2021高考数学一轮复习《空间点、直线、平面之间的位置关系》
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＝EH且EF⊥EH， ∵EF∥AC，EH∥BD，且 EF＝12AC，EH＝12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
题组三 易错自纠
4.(2019·上海市金山中学月考)设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么
A.直线l不平行于直线m
B.直线l与直线m异面
√C.直线l与直线m没有公共点
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 ∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
思维升华
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 平面基本性质的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别 是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；
证明 如图，连结EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面.
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 ①分类： 共面直线 相交 直线
异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的 直线是异面直线. (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b， 把直线a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(4)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.
(×)
题组二 教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，
AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为
A.30°
B.45°
√C.60°
D.90°
解析 连结B1D1，D1C(图略)， 则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角. 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴△B1D1C为等边三角形， ∴∠D1B1C＝60°.
3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC， CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D__时，四边形EFGH为菱形；
解析 ∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件_A__C_＝__B_D__且__A_C_⊥__B_D__时，四边形EFGH为正方形.
②范围： 0，π2 . ③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角相等. 3.直线与平面的位置关系有 直线在平面内 、 直线与平面相交 、__直__线__与__ 平面平行 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况.
概念方法微思考
1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内 的两条直线可能平行或相交. 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？ 提示 不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.
SI WEI SHENG HUA
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这 个平面内.②证两平面重合. (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条 直线上.②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其 他直线经过该点.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并
记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
(×) (3)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是 AB ， AD 的 中 点 ， G ， H 分 别 在 BC ， CD 上 ， 且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；
证明 ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面.
D.直线l与直线m不垂直
解析 ∵直线l与平面α平行， 由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上， ∴直线l与直线m没有公共点，故选C.
5.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线
b和c，则直线b和c的位置关系是
A.相交或平行
B.相交或异面
大一轮复习讲义
§7.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.四个公理、三个推论 公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
C.平行或异面
√D.相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在 原正方体中互为异面的对数为___3___.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的 变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面直线的有且只有3对.
题组三 易错自纠
4.(2019·上海市金山中学月考)设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么
A.直线l不平行于直线m
B.直线l与直线m异面
√C.直线l与直线m没有公共点
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 ∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
思维升华
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 平面基本性质的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别 是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；
证明 如图，连结EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面.
2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 ①分类： 共面直线 相交 直线
异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的 直线是异面直线. (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b， 把直线a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(4)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.
(×)
题组二 教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，
AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为
A.30°
B.45°
√C.60°
D.90°
解析 连结B1D1，D1C(图略)， 则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角. 又B1D1＝B1C＝D1C， ∴△B1D1C为等边三角形， ∴∠D1B1C＝60°.
3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC， CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D__时，四边形EFGH为菱形；
解析 ∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件_A__C_＝__B_D__且__A_C_⊥__B_D__时，四边形EFGH为正方形.
②范围： 0，π2 . ③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角相等. 3.直线与平面的位置关系有 直线在平面内 、 直线与平面相交 、__直__线__与__ 平面平行 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况.
概念方法微思考
1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内 的两条直线可能平行或相交. 2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？ 提示 不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.
SI WEI SHENG HUA
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这 个平面内.②证两平面重合. (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条 直线上.②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其 他直线经过该点.
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并
记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
(×) (3)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是 AB ， AD 的 中 点 ， G ， H 分 别 在 BC ， CD 上 ， 且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面；
证明 ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD 中，GBGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面.
D.直线l与直线m不垂直
解析 ∵直线l与平面α平行， 由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上， ∴直线l与直线m没有公共点，故选C.
5.已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线
b和c，则直线b和c的位置关系是
A.相交或平行
B.相交或异面
大一轮复习讲义
§7.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.四个公理、三个推论 公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
C.平行或异面
√D.相交、平行或异面
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在 原正方体中互为异面的对数为___3___.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的 变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面直线的有且只有3对.