最新-湖北省黄冈中学2018年春季高二数学期末考试答案(

湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试答案（理）
选择题 1—5 ADCCD
6—10 BDAAB
填空题 11．2 12．2 13．128y x =-+ 14．（－1，1） 15． 1
3
16．解：∵222
225
lim lim 2(2)(1)3
x x x x a x x a x x x x →→++++==---+ ∴x 2＋x ＋a 中含因式x －2 ∴x =2是方程x 2＋x ＋a =0的根 ∴22＋2＋a =0 ∴a =－6 ∴1
1
1
1
11
6()3(6)3
3
2lim
lim lim
62(4)(6)(4)1()3
n
n n n n n n n n n n n n
a a +-+-→∞→∞→∞
-+
-+-+===-+--+-+ 17．解：（1）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，
1212()()()0.20.80.16P A A P A P A ==⨯=．
（2）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为
00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
18．解：（1）()1cos f x x '=- x ∈（0，1）时，0<cos x <1 ∴()1cos 0f x x '=-> ∴f (x )在（0，1）上是增函数
（2）①当n =1时，由已知，结论成立. ②假设当n =k 时结论成立，即0<a k <1.
因为0<x <1时，()1cos 0f x x '=->，所以f (x )在（0，1）上是增函数.
又f (x )在[0，1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin1<1.
故当n =k ＋1时，结论成立. 由①、②可知，0<a n <1对一切正整数都成立. 19．解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10
cos cos AQ OA θθ
=
=, 故 10
cos OB θ
=
，又OP ＝1010tan θ-， 所以1010
1010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=
++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=
+04πθ⎛
⎫≤≤ ⎪
⎝
⎭
②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以
=
所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （2）选择函数模型①，()()()
'
2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ
-----==
令'y =0 得sin 12θ=，因为04
π
θ≤≤，所以θ=6π，
当(0,
)6πθ∈时，'0y < ，y 是θ的减函数；当(,)64
ππ
θ∈时，'0y > ，y 是θ的增函数，
所以函数y 在θ=
6
π
时取得极小值，这个极小值就是最小值。

min 10y =+
这时10cos
6
OA OB π
==
=
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A
、B (km)时，铺设的排污管道总长度最短．
20．解：（1）∵y =x 3 -3x 2，∴y ′
=3x 2-6x ,
∵过点P 1(x 1,y 1) 的切线l 1的方程为y -( 3
2113x x -)= (21136x x -)(x -x 1), 又l 1过点O (0,0),
∴-(32113x x -)=-x 1(21136x x -),∴321123x x =,∴x 1=3
2
或x 1=0. ∵P 1与O 不重合, ∴x 1=
32
. (2) ∵过点P n+1(x n+1,y n+1) 的切线l n+1的方程为3211(3)n n y x x ++--=2
11(36)n n x x ++-(x -x n+1), 又l n+1过
点
P n (x n ,y n ), ∴323n n x x --3211(3)n n x x ++-=2
11(36)n n x x ++-(x n -x n+1), 整理得(x n -x n+1)
2 (x n +2x n+1)-3(x n -x n+1)2=0,
由已知得x n ≠x n+1, ∴x n +2x n+1=3.
(3) ∵x n+1=13,22n x -+∴x n+1-1=1(1)2n x --,∴{x n -1}是以x 1-1=12为首项,-1
2
为公比的等比数
列, ∴x n -1=
12(-12)n -1, ∴x n =1-(-1
2
)n ∴lim 1n n x →∞=
21．解：（甲）(1)∵f (x )=－x －ln(－x )，f ´(x )= －111
x x x
+-=-，
∴当－e ＜x ＜－1时， f ´(x )＜0，此时f (x )单调递减，当－1＜x ＜0时，f ´(x )＞0， 此时f (x ) 单调递增，∴f (x )的极小值为f (－1)=1。

（2）∵f (x )的极小值即f (x )在[－e ，0)上的最小值为1，∴| f (x )|min =1，
令h (x )=g (x )＋
1ln()122x x -=-+， 又∴h ´(x )=
2
ln()1
x x --，∴当－e ＜x ＜0时， h ´(x ) ＜0，且h (x )在x =－e 处连续
∴h (x )在[－e ，0)上单调递减，∴h (x )max =h(－e)=min 1111
1|()|.222f x e ++==<
∴当x ∈[－e ，0)时， 1
|()|().2
f x
g x +>
（3）假设存在实数a ，使f (x )=ax －ln(－x )有最小值3，x ∈ [－e ，0)， f ´(x )=1a x
-
， ①当a ≥1e -时， 由于x ∈（－e ，0)， 则f ´(x )=a 1
0,x
-> 且f (x ) 在x =－e 处连续
∴函数f (x )=ax －ln(－x )是[－e ，0)上的增函数，∴f (x )min =f (－e )= －ae －1=3， 解得a =41
e e
--<（舍去）.
②当a ＜1e -时， 则当－e ＜x ＜1a 时，f ´(x )=a 1
0,x -< 此时f (x )=ax －ln(－x ) 是减函数，
当
10x a <<时，f ´(x )=a 1
0,x
-> 此时f (x )=ax －ln(－x ) 是增函数， ∴f (x )min =f (
1a )=1－ln(1a
-)=3，解得a =－e 2
.
由①、②知，存在实数a =－e 2
，使得当x ∈ [－e ，0)，时f (x )有最小值3. （乙）（1）∵f (1)=1，2
11
1
lim ()lim()x
ax
a x x f x xe e --
-+-→→==，
已知f (x )在点x =1处连续，∴有e a －
1=1. ∴a =1. （2）当x ∈(0，1)时，2
().x ax
f x xe -+=
此时，2
2
2
2()(2)(21)x ax
x
ax
x
ax
f x e xe x a x ax e -+-+-+'=+-+=-++，
∵2
0x
ax
e -+>，20
lim (21)10x x ax +→-++=>，∴()f x '不可能在（0，1）上恒小于0.
故f (x )在（0，1）上必为增函数. ∴－2x 2＋ax ＋1≥0在（0，1）上恒成立.
2211
2x a x x x
-⇔≥=-在（0，1）上恒成立.
设1
()2u x x x
=-，x ∈(0，1). ∵u (x )在(0，1)上是增函数，u (x )<1.
∴当a ≥1时，f (x )在(0，1)上是增函数.
又当a =1时，f (x )在(0，＋∞)上也是增函数； 当a >1时，∵2
11
1
lim ()lim()1(1)x ax
a x x f x xe e f --
-+-→→==>=，
此时，f (x )在(0，＋∞)上不是增函数.
（3）当x ∈(0，1)时，g (x )=ln f (x )＋x 2－ax =ln x . 当n ≥2时，
欲证1(1)11
()2!n
k n n g n n k
=--<<-∑， 即证111
1
123(1)()1.!23n g n n n ------<<+++
+
- 需证1111
123(1)ln
1.!23
n n n n n n
----
---<<++++- 即需证111
1111
123(1)ln ln ln ln 1.123
23
n n n n n n
----
---<+++
+<+++
+- 猜想：1
1ln 1t t t
-<<-，其中t ∈(0，1).
下面证明之. 构造函数1
()ln 1h t t t
=-+，t ∈(0，1).
∵22111
()0t h t t t t -'=-=<，∴h (t )在(0，1)上是减函数，而1lim ()0t h t -→=，
∴h (t )>0，即有1
ln 1.t t >- 同理，设s (t )=ln t －t ＋1，t ∈(0，1).
∵11()10t
s t t t -'=-=>，∴s (t )在(0，1)上是增函数，而1lim
()0t s t -→=， ∴s (t )<0，即有ln 1.t t <- 故有1
1ln 1t t t -<<-，其中t ∈(0，1).
分别取111
1
,,,
,
(2)234t n n
=≥，有 11
12ln 122-<<-，
11
13ln 133-<<-，
11
14ln 144
-<<-，
…
11
1ln 1.n n n -<<-
相加，得11
111
1
123(1)ln ln ln (1).2323n n n n n n
-------<++
+<++
+
-- 即111
1111
123(1)ln ln ln ln (1).12323n n n n n n
-------<+++
+<++
+
-- ∴1111
123(1)ln 1.123423
n n n n n
-------<<+
+++
-⨯⨯⨯⨯
⨯ 即1111
[123(1)]ln
1.!23n n n n
-+++
+-<<++++
- ∴1(1)11
().2!n
k n n g n n k
=--<<-∑。