湖南省衡阳八中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（下）第一次月考数学试卷
（文科）
一、本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．
1．已知命题p：对任意x∈R，总有3x≤0；命题q：“x＞2”是“x＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
2．设F1，F2为双曲线=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足
=0，则△F1PF2的面积是（）
A．1 B．C．D．2
3．设f（x）=3x2e x，则f′（2）=（）
A．12e B．12e2 C．24e D．24e2
4．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）∪（5，+∞）
5．已知i为虚数单位，则=（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
6．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：
p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；
p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；
p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，
那么，这三个命题中所有的真命题是（）
A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1
7．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是
=﹣0.7x+a，则a等于（）
A．5.1 B．5.25 C．5.3 D．5.4
8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
9．已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，
xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=（lg3）
f（lg3），c=（log2）f（log2），则（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10．函数的图象大致是（）
A． B．C．
D．
11．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集是（）
A．（，+∞） B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0）∪（0，）D．（0，）12．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四
边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若==
==k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，
H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）
A．B．C．D．
二.填空题
13．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l 被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．
14．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2
（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是．
15．下列说法正确的有（只填序号）
①函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为0或1；
②设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若当x1＜x2，x1+x2=0时，总有f（x1）＞f（x2），则；
③时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；
④与函数y=f（x）﹣2的图象关于点（1，﹣1）对称的图象对应的函数为y=﹣f （2﹣x）．
16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据
这一发现，求：函数对称中心为．
三.解答题（共6题，共70分）
17．（10分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等
式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．18．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．
19．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y 轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N 两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，e a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．
21．（12分）已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）
是C1上一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
22．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g （x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
2016-2017学年湖南省衡阳八中高二（下）第一次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．
1．已知命题p：对任意x∈R，总有3x≤0；命题q：“x＞2”是“x＞4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
【考点】复合命题的真假．
【分析】先判断命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．
【解答】解：对于命题p：对任意x∈R，总有3x＞0，因此命题p是假命题；命题q：“x＞2”是“x＞4”的必要不充分条件，因此命题q是假命题．
因此命题￢p与￢q都是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢p）∧（￢q）．
故选：B．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．设F1，F2为双曲线=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足
=0，则△F1PF2的面积是（）
A．1 B．C．D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积．
【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）
双曲线=1的a=2，b=1，c=，
根据双曲线性质可知x﹣y=2a=4，
∵=0，
∴∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=4c2=20，
∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4，
∴xy=2，
∴△F1PF2的面积为xy=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．
3．设f（x）=3x2e x，则f′（2）=（）
A．12e B．12e2 C．24e D．24e2
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数即可得到结论．
【解答】解：f′（x）=6xe x+3x2e x，
∴f′（2）=12e2+12e2=24e2．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
4．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）∪（5，+∞）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】直线方程与椭圆方程联立化为：（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m=0．根据直线与椭圆恒有两个公共点，可得△＞0，m＞0，m≠5．解出即可得出．
【解答】解：联立，化为：（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m=0．
∵直线与椭圆恒有两个公共点，∴△=100k2﹣4（m+5k2）（5﹣5m）＞0，m＞0，m≠5．
化为：m2﹣（1﹣5k2）m＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1﹣5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，
∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交与判别式的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．已知i为虚数单位，则=（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的四则运算即可得到结论．
【解答】解：=，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算，比较基础．
6．已知函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，给下列三个命题：
p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16；
p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集；
p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，
那么，这三个命题中所有的真命题是（）
A．p1，p2，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】给出f（x）f（﹣x）的表达式，结合基本不等式，可判断p1，在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象，数形结合，可判断p2，p3
【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2，
∴f（x）f（﹣x）=（2x﹣5）（2﹣x﹣5）=26﹣5（2x+2﹣x）≤26﹣10=16，故p1：若x∈R，则f（x）f（﹣x）的最大值为16，为真命题；
在同一坐标系中作出函数f（x）=2x﹣5，g（x）=4x﹣x2的图象如下图所示：
由图可得：p2：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|﹣1＜x＜3}的真子集，为真命题；
p3：当a＞0时，若∀x1，x2∈[a，a+2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，则a≥3，为真命题；
故选：A
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，数形结合思想，基本不等式，难度中档．
7．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是
=﹣0.7x+a，则a等于（）
A．5.1 B．5.25 C．5.3 D．5.4
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，
故a=5.25．
故选B，
【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．
8．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得
，由此能求出双曲线的离心率的范围．
【解答】解：不妨令双曲线的方程为，
由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°，即，
∴，
∵b2=c2﹣a2，∴，∴，
∴，
∴双曲线的离心率的范围是．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
9．已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，
xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=（lg3）
f（lg3），c=（log2）f（log2），则（）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【考点】抽象函数及其应用；对数值大小的比较；导数的几何意义．
【分析】设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上
是增函数，由此比较、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．
【解答】解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），∵当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）
∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf （x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）
∴F（2）＞F（）＞F（lg3）
∵=﹣2，从而F（）=F（﹣2）=F（2）
∴F（）＞F（）＞F（lg3）
即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案为：A
【点评】本题给出抽象函数，比较几个函数值的大小．着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识，属于中档题．
10．函数的图象大致是（）
A． B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】先求出函数的定义域，再利用函数值，即可判断．
【解答】解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，
∵函数，
当x=2时，f（x）＜0，
当x=﹣2时，f（x）＞0，
当x=时，f（x）＞0，
当x=﹣时，f（x）＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象的识别，掌握函数的定义域，函数的值，属于基础题．
11．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集是（）
A．（，+∞） B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0）∪（0，）D．（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
【分析】f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（﹣x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f （x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x2f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在（﹣∞，0）递减；
由不等式g （x ）＜g （1﹣x ），
∴或，
解得：0＜x ＜，或x ＜0
∴不等式g （x ）＜g （1﹣x ）的解集为：{x |0＜x ＜或x ＜0}． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四
边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为h 1，h2，h 3，h 4，若=
=
=
=k ，则h 1+2h 2+3h 3+4h 4=
类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每个面的面
积分别记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，
H 3，H 4，若=
=
=
=K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】类比推理．
【分析】由
=
=
=
=k 可得a i =ik ，P 是该四边形内任意一点，将P 与四边
形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．
【解答】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh ，
得： S 1H 1+S 2H 2+S 3H 3+S 4H 4=V 即S 1H 1+2S 2H 2+3S 3H 3+4S 4H 4=3V ，
∴H 1+2H 2+3H 3+4H 4=，
故选B ．
【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．
二.填空题
13．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l
被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出
根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．
【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），
则直线l的方程为y=x﹣．
联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．
∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．
∴直线l被抛物线解得弦长为=4．
∴=4，解得p=1．
∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的性质，弦长公式，属于中档题．
14．已知点P是椭圆（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F1（﹣c，0）、F2
（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（0，c）．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示．M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，可得点M
是底边F1N的中点．又点O是线段F1F2的中点，|OM|=．|PF1|=|PN|，可得∠F2NM＞∠F2F1N，可得|F1F2|＞|F2N|，即可得出．
【解答】解：如图所示．
∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，
∴点M是底边F1N的中点，
又点O是线段F1F2的中点，
∴|OM|=，
∵|PF1|=|PN|，
∴∠F2NM＞∠F2F1N，
∴|F1F2|＞|F2N|，
∴0＜|OM|=c．
∴则|OM|的取值范围是（0，c）．
故答案为：（0，c）．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．下列说法正确的有①②④（只填序号）
①函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为0或1；
②设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若当x1＜x2，x1+x2=0时，总有f（x1）＞f（x2），则；
③时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；
④与函数y=f（x）﹣2的图象关于点（1，﹣1）对称的图象对应的函数为y=﹣f （2﹣x）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】此题考查了函数的定义、对称性、值域等问题、一元二次函数的实根分布问题
【解答】解：①考查了函数的定义，函数必须是一对一或者一对多的，所以用直线x=1截f（x）的交点个数为0或1，故①对
②一元二次函数的实根分布问题，只需要考查对称轴x=，得到，故②对
③函数y=lg（x2+x+a）的值域为R应满足1﹣4a≥0，即，故③错
④不妨设g（x）=f（x）﹣2，则由对称性可知，g（x）与﹣2﹣g（2﹣x）关于点（1，﹣1）对称，即﹣2﹣g（2﹣x）=﹣f（2﹣x）．故④对
故答案为：①②④
【点评】此题主要考察了必修一函数方面的函数的定义、对称性、值域等问题、一元二次函数的实根分布问题，希望学生对于函数的理解加深．
16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据
这一发现，求：函数对称中心为（，1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1．
由f″（x）=0，即2x﹣1=0．
∴x=，
又f（）=1，
∴函数对称中心为（，1）
故答案为：（，1）
【点评】本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．
三.解答题（共6题，共70分）
17．（10分）（2017春•雁峰区校级月考）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R 上单调递增；命题q：不等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p 或q为真，求a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=a x在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．
【解答】解：∵y=a x在R上单调递增，
∴a＞1；
又a＞0，不等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，
∴△＜0，即a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，
∴q：0＜a＜4．
而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．
①若p真，q假，则a≥4；
②若p假，q真，则0＜a≤1．
所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．
【点评】本题通过逻辑关系来考查了函数单调性和不等式恒成立问题，这样考查使题目变得丰富多彩，考查面比较广．
18．（12分）（2016•辽宁三模）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样
本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，（2分）
，…（4分）
x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（6分）
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，
抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．（8分）
其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，（10分）
∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．（12分）【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．
19．（12分）（2016•海淀区一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N 两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，
又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，
即有n2=1﹣，
由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），
由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，
可得s=1+，
由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，
可得s=﹣1．
假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．
可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．
即有[1+][﹣1]=﹣4，
化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，
解得m=0或8，
由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2017春•雁峰区校级月考）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，e a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）先求函数的导函数f'（x），然后求出fˊ（1）即为切线的斜率，根据且点（1，f（1））与斜率可求出切线方程；
（2）设g（a）=e a﹣a（a≥0），然后利用导数研究函数的单调性可证得e a＞a （a≥0），求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数f（x）在区间（1，e a）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）的零点情况．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x2﹣3lnx，
∴f'（x）=2x﹣（1分）
∴fˊ（1）=﹣1
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）．
即x+y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣3分
（2）①下面先证明：e a ＞a （a ≥0）．
设g （a ）=e a ﹣a （a ≥0），则g′（a ）=e a ﹣1≥e 0﹣1=0（a ≥0），且仅当g′（a ）=0⇔a=0，
所以g （a ）在[0，+∞）上是增函数，故g （a ）≥g （0）=1＞0．
所以e a ﹣a ＞0，即e a ＞a （a ≥0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ②因为f （x ）=x 2﹣a lnx ，
所以f′（x ）=2x ﹣=．
因为当0＜x ＜
时，fˊ（x ）＜0，当x ＞
时，1，fˊ（x ）＞0．
又＜a ＜e a ＜e 2a （a ≥0，a ＜2a ）⇒＜e a ，
所以f （x ）在（0，]上是减函数，在[，+∞）是增函数．
所以f （x ）min =f （
）=
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分
（3）下面讨论函数f （x ）的零点情况．
①当＞0，即0＜a ＜2e 时，函数f （x ）在（1，e a ）上无零点；
②当
=0，即a=2e 时，
=
，则1＜
＜e a
而f （1）=1＞0，f （
）=0，f （e a ）＞0，
∴f （x ）在（1，e a ）上有一个零点；
③当
＜0，即a ＞2e 时，e a ＞
＞＞1，
由于f （1）=1＞0，f （
）=
＜0．
f （e a ）=e 2a ﹣a lne a =e 2a ﹣a 2=（e a ﹣a ）（e a +a ）＞0， 所以，函数f （x ）在（1，e a ）上有两个零点．（13分） 综上所述，f （x ）在（1，e a ）上有结论： 当0＜a ＜2e 时，函数f （x ）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•河北二模）已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心
率为，P（﹣2，1）是C1上一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．
【解答】解：（1）由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，
将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得+=1，
解得a=2，b=，c=，
即有椭圆方程为+=1；
（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），
直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，（t≠0）
代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），
即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，（t≠0）
x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，
设直线PD，PE的斜率为k1，k2，
则k1+k2=+=，
要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，
只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，
由y1=x1+t，y2=x2+t，
可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4
=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4
=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，
则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．
22．（12分）（2015•苏州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g （x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数
+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区
间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
（2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）
恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒
成立，分类讨论当或时两种情况求函数的
最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=
＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
【解答】解：（1）当时，，；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．。