高二数学课件(双曲线)

为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′
y 13 C
12
0
Ax
B′
20 B
F1 A1 O A2 F2 x
(3)焦点坐标： F1(5,0), F2 (5,0) (4)离心率： e c 5
a4
思考：y 1 的图像是什么形状？ x
图像无限靠近x轴和y轴 x轴, y轴叫做y 1 的渐进线. x
5、渐近线
双曲线 x2 y2 1, (a 0,b 0) a2 b2
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
如何记忆双曲线的渐进线方程？
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
e c (e 1) a
b
yx
y x 0
a
ba
ya x y x 0
b
ab
例题讲解
例1、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, 2x±3y=0 (2)25x2－4y2=100. 5x±2y=0
双曲线标准方程： x 2 a2

y2 b2
1
1、范围：x≥a或x≤-a
Y
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
B2
3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：y b x
6、离心率：e= c
a
a
X
A2
B1
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
例题讲解
例2 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42

x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
渐近线方程: y 4 x 3
F1

x a2
c
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 1,即x2 a2 a2
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
x a, x a
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
yb a
x2 a2 b | x | a
1 a2 x2
bx a
1

a2 x2
y
当x
时,
a2 x2
0.
说明:
O
当x 时,双曲线上点的纵坐标
与y b x的纵坐标很接近. a
即y b x a
1
a2 x2
与y1


b a
x中，当x

时,
y

y1.
ybx a x
b
c2 a2
( c )2 1
e2 1
a 当e

a (1,
)时
，ba
(0,
),且e增
大,
b
也
增
大
e增大时，渐a近线与实轴的夹角增a 大
(4)等轴双曲线 e 2
练习 双曲线 x2 y2 1
16 9
y
(1)范围： x 4或x 4, y R (2)顶点坐标： A1(4,0), A2 (4,0)
椭圆几何性质包括哪些呢？.
如何探究呢？
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性 关于X,Y轴, 原点对称
顶点 (±a,0),(0,±b)
焦 点 (±c,0)
对称轴 离心率 准线
A1A2 ; B1B2
e c a
x a2 c
复习 椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
双曲线的简单几何性质(一)
上一节,我们认识了双曲线的标准方程:
形式一：
x2 a2

y2 b2
双曲线的图象特
1(a 0,b 0) 点与几何性质到现
在仍是一个谜?
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F2（c，0））
形式二：
y2 a2

x b
2 2
1(a
0,b
0)
（类比焦其椭点中圆在c几y2轴何上性a，2质F（1的b0，研2 -究c）方、法F（2 0程，来c）现探）在究就一用下方!
y b x a
双曲线 x2 y2 1, (a 0,b 0) a2 b2
直线y b x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 1的渐进线为： y 3 x
43
2
x2 y2 1的渐进线为： y x 22
y ybx
a
O
x
y b x a
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
P61， 1，2
小结： 本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，
对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们 熟练掌握并补写完成黑板余下的部分。
作业 61 ，3，4
谢 谢 光 临！
例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
对称性 顶点 离心率 渐进线
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!