2024-2025学年天津市红桥区高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0≤x ≤3}，则A ∩B =( )
A. {x|−1<x ≤3}
B. {x|0≤x <2}
C. {x|0≤x ≤3}
D. {x|−1<x <2}
2.若a =40.5，b =log 40.5，c =0.54，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a >b >c
B. a >c >b
C. b >a >c
D. b >c >a
3.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )
A. 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β
B. 若l//α，α//β，则l ⊂β
C. 若l ⊥α，α//β，则l ⊥β
D. 若l//α，α⊥β，则l ⊥β
4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A. 12
B. 1
C. 2
D. 4
5.“lga >lgb ”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件6.已知函数f(x)=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于x =π3对称，则φ=( )
A. −π6
B. π6
C. −π3
D. π37.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC =BC =1，则三棱锥O−ABC 的体积为 ( )A. 2
12 B. 3
12 C. 24 D. 348.已知a >b >0，则4a +42a +b +12a−b 的最小值为( )A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 4 2
9.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y−4=0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A. 45π
B. 34π
C. (6−2 5)π
D. 5
4π二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知i 是虚数单位，则1−i
1+2i = ______．
11.(3
x3−x3
3
)6的展开式中常数项为______．
12.函数f(x)=log1
2
(2x−1)的定义域是______．
13.若直线l：kx+y=0截圆(x−2)2+y2=4所得的弦长为2，则k的值为．
14.已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|=23，E为BC边上动点，则EA⋅ED的最小值为______．
15.已知函数f(x)={12−|x−32|(x≤2)
e x−2(−x2+8x−12)(x>2)
，若在区间(1,+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，
x3，…，x n，使得f(x1)
x1=f(x2)
x2
=⋯=f(x n)
x n
成立，则n的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，已知sinA：sinB：sinC=2：2：5，a=4．
(1)求c的值；
(2)求cosB的值；
(3)求sin(2B−π
3
)的值．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2−c2=2ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+3，求c．
18.(本小题15分)
如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD为梯形，AB//CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1，E是B1C1的中点，F是DD1的中点．
(1)求证：D1E//平面CB1F；
(2)求平面CB 1F 与平面BB 1CC 1夹角的余弦值；
(3)求点B 到平面CB 1F 的距离．
19.(本小题15分)
如图，在四棱锥E−ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，EA ⊥ED ，EA =ED ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2，AC =CD = 5．
(1)求证：AB ⊥ED ；
(2)求二面角E−CD−A 的余弦值；
(3)求直线EA 与平面ECD 所成角的正弦值；
20.(本小题16分)
已知函数f(x)=sin 2x−sin 2(x−π6)，x ∈R ．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值与最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.A
6.A
7.A
8.C
9.A
10.−15−35i
11.−20
12.(0,1]
13.± 3
14.234
15.4
16.解：(1)由已知及正弦定理得：
a ：c =sinA ：sinC =2： 5，
又a =4，解得c =2 5；(2)由已知，得sinA =sinB ，则b =a =4，
则cosB =a 2+c 2−b 22ac =16+20−1616 5= 54
；(3)由(2)及sin 2B +cos 2B =1，得sinB =
114，所以sin2B =2sinBcosB =
558，cos2B =1−2sin 2B =−38，则sin (2B−π3)=sin2Bcos π3−cos2Bsin π3= 55+3 316
． 17.解：(1)因为a 2+b 2−c 2= 2ab ，所以由余弦定理得cos C =a
2+b 2−c 22ab = 2ab 2ab = 22
，而C ∈(0,π)，因此C =π4．又因为sin C = 2cos B ，所以sin π4= 2cos B ，即
22
= 2cos B ，解得cos B =12，
而B ∈(0,π)，因此B =π3．
(2)由(1)知：B =π3，C =π4，因此A =π−B−C =π−π3−π4=5π12
．因为△ABC 的面积为3+ 3，所以12ab sin C =3+ 3，即12ab × 22
=3+ 3，解得ab =2 2(3+ 3)．又因为由正弦定理得a =c sin A sin C ，b =c sin B sin C ，所以ab =
c 2sin A sin B sin 2C ，即2
2(3+ 3)=c 2sin 5π12sin π3sin 2π4= 3c 2sin (π6+π4)，即2 2(3+ 3)= 3c 2( 6+ 2
4)，解得c =2 2(c =−2 2舍去)．
18.解：(1)证明：在四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，
以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，B 1(2,0,2)，E(32,12,2)，F(0,1,1)，C(1,1,0)，C 1(1,1,2)，D(0,1,0)，D 1(0,1,2)，则CB 1=(1,−1,2)，CF =(−1,0,1)，BB 1=(0,0,2)，
设平面CB 1F 的法向量m =(x,y,z)，D 1E =(32,−12
,0)，则{m ⊥CB 1m ⊥CF ，则{m ⋅CB 1=x−y +2z =0m ⋅CF =−x +z =0，不妨令x =1，可得m =(1,3,1)，因为D 1E ⋅m =1×32−12×3+0=0，所以D 1E ⊥m ，
且D 1E⊄平面CB 1F ，即D 1E//平面CB 1F .
(2)设平面BB 1CC 1的法向量n =(x 1,y 1,z 1)，
则{n ⊥C B 1n ⊥BB 1，则{
n ⋅CB 1=x 1−y 1+2z 1=0n ⋅BB 1=2z 1=0，不妨令x 1=1，可得n =(1,1,0)，
于是cos <m ,n m n
|m |⋅|n |4 11⋅ 2=2 2211
，
所以平面CB 1F 与平面BB 1CC 1夹角的余弦值为2 2211
．(3)由BB 1=(0,0,2)，平面CB 1F 的一个法向量m =(1,3,1)，
则点B 到平面CB 1F 的距离为d |m BB 1|
|m |2 11=2 11
11． 19.解：(1)证明：因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD ，
所以AB ⊥平面EAD ，ED ⊂平面EAD ，
所以AB ⊥ED ；
(2)取AD 的中点O ，因为EA =ED ，所以AD ⊥OE ，
因为面EAD ⊥面ABCD ，面EAD ∩面ABCD =AD ，OE ⊂面EAD ，
所以OE ⊥平面ABCD ，又AC =CD = 5，故OC ⊥AD ，
以OC ，OA ，OE 的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,1,0)，C(2,0,0)，D(0,−1,0)，E(0,0,1)，所以EC =(2,0,−1)，CD =(−2,−1,0)，设平面EDC 的法向量为n =(x,y,z)，
则{n ⊥EC n ⊥CD ，即{n ⋅EC =0n ⋅CD =0，得{
2x−z =0−2x−y =0，令x =1，得n =(1,−2,2)，
因为平面ACD 的一个法向量为m =(0,0,1)，则cos 〈m ,n 〉n m
|n |⋅|m |23
，因为二面角E−CD−A 为锐角，
所以二面角E−CD−A 的余弦值为23
；(3)因为EA =(0,1,−1)，且平面ECD 的法向量为n =(1,−2,2)，
因为cos 〈EA ,n 〉=|EA n
|EA ||n ||=2 2
3，
所以直线EA 与平面ECD 所成角的正弦值为2
23． 20.解：(1)由题意可得f(x)=sin 2x−(34sin 2x− 32sinxcosx +1
4cos 2x) =14sin 2x + 32sinxcosx−14cos 2x =−14(cos 2x−sin 2x)+ 34
(2sinxcosx) =−14cos2x +
34sin2x =12sin (2x−π6)，
所以f(x)的最小正周期为π；(2)令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)，令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调减区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z)；
(3)因为x ∈[−π3,π4]，
则t =2x−π6∈[−5π6,π3]，
且y =12sint 在区间[−5π6,−π2]上单调递减，[−π2,π3]上单调递增，
而12sin (−π2)=−12<12sin (−5π6)=−14<12sin π3= 34，所以f(x)的最大值为 34
，最小值为−12．。