奉贤高考补习班,恒高教育任意角及其度量、三角比

§1 任意角及其度量、三角比
一、根本知识点
1.任意角
〔1〕角的概念
角可以看成平面内一条__________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．我们把开场位置的射线称为始边，完毕位置的射线称为终边，如不作特别说明，一般以x轴正半轴作为始边。

〔2〕终边一样的角
所有与角α终边一样的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________.
与角α终边关于x轴对称的角构成的集合S＝___________________.
与角α终边关于y轴对称的角构成的集合S＝___________________.
与角α终边关于原点对称的角构成的集合S＝___________________.
〔3〕坐标轴上角
如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在x轴正半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；
②终边在x轴负半轴上的角的集合可记作_______________；
③终边在y轴正半轴上的角的集合可记作________________________；
④终边在y轴负半轴上的角的集合可记作_______________________；
⑤终边在x轴上的角的集合可记作_______________________；
⑥终边在y轴上的角的集合可记作；
⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作．
〔4〕象限角
使角的顶点与____________重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
①α是第一象限角可表示为；
②α是第二象限角可表示为；
③α是第三象限角可表示为；
④α是第四象限角可表示为．
2. 弧度制
〔1〕把长度等于___________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
＝，其中l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．
〔2〕弧度与角度的换算：180°⇔___π___rad.
弧度制将任意角与实数之间建立了一一对应的关系，即任意一个实数都可作为一个角.
6
5
4
3
2
1
O
y
x
〔3〕假设圆心角α用弧度制表示，那么弧长公式l ＝__________； 扇形面积公式S 扇＝＝． 3. 任意角的三角函数
〔1〕任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，那么 sin α＝， cos α＝，
tan α＝(x ≠0)， cot α＝(y ≠0)， sec α＝(x ≠0)， csc α＝(y ≠0)．
〔2〕正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数 定义域
αsin
αcos
α
tan
αcot
αsec
αcsc
〔3〕三角函数值在各象限的符号
sin α cos α tan α
4. 三角函数线
如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的_______、_______、_______，统称为三角函数线．
二、根底自测
1. 在坐标系中画出特殊角的终边：
O
y
x
2. 在),[ππ-内找出与以下各角同终边的角：
460，3
11π
-
；
3. 给出以下命题：
①小于的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边一样的角相等；④假设α与β有一样的终边，那么必有α－β＝2k π(k ∈Z )．其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4. 终边在第一、三象限角平分线上的角的集合是.
5．将表的分针拨快10分钟，那么分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3
B.π6 C ．－π3 D ．－π6
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10
分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π
3. 答案 C
6. 特殊角的三角函数值
角α 0 30 45 60 90
120 135 150 180 270
360
弧度
0 6
π 4
π 3
π 2π 32π 43π 65π π
23π
π2
αsin 0 2
1 2
2 2
3 1 23 2
2 2
1 0 -1 0
αcos 1 23 2
2 2
1 0
21- 22- 2
3-
-1 0 1
αtan 0
3
3
1
3 不存在
3-
-1
33- 0
不存在 0
αcot
不存在
3
1
3
3 0
3
3-
-1
3
-
不存在
不存在
αsec αcsc
7. (2014·全国)角α的终边经过点(－4，3)，那么cosα＝( )
A.B.C ．－D ．－
解：cos α＝＝－.应选D .
8. sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1
解：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad ＞rad ，
∵OM ＜＜MP ＜AT ，∴cos1＜sin1＜tan1.应选D.
三、例题解析
【例1】〔1〕在坐标系中写出以下射线为终边的角的集合：
O
y
x
【例2】〔1〕假设4π＜α＜6π且α与－23π终边一样，那么α＝________．
答案：163
π
〔2〕 (2014·XX 调研)角α=45°,在区间[-720°,0°]内与角α有一样终边的角β=.
【例3】〔1〕假设α是第三象限角，那么180°－α是第________象限角．
解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，∴－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，
－(k ＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k ＋1)·360°＋360°，其中k ∈Z ，所以180°－α是第四象限角．答案：四
〔2〕角α的终边上有一点的坐标为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,21-，假设α∈(－2π，2π)，那么所有的α组成的集合为________．
解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，－32，所以角α为第四象限角，且tan α
＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫－π3，5π3.
【例4】如下图，扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：
①AB 的长；
②弓形ACB 的面积．
解：①∵∠AOB ＝120°＝2π
3，R ＝6，
∴l ＝2π
3
×6＝4π.
②S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12lR －1
2R 2sin∠AOB
＝12×4π×6－12×62×3
2
＝12π－9 3.
【例5】扇形AOB 的周长为8 cm.假设这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．
解：设扇形半径为r ，那么弧长为8－2r ，
∴S ＝1
2
·(8－2r )·r ＝3，解得r ＝1或3.
∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或2
3
.
【例6】扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l . ①假设α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；
②假设扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：〔1〕α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π
3(cm)．
〔2〕由得，l ＋2R ＝20，
所以S ＝12lR ＝1
2(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，
所以当R ＝5时，S 取得最大值25，
此时l ＝10(cm)，α＝2 rad.
【例7】角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：∵角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，
∴r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a . ∴sin α＝y r
＝
2a
5a ＝
255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝y x ＝2a
a ＝2.
【例8】角α的终边经过点P (3m －9，m ＋2)．
①假设m ＝2，求5sin α＋3tan α的值；
②假设cos α≤0且sin α＞0，XX 数m 的取值X 围． 解：〔1〕∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.
∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－4
3
.
∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－43＝0.
〔2〕∵cos α≤0且sin α＞0，∴⎩⎨⎧3m －9≤0，
m ＋2＞0.
∴－2＜m ≤3.
【例9】〔1〕)(0,2πα∈，那么满足2
1
sin =
α角α的集合是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧656ππ，； 〔2〕满足21sin >
α的角α的集合是⎪⎭
⎫ ⎝⎛656ππ，.
【例10】〔1〕即0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.
证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆．
①当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.
②当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，那么sin α＝BA ，cos α＝OB .
在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.
〔2〕求证：当α∈)2
,
0(π
时，sin α<α<tan α.
证明：如下图，
设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，那么在Rt△POM 中，sin α＝MP ，
在Rt△AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有＝α·OP ＝α，
易知S △POA <S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP <12·OA <1
2
OA ·AT ，即sin α<α<tan α.
四、稳固练习
〔一〕根底训练
1．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2 B.2
sin 1
C ．2sin 1
D ．sin 2
解：弧长公式l ＝|α|r，α＝2，需求半径r.过圆心作弦的垂直平分线，得到直角三角形，得出rsin 22＝1，所以r ＝1sin 1
.应选B.
2．角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，那么2sin α＋cos α的值为( ) A ．－B.C ．0 D.或－
解：∵x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，∴r ＝－5a ，∴sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.应选A.
3. 角α的终边上有一点P(t ，t2＋1)(t>0)，那么ta nα的最小值为( ) A ．1 B ．2C.1
2
D. 2
解：根据条件得tanα＝t2＋1t ＝t ＋1
t ≥2，当且仅当t ＝1时，tanα取得最小值2.
答案 B
4．α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π
3
，那么sin α等于( )
A ．－3
2
B.
32 C ．－12 D.12
解：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)．又β＝－π
3，所以α
＝2kπ＋5π6(k∈Z)，即得sin α＝1
2.[答案] D
5. (2014·XX 模拟)角α(0≤α<2π)的终边过点)3
2cos ,32(sin
π
πP ，那么=α.
6．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，那么该扇形的圆心角的弧度数为________．
解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，
那么⎩⎨
⎧
12lr ＝1，l ＋2r ＝4，
解得⎩⎨⎧
r ＝1，
l ＝2.
∴圆心角α＝l r ＝2.
7．点P 从(1，0)出发，沿圆心在原点的单位圆逆时针方向运动2
3π弧长到达点Q ，
那么点Q 的坐标为__________．
解：由三角函数的定义知点Q (x ，y )满足故填.
8．假设一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．
解：设该扇形的半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S ，那么l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .
∴S ＝lr ＝(60－2r )r ＝－r 2＋30r ＝－(r －15)2＋225.
∴当r ＝15时，S 最大，最大值为225cm 2. 此时，θ＝＝＝2rad .故填15；2.
9．2
1
cos >
α，那么α的取值X 围是. 解：()Z k πk π,πk ππ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
323
2
〔二〕能力拓展
10．角α的终边经过点P (x ，－)(x ≠0)且cos α＝x ，求sin α＋tan α的值． 解：∵P (x ，－)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝. 又cos α＝＝x ，∴x ＝±，r ＝2. 当x ＝时，点P (，－)，
由三角函数定义知sin α＝－，tan α＝＝－. ∴sin α＋tan α＝－－＝－.
当x ＝－时，同理可求得sin α＋tan α＝.。