2024七年级数学上册第4章几何图形初步4.4角课件新版沪科版

知4－练
感悟新知
(2)∠ COD 的度数是______ .
知4－练
解：因为∠ AOC= ∠ AOB=55°， 所以∠ BOC=110°. 又因为射线 OD 是 OB 的反向延长线， 所以∠ BOD=180° . 所以∠ COD=180°－110° =70° .
第四章 几何图形初步
4.4 角
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
角的定义 角的表示方法 角的度量与单位换算 方向角
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 角的定义
1. 角的定义
定义
“静”态 的观点
有公共端点 的两 条 射 线 所 组成的图形 叫作角
示例
知1－讲
组成元素 这个公共端 点叫作角的 顶点，这两 条射线叫作 角的边
知3－讲
1. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一等份是 1 度的角，记作 1 ° ； 把 1 ° 的角 60 等分，每一等份是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一等份是 1 秒的角，记作 1″ .
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2. 角的换算 1 周角 =360° ， 1 平角 =180° ， 1° =60′， 1′ =60″， 1′ = (610) ° ， 1″ = (610) ′， 1° =60′ =3 600″， 1″ = (610) ′ = (3 6100) ° .
所以 14 . 2 8 ° = 14 ° 16′ 48″．
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(2)将 45° 57′ 18″用度表示 .
知3－练
解：先把 1 8″化成分， 18″= (610) ′× 1 8 = 0 . 3′，
5 7′+ 0 . 3′= 5 7 . 3′.
低级单位化高级单位除以 60.
再把 5 7 . 3′化为度， 57 . 3′= (610) ° × 5 7 . 3 = 0 .
图例
角度 范围
0°<α <90°
α =90°
90°<α <180°
α =180° α =360°
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知2－讲
特别提醒 ◆用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，
靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围，即 从哪边到哪边 . ◆若无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都 是在 0°~180°之间.
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知1－练
例1 下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小
与所画边的长短有关；③角的两边是两条射线；④因 为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成 一个平角 . 其中，正确说法的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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解题秘方：紧扣角的定义中的关键词进行辨析 . 知1－练 解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则组成 的图形不是角； ②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关； ③是正确的； ④是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角 有顶点和两边，它与直线不同 . 故有 1 个说法正确 . 答案：A
(2) ∠ BAC， ∠ BAD， ∠ CAD. (3) ∠ BAC， ∠ B， ∠ C， ∠ 1， ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4.
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2-1.如图，解答下列问题： (1) 用不同的方法表示图中以D为顶点的角；
解：用三个大写字母表示图中以D为顶 点的角为∠ADB，用一个大写字母表示 图中以D为顶点的角为∠D，用数字表 示图中以D为顶点的角为∠1.
90°－79° 18′ 6″=89° 59′ 60″-79° 18′ 6″=10° 41′ 54″.
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(3) 18° 13′× 5； 解： 18° 13′× 5=90° 65′=91° 5′.
(4) 49° 28′ 52″÷ 4. 49° 28′ 52″÷ 4=12° +88′ 52″÷ 4 =12° 22′+52″÷ 4 =12° 22′ 13″.
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续表
定义
“动”态 的观点
角可以看作 是一 条 射 线 绕 着其 端 点 从 一 个位 置 旋 转 到 另一 个位置所形 成的图形
示例
知1－讲
组成元素
起始位置的 射线叫作角 的始边，终 止位置的射 线叫作角的 终边
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特别解读
知1－讲
1. 构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线 .
2. 角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的
30° ”和 “南偏西 60° ”就是方向角 .
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2. 方向角的描述 一般地， 方向角是以第一个方向(正南或 知4－讲 正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角 . 特殊方向角：
(1)东北方向表示以正北为角的始边， 向东转 45° 时的射线 的方向， 又叫北偏东 45° ；
(2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° .
知3－练
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4-1.计算：
知3－练
(1)[期末·黄山] 60.6°－42°53′21″ =_1_7_°__4_2_′_3_9_″_ ； (结果写成“度分秒” 的形式)
(2)[期末·六安]20°45′ +19°15′ =__4_0_°____ ；
(3) 13 × 64°12′ = _2_1_°__2_4_′； (4)12°20′× 4=__4_9_°__2_0_′_ ．
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解题秘方：“偏”的意思是“旋转”，如“北偏 东”是指“由正北向东旋转” .
知4－练
解：(1) 如图 4.4-5，射线 OA 表示北偏东 30° . (2) 如图 4.4-5，射线 OB 表示北偏西 65° . (3) 如图 4.4-5，射线 OC 表示南偏西 25如 图，某 轮 船 上午 8 时 在 A 处，测 得 灯塔 S 在北偏东 30° 的方向上，向东行驶至中午12时时， 该轮船在B处，测 得 灯 塔 S 在 北 偏 西60° 的方 向上，在图中画出灯塔 S 的位置． 解：如图，点S即为所求．
C.150°
D.180°
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知识点 2 角的表示方法
知2－讲
1. 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种
表示方法 示例 记法
方法解读
用三个大 写字母表 示
∠ AOB 字母 O 表示顶点，要写在中间， 或∠ A， B 表示角的两边上的点，用 BOA 该表示法可以表示任何一个角
用一个大 写字母表 示
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特别提醒
知4－讲
1. 在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东” .
2. 方向角大都为方向射线与正北或正南方向的夹角，
所以把南或北写在前，把东或西写在后，用两个
方向表示(如北偏东60°) .
3. 正东、正西、正南、正北以及东北、东南、西南、
西北方向不需要用角度来表示.
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知4－练
例5 [母题 教材 P156 习题 T2 ]在图4.4-5中画出表示下列 方向的射线： (1)北偏东 30°； (2)北偏西 65°； (3)南偏西 25° .
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知识点 4 方向角
知4－讲
1. 方向角 平面测量时， 通常以正北、 正南方向为基准，描
述物体运动的方向， 这种表示方向的角叫作方向角，在测
绘、 航海中经常用到 .
示例： 如图 4.4-4， 射线 OA 的
方 向 是 北 偏 东 30 ° ， 射 线 OB 的 方
向是南偏西 60 ° ， 这里的 “北偏东
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知4－练
例6 如图 4.4-6，射线 OA 的方向是北偏东 15°，射线 OB 的 方 向 是 北 偏 西 40 °，∠ AOB= ∠ AOC，射线 OD 是 OB 的 反向延长线． (1)射线 OC 的方向是 _北__偏__东___7_0_°； (2)∠ COD 的度数是__7_0_°__ .
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1-1.下列说法中正确的是( C )
知1－练
A. 平角就是一条直线
B. 小于平角的角是钝角
C. 平角的两条边在同一条直线上
D. 周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°
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知1－练
1-2.赵师傅透过放大5 倍的放大镜从正上方看30°的角， 则他看到的角等于( A )
A.30°
B.90°
两边张开的幅度有关.
3. 平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直
线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说
周角就是射线 .
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知1－讲
2. 平角与周角 当射线OA绕点O 旋转，第一次旋转到与 OA在同一条直线上时，形成的角叫作平角，如图4.4-1； 继续旋转回到初始位置OA时，所形成的角叫作周角，如 图4.4-2.
∠O
当以某一个点为顶点的角只有 一个时，可用表示这个顶点的 字母来表示该角
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续表 表示方法
示例
用数字表示
用希腊字母 表示
知2－讲
记法
方法解读
∠ 1 在靠近角的顶点处加上 弧线，并标上数字或希
腊字母 . 该表示法形象 ∠ α 直观
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知2－讲
2. 角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝 角、平角、周角 . 具体如下表： 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角
知2－练
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(2) 写出以 B 为 顶 点 的角与它的边； 解:以B为顶点的角为∠CBD(或∠B或 ∠2)，它的边是BD，BC.
(3) 画出DA′，使∠ ADA′成平角，写出它的边. 如图，作射线DA的反向延长线DA′，则 ∠ADA′成平角，∠ADA′的边是DA，DA′.
知2－练
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知识点 3 角的度量与单位换算
955°，
所以 4 5 ° 5 7′ 1 8″= 4 5 . 9 5 5 ° ．
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知3－练
方法点拨：将度用度、分、秒表示的方法： 先将 度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒； 将度、分、秒用度表示的方法： 先将秒化为分， 再将分化为度.
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3-1.下列各式成立的是( B ) A.62.5° =62° 50′ B.31° 12′ 36″ =31.21° C.106° 18′ 18″ =106.33° D.62° 24″ =62.24°
知3－练
(1)27° 26′ +53° 48′；
(2) 90° －79° 18′ 6″；
(3) 18° 13′× 5；
(4) 49° 28′ 52″÷ 4. 解题秘方：利用有理数的运算法则结合角的单位
的换算和进制进行计算 .
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(1)27° 26′ +53° 48′；
知3－练
解：27° 26′+53° 48′=80° 74′=81° 14′. (2) 90° －79° 18′ 6″；
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解题秘方：紧扣方向角的定义和角的计算解题.
(1)射线 OC 的方向是 __________； 解：因为射线 OB 的方向是北偏西 40° ， 射线 OA 的方向是北偏东 15° ， 所以∠ NOB=40°， ∠ NOA=15°. 所以∠ AOB=40°+15°=55°. 因为∠ AOB= ∠ AOC， 所以∠ AOC=55°. 所以∠ NOC=15°+55°=70°. 所以射线 OC 的方向是北偏东 70°.
知3－练
解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的 方法进行计算 .
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(1)将 14.28°用度、分、秒表示；
知3－练
解：先把 0 . 28 ° 化成分，高级单位化低级单位乘 60.
0 . 28 ° = 0 . 2 8 × 6 0′= 16 . 8′，
再把 0 . 8′化成秒， 0 . 8′= 0 . 8 × 60″= 4 8″，
知3－练
感悟新知
知3－练
3-2.若∠ A=20° 19′，∠ B=20° 15′ 30″，∠ C=20.25° ， 则( A ) A. ∠ A> ∠ B> ∠ C B. ∠ B> ∠ A> ∠ C C. ∠ A> ∠ C> ∠ B D. ∠ C> ∠ A> ∠ B
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例4 [母题 教材 P155 练习 T2]计算：
知3－讲
感悟新知
要点归纳
知3－讲
1. 角的度、分、秒是 60进制的，这和计量时间
的时、分、秒是一样的.
2. 把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低
级单位转化为高级单位要除以进率.
3. 使用三角尺可以画出30°， 45°， 60°，
90°等特殊角，使用量角器可以画出任何给
定度数的角.
感悟新知
例3 [母题 教材 P155 例 1 ] 计算：(1)将 14.28°用度、分、秒表示； (2)将 45° 57′ 18″用度表示 .
知2－练
例2 [母题 教材 P154 练习 T1]如图 4.4-3，写出符合以下 条件的角： (1) 能用一个大写字母表示的角； (2) 以 A 为顶点的角； (3) 小于平角的角 .
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解题秘方：先要明确角的表示方法的“适用范
知2－练
围”，再根据图形特点将每个角用合
适的方法表示出来 .
解： (1) ∠ B， ∠ C.