浙江高一高中数学期中考试带答案解析

浙江高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列函数与有相同图象的一个函数是（）．
A．B．C．D．
2.下列表示图形中的阴影部分的是（）．
A．
B．
C．
D．
3.函数的奇偶性是（）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
4.三个数的大小关系为（）．
A．
B．
C．
D．
5.已知，则的解析式为（）．
A．B．C．D．
6.已知函数满足:对任意实数，当时，总有，那么实数的取值范围是（）．
A．B．C．D．
7.定义在上的函数；当若
；则的大小关系为（）．
A．B．C．D．
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）．A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.已知集合，则，，．
2.函数的单调增区间为，值域为．
3.已知函数的定义域为，值域是，则的值域是，的定义域
是．
4.已知，则，方程的解是．
5.已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是．
6.已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围是．
7.设函数若存在使得，则的取值范围是．
三、解答题
1.计算：
（1）；
（2）
2.设全集，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
3.已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断并证明的单调性，写出的值域．
4.已知函数（为实常数）．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
5.已知函数，．
（1）求的最小值（用表示）；
（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．
浙江高一高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.下列函数与有相同图象的一个函数是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以解析式不同，故不选A；因为，所以解析式相同，定义域不
同，故不选B；因为，，所以解析式相同，定义域不同，故不选C；而的定义域与解析式均相同，故选D．
【考点】函数的三要素：解析式、定义域、值域．
2.下列表示图形中的阴影部分的是（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】验证法，显然答案A正确．
【考点】韦恩图表示集合．
3.函数的奇偶性是（）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
【答案】A
【解析】易得定义域为R，而
，所以函数为奇函
数，故选A．
【考点】判断函数的奇偶性．
4.三个数的大小关系为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由指数函数、对数函数的性质可知，，所以．故选D．【考点】搭桥法比大小（即引入0，1做中间量）．
5.已知，则的解析式为（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则．因为，所以，则．
故选C．
【考点】求解析式．
【方法点睛】求解析式的常用方法：（1）待定系数法，即先设出函数的解析式，然后运用条件列出关于参数的方
程组，求解即可；（2）换元法，即将已知条件中的某部分看作一个t，然后将条件中的变量x用t表示，注意新元
t的范围，即求出了函数f（t）的解析式及定义域，最后用变量x替换t即可（本题即使用了该法）；（3）凑配法，实质是换元法，只是没有设新元t而已；（4）解方程组法，例如：已知，求函数的解
析式．由已知得，，两式联立求解即可．
6.已知函数满足:对任意实数，当时，总有，那么实数
的取值范围是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，总有，所以函数在R上单调递减，所以，解
得，故选B．
【考点】分段函数的单调性．
7.定义在上的函数；当若
；则的大小关系为（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，令，则，所以，即递减，
又，因，所以，即，
故选B．
【考点】抽象函数比大小．
【方法点睛】抽象函数问题的解法突破：（1）赋值法，利用题目中的等量关系得到特殊变量对应的函数值，从而得到函数的奇偶性；（2）利用题目中的不等关系，判断出函数的单调性；（3）利用奇偶性及单调性比大小，同
时也可以解不等式．如本题：①通过等量关系赋值得到，同时令，则
，即为奇函数；②通过不等关系得到函数递减，从而利用单调性比大小．
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）．A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，，所以，解得，所以；
当时，，所以，解得，所以综上，不等式的解集为．故选D．
【考点】解分段函数不等式．
【思路点睛】本题应先通过函数的奇偶性求出时的解析式，然后判断各段的值域，以确定将代入哪一段的解析式中，从而确定不等式，然后求解．本题的一个难点是，将代入时，要先将看作一个整体即得到（或），不要急于用其表达式代换，这样先解关于的不等式，然后再去求关于x的不等式，求解过程比较简单快捷．
二、填空题
1.已知集合，则，，．【答案】，，．
【解析】解得，，，所以，，．
【考点】集合的交集、并集、补集运算．
2.函数的单调增区间为，值域为．
【答案】．
【解析】可得函数的定义域为，易知二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，而函数在上单调递减，所以依据复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为．可知，，所以函数的值域为．
【考点】求复合函数的单调性和值域．
3.已知函数的定义域为，值域是，则的值域是，的定义域
是．
【答案】
【解析】函数的图像可看作是函数的图像向左平移3个单位而得到，所以值域没有改变，故的值域是．因为，所以，即函数的定义域为．由
得，所以函数的定义域是．
【考点】复合函数的定义域与值域问题．
4.已知，则，方程的解是．
【答案】，．
【解析】可得，，所以．当时，方程为，解得；当时，
方程为，解得或．综上，方程的解为或或．
【考点】①分段函数求值；②解方程．
5.已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是．
【答案】
【解析】可得幂函数，且函数在其定义域上单调递增．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围是．
【考点】解幂函数不等式．
6.已知函数若关于的方程有6个不同的实根，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】函数的图像如下图（1），函数的图像如下图（2），且其值域为．
设，则．
当时，由图（1）知，有两解，且．由图（2）知，当时，有两解；当时，有两解，所以当时，方程有4个不同的实根，不符合题意，舍去．同理，当时，有三解，且．由图（2）知，当、、时，方程分别有两解，所以此时方程有6个不同的实根．当
时，由图（1）知，有三解，且．由图（2）知，方程无解，方程各有两解，所以此时，方程有4个不同的实根，不符合题意，舍去．同理，当时，方程有2个实数根，舍去．当时，方程无实数根，舍去．综上，
．
【考点】由方程的解的个数求参数范围．
【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．（1）已知含参数方程有解，求参数范围问题．一般可作为代数问题求解，即对进行参变分离，得到
的形式，则所求a的范围就是的值域．（2）当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解．本题就是使用该法，但因本题是复合函数，所以难度更大，不过道理一样．
7.设函数若存在使得，则的取值范围是．
【答案】
【解析】易知且．结合分段函数的单调性知，当时，，解得，则；当时，，所以不存在使，故舍去；当时，
，解得，则．
综上，的取值范围是．
【考点】含参数的分段函数的综合问题．
【思路点睛】本题主要考查分段函数的单调性及函数求值问题，但因含有参数，所以需对参数讨论方可列出关于的方程进而解出，从而求出关于参数a的函数并求值域即可．在求解的过程中，一定要作出函数的草图结合单调性求解，以免出错．应在解题过程中锻炼严谨的数学思维能力．
三、解答题
1.计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）原式＝２；（2）原式＝－2
【解析】（1）根据指数运算律即可求解；（2）根据指数运算律、对数运算律及换底公式易求解．
试题解析：（1）
【考点】指数、对数运算律．
2.设全集，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】通过解一元二次不等式及绝对值不等式得到集合A、B．（1）求出集合，然后由子集关系求参数范围，但注意集合C为空集和非空集合两种情况考虑；（2）先求出，然后由子集关系求参数范围即可求解．
试题解析：
（1）
当，满足题意
当时，不合题意
当时，，
则有，解得．
综上，
（2）
当时，不合题意
当时，
【考点】由子集关系求参数范围．
3.已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断并证明的单调性，写出的值域．
【答案】（1）是奇函数；（2）在R上是增函数，值域为．
【解析】（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，若对称，则判断与的关系，经推理得，所以函数为奇函数；（2）按照单调性的定义，设且，然后作差比较得
，所以函数为增函数，然后按照反比例函数的模型求值域即可．
试题解析：（1）易知函数的定义域为R，因为，
所以，
则是奇函数．
（2）在R上是增函数，
证明如下：任意取，使得：
则
所以，则在R上是增函数．
，则的值域为
【考点】①证明函数的奇偶性；②判断函数的单调性；③求值域．
4.已知函数（为实常数）．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；
（2）；（3）．
【解析】（1）去绝对值，将函数化为分段函数的形式，然后借助二次函数的图像易知其单调性；（2）对于含参数的二次函数的最值计算，应对称轴与区间端点的位置关系进行讨论分别求解，然后总结结论即可；（3）按照单调性的定义，将函数在区间上是增函数转化为（）恒成立，从而转化为最值问题求解．
试题解析：（1）时，
的单调增区间为
的单调减区间为
（2）当，时
当时，
当时，
当时，
（3）在区间任取
函数在区间上是增函数恒成立
恒成立
当时．显然成立
当时，恒成立
当时，恒成立
综上所述，
【考点】①求函数的单调区间；②含参数的最值计算；③由单调性求参数范围．
【方法点睛】含参数的一元二次函数在区间[m，n]上的最值问题，常分两个题型（1）对称轴确定，区间变；（2）区间确定，对称轴变．解法突破：不管是哪种题型均按照对称轴与区间端点的位置关系分类讨论求解，即当对称轴在区间端点m的左侧（），在区间端点m与n之间（），在端点n 的右侧（）．同时注意求最值时，可能还要考虑对称轴在区间中点的左则还是右侧．
5.已知函数，．
（1）求的最小值（用表示）；
（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，;当时，;
当时，;（2）．
【解析】（1）显然使用换元法，将题目转化为函数在时的最值
问题，然后讨论对称轴与区间端点的位置关系，分别求解即可；（2）有解问题求参数，常将参数移到一边，然后转化为最值问题求解．
试题解析：（1）
设∴
此时
当时，
当时，
当时，．
（2）方程有解，即方程在上有解，而
∴，可证明在上单调递减，上单调递增
为奇函数，∴当时
∴的取值范围是．
【考点】①换元法求最值；②由有解求参数范围．
【方法点睛】（1）方程有解条件下，求参数范围问题的解法突破：若函数在区间上有解，常将参数移
到一边如在区间上有解，则a的范围等价于求函数的值域，然后按照求值域的方法求函数值域即可．（2）含参数的一元二次函数在区间[m，n]上的最值问题，常按照对称轴与区间端点的
位置关系分类讨论求解，即当对称轴在区间端点m的左侧（），在区间端点m与n之间（），在端点n的右侧（）．同时注意求最值时，可能还要考虑对称轴在区间中点的左则还是右侧．。