陕西省西安市长安区高二数学上学期期末考试 理 北师大

长安一中2012---2013学年度第一学期期末考试
高 二 数 学理 试 题
注意事项：
1. 本试卷分选择题、填空题和解答题三部分，总分150分，考试时间100分钟。

2. 答题前，考生务必在答题卡上填涂姓名、考号。

3. 选择题的答案，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，不能答在试题卷上。

非选择题必须按照题号顺序答在答题卡上各题目的答题区域内作答。

在草稿纸、本试题卷上答题无效。

4.试题中标注“文科做”的试题由文科生做，试题中标注“理科做”的试题由理科生做，试题中未标注的试题为文科生和理科生都要做的试题。

5. 考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．集合{}A 1,0,1=-，{}B |cos ,A y y x x ==∈，则A B =I （ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 2.设x 是实数，则“x>0”是“|x|>0”的 （ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知,,a b c 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A.a c b c a ⇒⊥⊥,//b B.a //α,b //αa ⇒//b C.α⇒γ⊥βγ⊥α,//β D.α//γ,β//α⇒γ//β 4．幂函数)(x f y =的图象经过点)2(
),2
1,4(f 则 （ ）
5.执行如图的序框图，如果输入5p =，则输出的=S （ ） A. 1516 B. 3116 C.3132 D. 63
32
6.设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b ,
0(=+⋅b)a a , 则a 与b 的夹角是（ ）
A. ο30
B. ο60
C.ο90
D. ο120
（第5题图）
7.一个多面体的三视图分别是正方形、 等腰三角形和矩形， 其尺寸如图， 则该多面体的体积为 A.348cm B.324cm C.332cm D.328cm
8．已知数列{}n a 为等差数列且17134a a a π++=，则()212tan a a +的值为（ ）
A ．3
B ．3±
C ．3
3-
D ．—3
9．给出下列四个命题：
①若集合B A ,满足A B A =⋂则B A ⊆；
②给定命题q p ,，若”或“q p 为真，则”且“q p 为真；
③设R m b a ∈,,，若b a <，则22bm am <；
④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a ． 其中正确命题的个数是（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
10．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数
()x g x a b =+的图象是（ ）
11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为
A
B
D ．2 12. 若圆C ：22
2430x y x y ++-+=关于直线240ax by +-=对称，则22a b +的最小
值是（ ）
D. 1
13．函数
y=
不可能成为该等比数列的公比的数是
A．
3
4
B
C
D
14．（理科做）若
1212
(,),(,)
a a a
b b b
==
r r
，定义一种向量积：
1122
(,)
a b a b a b
⊗=
r r
，已知
1
(2,),(,0)
23
m n
π
==
u r r
，且点(,)
P x y在函数sin
y x
=的图象上运动，点Q在函数()
y f x
=的图象上运动，且点P和点Q满足：OQ m OP n
=⊗+
u u u r u r u u u r r
（其中O为坐标原点），则函数()
y f x
=的最大值A及最小正周期T分别为
A．2,πB．2,4πC．
1
,
2
πD．
1
,4
2
π
二．填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）
15．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______.
16．设不等式组
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≥
≥
+
-
2
,
,0
5
x
a
y
y
x
所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 . 17．设奇函数()
f x在（0，+∞）上为增函数，且(1)0
f=，则不等式
()()
f x f x
x
--
<的解集是 .
18．函数log(3)1
a
y x
=+-(01)
a a
>≠
且
，的图象恒过定点A，若点A在直线10
mx ny
++=上，其中0
mn>，则
12
m n
+的最小值为．
●有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}
3,5，第三组含三个数{}
7,9,11，第四组含四个数{}
13,15,17,19，…，现观察
猜想每组内各数之和为
n
a与其组的编号数n的关系为 .
●在ABC
∆中,a b c
、、分别为内角A B C
、、所对的边，且ο
30
=
A．
现给出三个条件：①2
a=；②45
B=
︒；③c=．试从中选出两个可以确定ABC
∆
的条件，并以此为依据求ABC
∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是(用序号填写)；由此得到的ABC
∆的面积为．
三、解答题：(本大题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21. （本小题满分12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图像如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()8
y f x π
=+
的零点.
22．（理科做）（本小题12分）如图,在平行四边形PBCD 中，PD AB ⊥于
A ,6,32,4===BC A
B PA ，将PAB ∆沿AB 折起，使B
C PA ⊥．
（１）求证：⊥BD 平面PAC ； （２）求平面APC 和平面DPC 夹角的余弦值．
(第22题图)
23．（理科做）（本小题满分13分）
已知数列}{),,2(2,4
3
,41:}{*1121n n n n n b N n n a a a a a a 数列满足∈≥+===
-+满足：.}{),,2(3,0*11n n n n S n b N n n n b b b 项和为的前数列∈≥=-<- （1）求证：数列}{n n a b -为等比数列； （2）求证：数列}{n b 为递增数列；
P
A
B
C
D
P
A
B
C D
（3）若当且仅当1,,3b S n n 求取得最小值时=的取值范围。

24．（本小题满分13分） 已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22
22
1(0)x y a b a b +=>>有一个公共点A （3，1）
，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
（1）求m 的值与椭圆E 的方程；
（2）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅u u u r u u u r
的取值范围．
长安一中2012---2013学年度第一学期期末考试 高二数学试题答案及评分标准
选择题：（共14小题，每小题5分，共70) BADCC, DADBA, AADD.
填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）
15. 31
16．[)57, 17．
)1,0()0,1(⋃- 18．8
19．3n a n = 20.
1+
；
解答题：(本大题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 21．解：（Ⅰ）由图知2A =, 5288T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
, ∴2ω= ……………3分 ∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4
sin(
2)8
(=+=ϕπ
πf
∴sin(
ϕπ
+4
)=1, ∴
ϕπ
+4
=
ππ
k 22
+, =
4
π+2k π,(k Z) ∵2
0π
ϕ<
<,∴ =
4
π
∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()224sin f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ∴2222082()sin cos f x x x π
π⎛
⎫+
=+== ⎪⎝⎭ ……………9分 22,x k π
π=+
即()24
k x k Z ππ
=
+∈
∴函数8()y f x π=+的零点为()24k x k Z ππ
=+∈ ……………12分
22．(文科）(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）2
()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，
，解得
032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
． …… 3分
2()33f x ax ax '∴=-，133324
22a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+． …… 6分
（Ⅱ）令()f x x ≤，即32
230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，
1
02x ∴≤≤
或1x ≥． ……9分 又()f x x ≤在区间
[]0m ，上恒成立，
1
02m ∴<≤
…… 12分
22．(理科）解：ABCD ,,,平面⊥∴=⋂⊥⊥PA B BC AB BC PA PA AB Θ, 如图建系，则)4,0,0(),0,2,0(),0,6,32(),0,0,32(),0,0,0(P D C B A …… 3分
A AC PA AC BD AP BD =⋂=⋅=⋅,0,0Θ, PAC BD 平面⊥∴． …… 6分
（2）设平面PCD 的法向量为)1,,(y x n =ρ
，
则0,0=⋅=⋅n PD n CD ρ
ρ，⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=⇒⎩⎨⎧=-=--2
3340420432y x y y x …… 9分
)1,2,32(-=∴n ρ
．设平面PAC 的法向量为)0,2,32(-==BD m ρ 31
933,cos =⋅⋅=n m n m n m ρρρρρ
ρ，
所以平面APC 和平面DPC 夹角的余弦值为
31
93
3． …… 12分 23．(文科）解：(I)由已知得34231
22
(),a a a a q -=-=
故()1q ≠ 111
22
n n a a ==因，所以 ……………6分
(II)当1n =时111a b =，12b = 因为112221n n a b a b a b n +++=-L
当n ≥2时112211211()n n a b a b a b n --+++=--L 两式相减得2n n a b =，得12n n b +=.()()1
2122n n n b n +⎧=⎪
=⎨
≥⎪⎩
……………10分 226n n S +=-()
n N *∈ ……………13分
23．(理科）解：（I ）),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=-+Θ
}{n a ∴是等差数列
又43,4121==a a Θ 41
221)1(41-=⋅-+=∴n n a n ……………… 2分
),2(3
31*1N n n n
b b n n ∈≥+=-Θ
)4
1
2(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n
)(3
1n n a b -= …………………… 5分
又041
111≠-=-b a b Θ
41}{1--∴b a b n n 是为首项，以3
1
为公比的等比数列 ……………… 6分
（II ）4
1
2,)31()41(11-=⋅-=--n a b a b n n n n Θ
4
1
2)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n
当211)3
1
)(41(3221,2----=-≥n n n b b b n 时
又01<b 01>-∴-n n b b
}{n b ∴是单调递增数列 ……………… 9分
（III ）3=n 当且仅当Θ时,取最小值n S
⎩⎨⎧><∴00
4
3b b ………………………………10分
即,0
)31)(41(4
70)31)(41(453121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+b b ………………………………12分
)11,47(1--∈∴b …………………… 13分
24.解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，
得2(3)15m -+=．
∵m ＜3，∴m ＝1． ……………… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF1的斜率为k ， 则PF1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=．
∵直线PF1与圆C
=
解得111
,22
k k ==或． ……………… 4分 当k ＝112时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为36
11，不合题意，舍去． 当k ＝
1
2
时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．
2a ＝AF1＋AF2＝=a =a2＝18，b2＝2． 椭圆E 的方程为：221182
x y +=． ……………… 7分
（Ⅱ）(1,3)AP =u u u r ，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--u u u r
，
(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r
． ……………… 9分 ∵221182
x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．
则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．
3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r
的取值范围是[－12，0]． ……………… 13分。