和与对顶角，
可判断①正确；证明①AFM ①①BAD （AAS ），得出FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，
得出NG =AD ，则FM =NG ，证明①FME ①①GNE （AAS ）．可得出结论①，①正确．
【详解】
解：①①BAF =①CAG =90°，
①①BAF +①BAC =①CAG +①BAC ，即①CAF =①GAB ，
又①AB =AF ，AC =AG ，
①①CAF ①①GAB （SAS ），
①BG =CF ，故①正确；
①①F AC ①①BAG ，
①①FCA =①BGA ，
又①BG 与AC 所交的对顶角相等，
①BG 与FC 所交角等于①GAC ，即等于90°，
①BG ①CF ，故①正确；
过点F 作FM ①AE 于点M ，过点G 作GN ①AE 交AE 的延长线于点N ，
①①FMA =①F AB =①ADB =90°，
①①F AM +①BAD =90°，①F AM +①AFM =90°，
①①BAD =①AFM ，
又①AF =AB ，
①①AFM ①①BAD （AAS ），
①FM =AD ，①F AM =①ABD ，
同理①ANG ①①CDA ，
①NG =AD ，,AN CD =
①FM =NG ，
①FM ①AE ，NG ①AE ，
①①FME =①ENG =90°，
①①AEF =①NEG ，
①①FME ①①GNE （AAS ）．
①,EM EN = EF =EG ．故①正确．
222,BD DC BC AM AN AM ME AE ∴+==+=+=故①正确
故选：D ．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）
A
．B ．C ．72 D ．4
【答案】D
【分析】 做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．
【详解】
做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：
①,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形
①6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======
,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠
①CD AB ⊥
①90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒
又①135ACB ∠=︒
①135ACE BCF ∠+∠=︒
①36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒
①四边形CEGF 是正方形
设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：
()()
22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍） ①CD 的长为4．
【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键． 10．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得
302ABD BAD α
=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（ ）
A ．30α-︒
B ．60α-︒
C ．30
D ．不能确定
【答案】C
【分析】 如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12
ACD AED ∠=∠即可． 【详解】
如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，
在ABD △和ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(),ABD ACE SAS ∴≅
ABD BAD ∠=∠，
∴ABD △为等腰三角形，
∴ACE 为等腰三角形，
CAE BAD ∠=∠，BAC α∠=，302BAD α
-∠=︒，
30302260,DAE BAC BAD CAE
ααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=︒
ADE ∴为等边三角形，
,DE AE CE ∴==
∴DCE 为等腰三角形，
延长CE 交AD 于F 点，
()
,
,
2222,
116030,22
AEF EAC ECA DEF ECD EDC AED AEF DEF
ACE DCE
ACE DCE ACD ACD AED ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒
故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在等腰①ABC 中，AB=AC ，①BAC=120°，点D 是线段BC 上一点，①ADC=90°，
点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：
①①APO=①ACO ；①①APO+①DCO=30°；①AC=AO+AP ；①PO=PC ，其中正确的有______．
【答案】①①①①
【分析】
连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．
【详解】
解：连接BO ，如图1所示：
①AB=AC，AD①BC，
①BO=CO，
①①OBC=①OCB，
又①OP=OC，
①OP=OB，
①①OBP=①OPB，
又①在等腰①ABC中①BAC=120°，
①①ABC=①ACB=30°，
①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，
①①OBP=①ACO，
①①APO=①ACO，故①正确；
又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，
①①APO+①DCO=30°，故①正确；
①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，
①①BPC+①BCP=150°，
又①①BPC=①APO+①CPO，
①BCP=①BCO+①PCO，
①APO+①DCO=30°，
①①OPC+①OCP=120°，
又①①POC+①OPC+①OCP=180°，
①①POC=60°，
又①OP=OC，
①①OPC是等边三角形，
①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：
①①BAC +①CAP =180°，①BAC =120°，
①①CAP =60°，
①①APE 是等边三角形，
①AP =EP ，
又①①OPC 是等边三角形，
①OP =CP ，
又①①APE =①APO +①OPE =60°，
①CPO =①CPE +①OPE =60°，
①①APO =①EPC ，
在①APO 和①EPC 中，
AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ①①APO ①①EPC （SAS ），
①AO =EC ，
又①AC =AE +EC ，AE =AP ，
①AO +AP =AC ，故①正确；
故答案为：①①①①．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是________．
【答案】
【分析】
取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP①AH时，PB有最小值，即可求解．【详解】
解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
①四边形ABCD是矩形，
①AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
①点E是AB中点，点H是CD中点，
①CH＝AE＝DH＝BE＝4，
①四边形AECH是平行四边形，
①AH//CE，
①点P是DF的中点，点H是CD的中点，
①PH//EC，
①点P在AH上，
①当BP①AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
①AD＝DH＝CH＝BC＝4，
①①DHA
＝①DAH＝①CBH＝①CHB＝45°，AH＝BH＝
①①AHB＝90°，
①BP
的最小值为
故答案为
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
13．如图，在ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足2
=，3
AE BE
=，
CD AD
过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
【答案】525
【分析】
连接AO ，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【详解】
如图，连接AO ，
①CD =3AD ，
①AD ：CD =1：3， ①13ADF CDF S S =△△，13
ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ①12CDF S =△，
①4ADF S =△，16ACF S =△，
①AF ①BC ，
①16ABF ACF S S ==△△，
①12ABD S =，
①36CBD S =△，48ABC S =△，
①AE =2BE ，
①BE ：AE =1：2，
①2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，
①32AEC S =△，16BEC S =△，
①()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，
即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ①123COD COD BOC S S S +=△△△，即423
COD BOC S S =△△， ①:3:2COD BOC S S =△△，
①36BCD BOC COD S S S =+=△△△， ①1085
COD S =△， ①S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-
=△△． 故答案为：
525
． 【点睛】 本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．
14．已知①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC=①DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE 、BE ，点F 和G 分别为DE 和BE 的中点，连接FG ，在①ADE 旋转过程中，当D 、E 、C 三点共线时，线段FG 的长为_______．
【分析】
分两种情况画出图形，如图1，连接BD ，证明①ADB ①①AEC ，求得①BDC =90°，在Rt ①BDC 中利用勾股定理求出BD 长度，最后利用三角形中位线性质求解FG 长度，如图2，同理可求出BD 的长，则可得出答案．
【详解】
解：如图1，连接BD ，
①①BAD =90°-①BAE ，①CAE =90°-①BAE ，
①①BAD =①CAE ．
在①ADB 和①AEC 中，
AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
①①ADB ①①AEC （SAS ）．
①BD =CE ，①ADB =①AEC =135°，
①①BDC =135°-45°=90°．
①①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，AB =6，AD =4，
①DE =42，BC =62． 设BD =x ，则DC =42+x ，
在Rt ①BDC 中，利用勾股定理BD 2+DC 2=BC 2，
①x 2+（42+x ）2=72，解得x 1=-22-27（舍去），x 2=-22+27．
①点F 、G 分别为DE 、BE 的中点，
①FG =1
2BD =-2+7．
如图2，同理，设BD =CE =a ，
在Rt ①BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，
①a 2+(a −42)2=72，
解得a =22-27（舍去），a =22+27，
①FG =1
2BD =2+7，
故答案为：72±．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．
15．如图， ABCD 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将①PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．
【答案】8)或(8) 【分析】 先求出直线AD 的教师式为24y x =--，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt ①M NP '中，
由勾股定理可求
M N '=Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O '，所以
x =855
x ，则P ，8)；当M '在x 轴正半轴时，同理可得，
x -x =(P 8)． 【详解】
解：设AD 的直线教师式为y kx b =+，
将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，
2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩
， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩
， 24y x ∴=--，
(0,4)G ∴-，
点P 是CD 边上，//CD x 轴，
设(,8)P m ， //GM y 轴，
(,4)M m ∴-，
12PM ∴=，8PN =，
当M '在x 轴负半轴时，如图，
由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，
12PM '∴=，
在Rt ①
M NP '中，M N '
在Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，
M O '∴=
∴
x = 解得855x
，
P ∴，8)； 当M '在x 轴正半轴时，如图，
同理可得，
x -+=
解得x =
(P ∴8)；
综上所述：P 点坐标为8)或(8)，
故答案为8)或(8)．
【点睛】
本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD的边AB＝11
2
，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上
的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．
【答案】2.5
【分析】
过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，由“AAS”可证①GEH①①FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，
①四边形ABCD是矩形，AB＝11
2
，BC＝3，
①①B＝90°，CD＝11
2
，AD＝3，
①AE＝1，
①BE＝9
2
，
①①GHE＝①A＝①GEF＝90°，
①①GEH+①EGH＝90°，①GEH+①FEA＝90°，
①①EGH ＝①FEA ，
又①GE ＝EF ，
①①GEH ①①EF A （AAS ），
①GH ＝AE ＝1，
①点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，
①当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，
①CG 2.5， 故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．
17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重
合）且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG ＝则四边形BCDG 的面积为 _____．
【答案】【分析】
过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ，先证明①ABD 为等边三角形，AED DFB △≌△求得60BGD ∠=︒，证明①CBM ①①CDN ， 所以S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，CG 是NGB ∠的角平分线，进而求得CGM S △，根据S 四边形BCDG =S 四边形CMGN 即可求得四边形BCDG 的面积．
【详解】
如图，过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ．
四边形ABCD 是菱形
AB AD DC BC ∴===，A BDC ∠=∠
AB BD =
AB BD DA ∴==
ABC ∴是等边三角形
60A ∴∠=︒
60BDC A ∴∠=∠=︒
BCD ∴△是等边三角形
60BCD ∴∠=︒，BC CD =
,AE DF AD BD ==
∴AED DFB △≌△
ADE DBF ∴∠=∠
60BGE BDG FBD BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒
180********BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
12060180BGD BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒
180CBM CDG ∴∠+∠=︒
180CDG CDN ∠+∠=︒
CDN CBM ∴∠=∠
,CN DN CM BM ⊥⊥
90CND CMB ∴∠=∠=︒
又CD CB =
CDN CBM ∴△≌△
CN CM ∴=
CG ∴是NGB ∠的角平分线
1602
CGM DGB ∴∠=∠=︒ 12
CGM S GM CG ∴=⨯△ ①CBM ①①CDN ，
S 四边形CMGN =CGM CDG BMC CGM CDG DNC S S S S S S ++=++=△△△△△△2S ①CMG ，
①①CGM =60°，
30MCG ∴∠=︒
①GM =12CG ，
CM ∴===
①S 四边形CMGN =2S ①CMG =2×12×12CG 2，
2CG =
∴ S 四边形CMGN =
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明60CGM ∠=︒是解题的关键．
18．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE ，BF 交于点P ，过点P 作PM①CD
交BC 于M 点，PN①BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：
①①ABE①①BCF ；
①AE ＝BF ；①AE①BF ；①线段MN 1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）
【答案】①①①①
【分析】
由正方形的性质及F ，E 以相同的速度运动，利用SAS 证明①ABE ①①BCF ，得到AE =BF ，①BAE =①CBF ，再根据①CBF +①ABP =90°，可得①BAE +①ABP =90°，进而得到AE ①BF ，根据点P 在运动中保持①APB =90°，可得点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，根据勾股定理，求出CH 的长度，再求出PH 的长度，即可求出线段CP 的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN ．
【详解】
解：①动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动，
①DF =CE ，
①四边形ABCD 是正方形，
①AB =BC =CD =2，①ABC =①BCD =90°，
①CF =BE ，
①①ABE ①①BCF （SAS ），故①正确；
①AE =BF ，①BAE =①CBF ，故①正确；
①①CBF +①ABP =90°，
①①BAE +①ABP =90°，
①①APB =90°，即AE ①BF ，故①正确；
①点P 在运动中始终保持①APB =90°，
①点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，如图，
设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，
在Rt ①BCH 中，CH
①PH =1
2AB =1，
①CP =CH -PH 1，
①PM ①CD ，PN ①BC ，
①四边形PMCN 是平行四边形，
①①BCD =90°，
①四边形PMCN 是矩形，
①MN =CP 1，即线段MN 1，故①正确．
故答案为：①①①①．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明①ABE ①①BCF ．
19．如图，A 在正方形CDBG 的边BD 的延长线上，且知AD BD =，E 在CD 上，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ．有以下结论：①AE EF =①45EAB EFB ∠+∠=︒①BC CE CF =+①
CF ．其中，正确的结论有______．（填序号）
【答案】①①①
【分析】
根据正方形性质得到①CBD =45°，进而得到①F AB +①AFB =135°，根据三角形性质即可得到①EAB +①EFB =45°，判断①正确；连接BE ，先证明AE =BE ，得到①EAB =①EBA ，根据
①EAB+①EFB=45°证明EF=EB，即可判断①正确；作EH①BF，得到BC= FC+2CH，根据①CHE
为等腰直角三角形得到CE，即可得到BC=FC，即可判断①错误；证明BC=
，根据BC=FC得到FC=，即可得到①正确．
【详解】
解：①四边形CDBG为正方形，
①①CBD=1
①DBG=45°，
2
①①F AB+①AFB=135°，
即①EAF+①AFE+①EAB+①EFB=135°，
①EF①AE，
①①AEF=90°，
①①EAF+①AFE=90°，
①①EAB+①EFB=45°，
故①正确；
连接BE，
①四边形CDBG为正方形，
①DE①AB，
①AD=BD，
①AE=BE，
①①EAB=①EBA，
①①EAB+①EFB=45°，①EBD+①EBF=45°，
①①EFB=①EBF，
①EF=EB，
①AE=EF，
故①正确；
作EH①BF，
①BE=FE，
①BH=FH，
①BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH，
①四边形CDBG为正方形，
①DCG=45°，
①①HCE=1
2
①EH①BF，
①CE
，
即CH =， ①BC = FC +2CH =FC
，
故①不正确；
①①BCD =45°，①CDB =90°，
①BC
，
①BC = FC
，
①FC
)CE CD +，
①FC
=，
故①正确．
故答案为：①①①
【点睛】
本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当辅助线是解题关键．
20．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片①ABC ，把纸片①ADC 沿AC 的方向平移得到①A′D′C′，连A′B ，D′B ，D′C ，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．
【答案】平行四边形
【分析】
（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．
【详解】
解：（1）如图2中，①A ′D ′=BC ，A ′D ′①BC ，
①四边形A ′BCD ′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．
①四边形ABCD 是正方形，
①AB =BC =2，①ABC =90°，
①AC AB
①BJ ①AC ，
①AJ =JC ，
①BJ =12
AC ①①BJC =①JCH =①H =90°，
①四边形BHCJ 是矩形，
①BJ =CJ ，
①四边形BHCJ 是正方形，
①BH =CH
在Rt ①BHC ″中，BH HC ，
①BC ''==
①四边形A ′BCD ′是平行四边形，
①A ′B =CD ′，
①A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，
①A ′B +BD
①A ′B +D ′B 的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．
（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；
（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；
（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，
过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．
【答案】（1）34，（2）证明见教师，（3）【分析】
（1）作CF ①DB 于F ，根据勾股定理求出CF 和BF 即可；
（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，可证点M 在BD 上，再证①FCM 是等腰直角三角形即可；
（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，得出①GAC ①①HAF ，当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）作CF ①DB 于F ，
①90DCE ∠=︒，CE =CDE △都是等腰直角三角形，
①20DE ，10DF CF EF ===，
①点B 落在直线DE 上，26AC BC ==
①24BF =，
①34BE EF FB =+=；
BE 的长为34．
（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，
由（1）得，①CDB =①CEA ，
①点M 在BD 上，CF =CM ，①FCM =90°，EF =DM ，
FM =，
①FM DM DF EF DF =+=+；
EF DF =+．
（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，
①ACB △是等腰直角三角形，
①①ACF =45°，
①AC =AF ，
①①GAH =①CAF =90°，
①①GAC =①HAF ，
①AG =AH ，
①①GAC ①①HAF ，
①CG =FH ，
①当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，如图所示，
①①GCA =①AFC =45°，
①①GCI =90°，
①8AC =，4CD =， ①
IC =CG =
IG =
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．
22．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已
知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符
合条件的角形有多少种？
如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．
（2）[探究证明]
阅读并补全证明
已知：如图2，在ABC和DEF中，①B＝①E，AC＝DF，①C+①F＝180°（①C＜①F）．
求证：AB＝DE．
证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．
①AG＝AC，
①①C＝．
又①①C+①F＝180°，
而①AGC+①AGB＝180°，
①①AGB＝．
①AC＝DF，
①AG＝
又①
①ABC①DEF（AAS）．
①AB＝DE．
（3）[拓展应用]
在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．
①过点D 作DH①BC 交直线BC 于点H ，若BC ＝4，CF ＝1，则BH ＝ （直接写出答案）．
【答案】（1）不一定；（2）①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①见详解；①1或3
【分析】
（1）根据SSA 可知两个三角形不一定全等；
（2）在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ，根据AAS 证明ABG ①DEF ，即可得到结论； （3）①过点D 作DG ①AC ，证明DGF ECF ≌，即可得到结论；①分两种情况：当点D 在线段AB 上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ；当点D 在BA 的延长线上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ，分别证明DHB EOC ≌，DHF EOF ≌，进而即可求解．
【详解】
解：（1）通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，
故答案是：不一定；
（2）证明：在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ．
①AG ＝AC ，
①①C ＝ ①AGC ．
又①①C +①F ＝180°，
而①AGC +①AGB ＝180°，
①①AGB ＝ ①F ．
①AC ＝DF ，
①AG ＝ DF
又①①B ＝①E ①ABG ①DEF （AAS ）．
①AB ＝DE ．
故答案是：①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；
（3）①过点D 作DG ①AC ，。