数学 第二章综合能力检测 A选修2-1 试题

第二章综合才能检测
时间是120分钟，满分是150分。

一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个是符合题目要求的)
1．点F 1(－4,0)、F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的间隔 之差为6，那么该曲线的方程为( )
A.x 29－y 2
7＝1(x ≥3) B.x 29－y 2
7＝1 C.y 29－x 2
7＝1(y ≥3) D.y 29－x 2
7＝1 [答案] A
[解析] ∵点P 到F 1、F 2的间隔 之差是6，而不是间隔 的差的绝对值是6， ∴点P 所在曲线应是双曲线的右支，由题可知，2a ＝6，c ＝4， ∴a ＝3，c ＝4，b 2
＝c 2
－a 2
＝7，
∴该曲线的方程为x 29－y 2
7
＝1(x ≥3)，应选A.
2．(2021·文，3)抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的间隔 是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
[答案] C
[解析] 此题考察抛物线的焦点到准线的间隔 ．
3．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 2
3
＝1有一样的焦点，那么k 应满足的条件是( )
A ．k >3
B ．2<k <3
C ．k ＝2
D ．0<k <2
[答案] C
[解析] k >0，c ＝9－k 2
＝k ＋3，∴k ＝2.
4．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的
外角平分线的垂线，那么垂足Q 的轨迹为( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 [答案] A
[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝1
2(|PA |＋|PF 2|)＝a ，
∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆． 5．直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |
4＝1( )
A ．没有交点
B ．只有一个交点
C ．有两个交点
D ．有三个交点 [答案] D
[解析] 当x >0时，双曲线y 29－x 2
4＝1的渐近线为：y ＝±32x ，而直线y ＝x ＋3斜率为1,1<3
2
∴y ＝x ＋3与双曲线的右支有一交点 又∵直线y ＝x ＋3过椭圆顶点k ＝1>0
∴直线y ＝x ＋3与椭圆左半局部有两交点，一共计3个交点，选D.
6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2
n
2＝1(m >0，n >0)有一样的焦点(－c,0)和(c,0)，
假设c 是a 、m 的等比中项，n 2
是2m 2
与c 2
的等差中项，那么椭圆的离心率是( )
A.
3
3
B.
2
2 C.1
4
D.12
[答案] D
[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
c 2＝m 2＋n 2
c 2
＝am
2n 2＝2m 2＋c 2
解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝1
2
.
7．与抛物线x 2
＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0)
B ．(1
16，0)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1
16
)
[答案] C
[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2
＝－4x ，其焦点为(－1,0)． 8．直线l 交椭圆4x 2
＋5y 2
＝80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，假设△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，那么直线l 的方程是( )
A ．4x ＋6y －28＝0
B ．5x －6y －28＝0
C ．6x ＋5y －28＝0
D ．6x －5y －28＝0 [答案] D
[解析] 椭圆方程为x 220＋y 2
16＝1，
设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2) 那么x 2120＋y 21
16
＝1，①
x 22
20
＋
y 22
16
＝1②
两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)20＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)16＝0
∴k l ＝－4(x 1＋x 2)
5(y 1＋y 2)
.
MN 的中点坐标为(x 1＋x 22
，y 1＋y 2
2
)，
∵△MBN 的重心为(2,0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＋03＝2，y 1
＋y 2
＋43＝0.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝6，
y 1＋y 2＝－4.
∴k l ＝6
5
.MN 的中点坐标为(3，－2)，
∴l 的方程为y ＋2＝6
5
(x －3)，即6x －5y －28＝0.
9．椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2
＝－4x 的焦点重合，
那么此椭圆方程为( )
A.x 24＋y 2
3
＝1 B.x 28＋y 2
6
＝1
C.x 2
2＋y 2
＝1
D.x 2
4
＋y 2
＝1 [答案] A
[解析] ∵抛物线焦点为(－1,0)，∴c ＝1， 又椭圆的离心率e ＝12，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝3，
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1，应选A.
10．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 2
12
＝1的右支交于A 、B 两点，那么直线AB 的斜率
k 的取值范围是( )
A ．|k |≥1
B ．|k |> 3
C ．|k |≤ 3
D ．|k |<1
[答案] B
[解析] 如下图，l 1平行于y ＝3x ，l 2平行于y ＝－3x ，由图可看出，当过C 由l 1
位置逆时针方向转到l 2位置之间的直线与双曲线x 24－y 2
12＝1的右支都有两个交点，此时k >3
或者k <－ 3.
11．(2021·文，11)假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭
圆上的任意一点，那么OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
[答案] C
[解析] 此题主要考察椭圆和向量等知识．
由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其－2≤x ≤2，那么 OP →
·FP →
＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2
＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2
＋2
当x ＝2时，(OP →·FP →
)max ＝6.
12．B 地在A 地的正向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲
线)上任意一点到A 的间隔 比到B 的间隔 远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头， 向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A ．(7＋1)a 万元
B ．(27－2)a 万元
C ．27a 万元
D ．(7－1)a 万元 [答案] B
[解析] 设总费用为y 万元，那么y ＝a ·(MB ＋MC )
∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的间隔 比到B 的间隔 远2km ， ∴曲线PQ 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2.
由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2，
∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．
以直线AB 为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，那么A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2
＋(3)2
＝27， 故y ≥(27－2)a (万元)．
二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线x 225－y 2
9＝1上一点P 到它的一个焦点的间隔 为12，那么点P 到另一个焦点
的间隔 为____________．
[答案] 2或者22
14．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2
m
＝1恒有公一共点，那么m 的取值范围为________．
[答案] m ≥1
[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2
)x 2
＋10kx ＋5－5m ＝0. 由m >0,5k 2
≥0，知m ＋5k 2
>0，故
△＝100k 2
－4(m ＋4k 2
)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立． 即5k 2
≥1－m 时，对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.
[点评] 一般地说，假如点P (x 0，y 0)满足x 20a 2＋y 20
b 2<1，那么点P 在椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1的内部，
由于直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，故要使直线y ＝kx ＋1与椭圆恒有公一共点，只须A 在椭圆上或者其内部，即02
5＋1
2
m
≤1，∴m ≥1.
15．(2021·文，13)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，那么|BF |＝____.
[答案] 2
[解析] 此题考察抛物线的定义．
设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)
抛物线y 2
＝4x ，焦点为(1，c )，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 那么AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.
16．双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，那么该双曲线的方程是________．
[答案]
x 2
4
－y 2
＝1
[解析] 由PF 1⊥PF 2，有|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
⇒(|PF 1|－|PF 2|)2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2
，
由，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝25，|PF 1|·|PF 2|＝2⇒(2a 2
)＋2×2＝(25)2
⇒a 2
＝4⇒b 2
＝c 2
－a
2
x 2
4
－y 2
＝1
三、解答题(本大题一一共6个大题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)
17．(本小题满分是12分)抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的一个焦
点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (3
2，6)，求抛
物线方程和双曲线方程．
[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2
＝2px ，(p >0)， ∵点(3
2，6)在抛物线上，
∴6＝2p ×3
2
，
∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2
＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2
＋b 2
＝1，
又点(3
2，6)在双曲线上，
∴
94a 2－6
b
2＝1， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋b 2
＝1，94a 2－6
b
2＝1，解得：a 2
＝14，b 2＝34
.
∴所求双曲线方程为 4x 2
－43
y 2＝1.
18．(本小题满分是12分)双曲线与椭圆x 29＋y 2
25＝1有公一共焦点F 1、F 2，它们的离心率
之和为24
5
，
(1)求双曲线的HY 方程；
(2)设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值． [解析] (1)在椭圆x 29＋y 2
25＝1中，a 2＝25，b 2
＝9
∴c ＝a 2－b 2
＝4，焦点在y 轴上，离心率为e ＝45
由题意得：所求双曲线的半焦距c ＝4， 离心率e ′＝245－4
5＝2，
又∵e ′＝
c a ′＝4
a ′
＝2 ∴双曲线的实半轴为a ′＝2， 那么b ′2
＝c 2
－a ′2
＝16－4＝12， ∴所求双曲线的HY 方程为y 24－x 2
12
＝1.
(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不管点P 在哪一个象限，cos∠F 1PF 2的值是一样的，设点P 是双曲线的与椭圆在第一象限的交点，其中|PF 1|>|PF 2|
由定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10① |PF 1|－|PF 2|＝4②
由①、②得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3
又∵|F 1F 2|＝8，在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|
2
2|PF 1|·|PF 2|
＝72
＋32
－82
2×7×3＝－17， ∴cos∠F 1PF 2的值是－17
.
19．(本小题满分是12分)椭圆长轴|A 1A 2|＝6，焦距|F 1F 2|＝42，过椭圆的左焦点F 1
作直线交椭圆于M 、N 两点，设∠F 2F 1M ＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN |等于椭圆的短轴的长．
[解析] 如下图，a ＝3，c ＝22，b ＝1，
∴椭圆方程为x 2
9＋y 2
＝1.
设过F 1的直线方程为
y ＝k (x ＋22)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋22)， ①x 29
＋y 2
＝1. ②
①代入②，整理得(1＋9k 2
)x 2
＋362k 2x ＋72k 2
－9＝0， ∴x 1＋x 2＝－362k 2
1＋9k 2，x 1·x 2＝72k 2
－91＋9k 2.
代入|MN |＝[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2](1＋k 2
)，
整理得|MN |＝6(k 2
＋1)1＋9k 2. ∵6(k 2＋1)1＋9k 2＝2，∴k ＝±33
. 即tan α＝±33，∴α＝π6或者α＝5π6. 20．(本小题满分是12分)炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间是比
在F 2(5000,0)处晚30017
秒．坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．
[解析] 由声速为340米/秒可知F 1、F 2两处与爆炸点的间隔 差为340×30017＝6000(米)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上．
因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上．
设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，那么
|PF 1|－|PF 2|＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000.
而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002，
∵|PF 1|－|PF 2|＝6000>0，∴x >0，
所求双曲线方程为x 230002－y 2
40002＝1(x >0)． 21．(本小题满分是12分)(2021·理，20)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)假如|AB |＝154
，求椭圆C 的方程． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0.
(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2
.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －c )
x 2a 2＋y 2
b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(
c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2
(c －2a )3a 2＋b
2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.
即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 得离心率e ＝c a ＝23
. (2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154
，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5＝1. 22．(本小题满分是14分)，椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，假如直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．
[分析] (1)由求出a 、c ，进而得到椭圆方程．
(2)设出AE 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，表示出x E ，进而求出y E .以及x F ，y F ，然后计算出k EF .考察解析几何的根本方法和计算才能．
[解析] (1)由题意c ＝1，由定义|F 1A |＋|F 2A |
＝4＋94＋94
＝4＝2a ， ∴a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－k 2－12＝0 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32
－k 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32
＋k .
所以直线EF 的斜率 k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E ＝12
， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12
. 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

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翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

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聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

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**燃烧希望，励志赢来成功。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

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不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。