八年级下册数学-平行四边形中动点路径问题、最值问题与存在性问题

第14讲 平行四边形中动点路径问题、最值问题与存在性问题
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1．最值问题解题依据有：三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边；点到直线上各点的连线中，垂线段最短；函数式在特定自变量取值范围内存在最值；
2．动态点的问题探究时，常先分析起点、终点、中间某一个特殊点，再由特殊到一般的方法求解；
3．存在性问题，根据已知条件，结合图形，得出相关结论，列方程求解．
【板块一】动点最值问题
方法技巧：一动点到两定点的距离和或差，可以作对称点，运用三角形的三边关系，化折为直求最值．
题型一 做对称点，运用三角形的三边关系求最值
【例1】如图正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为（ ）
A
B ．
C ．
D
【例2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝3BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是 ．
B
A E
方法技巧 遇直角三角形求最值，找直角三角形斜边中点，连斜边中线，该中线长等于斜边一半，为定值． 题型二 连斜边中线求最值
【例3】如图，∠ACB ＝90°，BC ＝8，AC ＝6，点P 为AC 上一动点，连接BP ，CM ⊥BP 于点M ，求AM 的最小值．
C
方法技巧
通过构造全等三角形，将动线段转化到特定位置，这一位置上能求出最值．
题型三 构造全等求最值
【例4】如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，求AF 的最小值．
A
F
方法技巧
求四边形周长的最值，或者求三条线段和的最值，两动点间距离一定，另两点为定点，将两动点进行平移，再做一定点的对称点，将问题转化成两线段和问题，然后求解．
题型四 平移线段求最值
【例5】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 在CD 上，DE ＝1，点M ，点N 在BC 上，且MN ＝2，求四边形AMNE 的周长的最小值．
B E
针对练习1
1．如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．
B
D P
2．如图，等边△ABC 的边长为6，P 为BC 上的一动点，点P 关于AC ，AB 的对称点分别为点N ，M ，连接MN ，求MN 的最小值．
A
N
M
P
3．如图，正方形ABCD 中，点E 为边BC 上的一动点，作AF ⊥DE 分别交DE ，DC 与点P ，F ，连接PC ．
（1）若点E 为BC 的中点，求证：F 点为CD 的中点；
（2）若点E 为BC 的中点，PE ＝6，PC ＝
，求PF 的长；
（3）若正方形边长为4，直接写出PC 的最小值为 ．
B A
F
4．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E 为直线BC 上一点．
（1）如图1，当E 在线段BC 上，且DE ＝AD 时，求BE 的长；
（2）如图2，点E 为BC 边延长线上一点，且BD ＝BE 时，连接DE ，M 为DE 的中点，连接AM ，CM ，求证：AM ⊥CM ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P ，Q 为AD 边上的两个动点，且PQ ＝2.5，连接PB ，MQ ，则四边形PBMQ 周长的最小值为 ．
A D A D A E C
C Q P
（图1） （图2） （图3）
【板块二】动点路径问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点C （8，0），P 为线段OC 上一动点，以OP ，PC 为边在x 轴同侧作正方形OPEF 和正方形PCAD ，若线段OA 的中点为
M ，求当点P 从点O 运动到点C 时点M 运动的路径长．
x
【例2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x ，y 轴上，A （0，6），点Q 为对角线BO 上一动点，D 为边OA 上一点，DQ ⊥CQ ，点Q 从点B 出发，沿BO 方向移动，若移动的路径长为3，直接写出CD 的中点M 移动的路径长为 ．
x
针对练习2
1．如图，A （0，4），B （2，0），C 为AB 的中点，动点P 沿A →O 从点A 运动到点O ，CP ＝CD ，且∠PCD ＝90°（点P ，C ，D 逆时针排列），则点D 的运动路径长为 ．
x
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．
（1）如图1，当点E 是AB 的中点，点F 时AD 上的一点，且AF ＝14
AD ，求证：CE 平分∠BCF ； （2）如图2，若点Q 时AD 的中点，连接EQ 并延长交射线CD 于点G ，过Q 作EG 的垂线交射线BC 于点P ，连接PE ，PG ．
①设AE ＝x ，△PEG 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②若点M 时PQ 的中点，直接写出点M 的运动的路线的长．
C
（图1） （图2）
【板块三】存在性问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12）
，(,)B a
c ，(,0)C b ，并且a ，b 满足16b =．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；
动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒)
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，PQC
∆是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
x
【例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若3
=，P从点A出发．以1/
cm秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，AD cm
=，4
AB cm
问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．。