2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲)含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第四章三角函数与解三角形
第01讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 ---讲
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
3.高考预测：
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
4.备考重点：
(1) 理解三角函数的定义；
(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.
知识点1．象限角及终边相同的角
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
2．弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r，l是以角α作为圆心角
时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．
故选B ． 【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 【变式1】若角α是第二象限角，试确定α2，
2
α
的终边所在位置．
【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,
2
α
的终边在第一象限或第三象限.
【解析】∵角α是第二象限角，∴，
（1）
，
∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．
（2），当时，
∴，
∴2
α
的终边在第一象限．
当
时，
∴，
∴
2
α
的终边在第三象限．
综上所述，
2
α
的终边在第一象限或第三象限．
知识点2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P (cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
【典例2】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ
终边上一点，且，则y=_______.
【答案】-8 【解析】
根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.
=
【规律方法】
1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式2】（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由三角函数的定义可得．
故选B ．
知识点3．扇形的弧长及面积公式
弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1
2|α|r 2
.
【典例3】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S =
B ．12S S ≤
C ．12S S ≥
D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >
【答案】A 【解析】
如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为
，,
因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积,
即
，
所以12S S =，
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式3】（浙江省诸暨中学）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C
【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则
∴解得28r l ==， 或44r l ==，
故选C ．
考点1 象限角及终边相同的角
【典例4】 (2019·宁夏质检)终边在直线y =
上，且在[22)－，ππ内的角α的集合为 .
【答案】
【解析】如图，在坐标系中画出直线y =，可以发现它与x 轴的夹角是
3
π
，在)0,2π⎡⎣内，终边在直线
y =上的角有两个：
3
π，43π
；
在[
20)－，π内满足条件的角有两个：23π-，53
π
-，故满足条件的角α构成的集合为.
【易错提醒】
(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．
【变式4】（浙江省杭州第二中学）若α是第三象限的角, 则2
α
π-
是 （ ）
A. 第一或第二象限的角
B. 第一或第三象限的角
C. 第二或第三象限的角
D. 第二或第四象限的角 【答案】B
【解析】α是第三象限角，
，，
，故当k 为偶数时， 1
2
πα-
是第一象限角；故当k 为奇数时， 1
2
πα-
是第三象限角，故选B. 考点2 利用三角函数定义求值
【典例5】（浙江省台州中学期中）已知角的终边过点,且
，则的值为( )
A.
B. C.
D.
【答案】B 【解析】 由题意可知，
，
，是第三象限角，
可得，
即
，解得，故选B.
【规律方法】
1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式5】已知角的终边在射线上，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
由题得在第四象限,且，
所以
故答案为：A.
考点3 三角函数值的符号判定
【典例6】（浙江省东阳中学月考）已知且，则角的终边所在的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.
【总结提升】
判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．
【变式6】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是() A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】∵，∴角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴.故选A.
考点4 扇形的弧长及面积公式
【典例7】（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是
lR=4R+2l，
∴l=
∵l＞0，∴R＞2
【总结提升】
(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝1
2lr ，此时α为弧度．扇形面积公式
，扇形中弦长公式，扇形弧长公
式
在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2
360
，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
【变式7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为
，弦长为
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方
米.（其中
，
）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18 【答案】B 【解析】 因为圆心角为
，弦长为
，所以圆心到弦的距离为
半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，
因此两者之差为
，选B.
考点5 单位圆、三角函数线的应用
【典例8】（2018年文北京卷）在平面坐标系中，是圆
上的四段弧（如图），点P
在其中一段上，角以O 为始边，OP 为终边，若
，则P 所在的圆弧是（ ）
A. AB
B. CD
C. EF
D. GH
【答案】C
【解析】
由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A 选项：当点在AB上时，，，故A选项错误；B选项：当点在CD上时，
，，，故B选项错误；C选项：当点在EF上时，，
，，故C选项正确；D选项：点在GH上且GH在第三象限，
，故D选项错误.综上，故选C.
【规律方法】
利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤
(1)用边界值定出角的终边位置．
(2)根据不等式(组)定出角的范围．
(3)求交集，找单位圆中公共的部分．
(4)写出角的表达式．
【变式8】（2018年5月3日三角函数线）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1）；（2）–．
【答案】(1)见解析.(2)见解析.
【解析】（1）∵∈（，π），
∴作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，
作PM⊥x轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，
设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，
则有向线段AT=tan，
综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；
（2）∵–∈（–π，–），
∴在第三象限内作出–角的终边如图所示，交单位圆于点P'，
用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段M'P'、OM'、A'T'分别为–角的正弦线、余弦线、正切线．。