2010届高三下学期期中考试数学试题

北 大 附 属 实 验 学 校
2009—2010学年度下学期高三数学期中试卷
第Ⅰ卷（选择题
共40分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M∪N）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}
2、复数1+2i
i (i 是虚数单位)的实部是 ( )
A ．2
5-
B ．25
C ．15-
D ．1
5
3、已知命题，，则（ ）
:p x ∀∈R sin 1x ≤A ．，
B ．，
:p x ⌝∃∈R sin 1x ≥:p x ⌝∀∈R sin 1x ≥C.， D ．，
:p x ⌝∃∈R sin 1x >:p x ⌝∀∈R sin 1x >4、函数的零点所在的区间是 ( )
x
x x f 2
ln )(-
=A. B. C. D.
)2,1(),2(e )3,(e )4,3(5、 对于任意实数，，定义 设函数，则函数
a b , ,
min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
2()3, ()log f x x g x x =-+=的最大值是
（ ）
()min{(),()}h x f x g x =A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6、在中， 是 的 （ ）
ABC ∆AB AC BA BC ⋅=⋅ “”AC BC =
“”A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7、在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧==
10,,3,2,1,6 n n x x π21cos =x A ．
B ．
C ．
D ．
51
5
2
5
35
48、已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） ()f x ()f x '()f x
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9、若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3.
10、设A(1,2)，B(3,－1)，C(3,4)，则 ．
⋅=11、若 14
0,0,1,x y x y x y
>>+=+且
则的最小值是__________.12、曲线在点（1，1）处的切线方程为__________
．
3
x y =
13、 已知变量x ，y 满足约速条件，则目标函数的最大值为 _____
⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y y x Z +=214．已知二次函数，当依次取,,,,……,时，其图像在轴上所截1)12()1(2
++-+=x n x n n y n 123410x 得的线段的长度的总和为_____ _ _ ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15、（本小题满分13分）
已知函数f(x)=asinx+bcosx 的图象经过点。

(,0),(,1)63
π
π
（Ⅰ）求实数a,b 的值； （Ⅱ）若x ∈[0,]，求函数f(x)的最大值及此时x 的值。

2
π
16、（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱中，，点是的中点. 111ABC A B C -AC BC ⊥D AB 求证：（1）；
1AC BC ⊥（2）平面.
1//AC 1B CD
A 1
C 1
B 1
A
B
C
D
17、（本题满分13分）
已知复数在复平面上对应的点为．
i (,)=+∈R z x y x y M （Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作{}{}4,3,2,0,0,1,2=---=P Q P x Q 为，求复数为纯虚数的概率；
y z （Ⅱ）设，求点落在不等式组：所表示的平面区域内的概率
[][]0,3,0,4∈∈x y M 230
00+-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
x y x y
18、（本小题满分13分）
已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为8. ),()(2
3
R b a bx ax x x f ∈++=)2,1(P P （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间；
b a ,)(x f
19．（本题满分14分）
已知椭圆直线交椭圆于不同的两点
22
221(0)x y a b a b
+=>>:l y kx m =+，．
A B （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，且，求的值（点为坐标原点）；
1m =0OA OB ⋅=
k O
（Ⅲ）若坐标原点到直线，求面积的最大值． O l AOB ∆
20、（本题满分14分）
对于函数，若存在实数，使成立，则称为 的2
()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠0x 00()f x x =0x ()f x 不动点．
（1）当时，求的不动点；
2,2a b ==-()f x （2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
b ()f x a （3）在(2)的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线
()y f x =,A B ()f x 是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．
2121
y kx a =+
+AB b
北大附属实验学校2009-2010学年高三期中考试答案
一、 D BCBBCAA
二、9、10、-2 11、9 12、 13、9 14、
23-=x y 11
10三、
又平面，平面，
1AC ⊄1B CD OD ⊂1B CD
∴平面
1//AC 1B CD 17、
∴
，
8)1(' f
又，
b ax x x f ++=23)('2
∴. ② 52=+b a 解由①②组成的方程组，可得． 3,4-==b a （Ⅱ）由（Ⅰ）得，
383)('2
-+=x x x f 令，可得； 0)('>x f 3
13>-<x x 或令，可得． 0)('<x f 3
1
3<
<-x ∴函数的单调增区间为，减区间为.
)(x f ),31(),3,(+∞--∞3
1
,3(-19、
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意解得.
(0)c c >⎪⎩
⎪⎨⎧==
,3,36
a a c 2=c 由，得.
2
2
2
c b a +=1b =所求椭圆方程为
∴22
1.3
x y +=
（Ⅱ）.
1,m = 1y kx ∴=+ 设 ，其坐标满足方程消去并整理得
1122(,),(,)A x y B x y 22
1,
3 1.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
y ，
22
(13)60k x kx ++= 则，解得.
()()2
2
641300k k ∆=-+⨯>0k ≠ 故.
12122
6,013k
x x x x k -+=
⋅=+ ，
0OA OB ⋅=
2
12121212
1212(1)(1)(1)()1x x y y x x kx kx k x x k x x ∴+=++⋅+=++++
2
2
2
2613(1)0101331
k k k k k k --=+⨯+⋅+==++.
k ∴=（Ⅲ）
可得．
=
223
(1)4m k =+将代入椭圆方程，整理得.
y kx m =+2
2
2
(13)6330k x kmx m +++-=
()()()2
226413330()km k m ∆=-+->* 2121222
633
,.1313km m x x x x k k --∴+=⋅=++ 2222
2
2
2
21222
3612(1)
(1)()(1)[](31)31
k m m AB k x x k k k -∴=+-=+-++ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ . 2422
2121212
3334(0)196123696
k k k k k k
=+=+≤+=≠++⨯+++当且仅当，即时等号成立．
2
2
1
9k k =
k =经检验，满足式．
k =()*当时，.
0=k 3=
AB 综上可知.
max 2AB =当最大时，的面积取最大值.
∴AB AOB ∆23
23221=⨯⨯=S 20、解： ， 2
()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当时，．
2,2a b ==-2
()24f x x x =--
设为其不动点，即，则． x 224x x x --=22240x x --=所以，即的不动点是.
121,2x x =-=()f x 1,2-（2）由得.
()f x x =220ax bx b ++-=由已知，此方程有相异二实根，所以， 2
4(2)0a b a b ∆=-->即对任意恒成立． 2480b ab a -+>b R ∈，．
20,16320b a a ∴∆<∴-<02a ∴<<（3）设，直线是线段的垂直平分线，．
1122(,),(,)A x y B x y 21
21
y kx a =++AB 1k ∴=-记的中点，由(2)知． AB 00(,)M x x 02b x a =- 212()20,b f x x ax bx b x x a
=⇔++-=∴+=- 在上， M 2121y kx a =++212221
b b
a a a ∴-=
++化简得：时，等号成立． 21
1
212a
b
a a a =-=-≥
=++
a =即
b b ⎡⎫≥∴∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭。