2020高考数学模拟试题(共5套)

2020年高考模拟数学试题
1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =（ ）
A ．1
(1,)2
- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2) 2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数k 的值为（ ）
A ．8-
B ．6-
C ．1-
D ．6
3.若复数z 满足3
(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）
A ．2
B ．32
C
D ．12
4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ）
A ．32-
B ．12
C ．16
D ．32
5.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m α⊂，则m β⊥
B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α
D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 6.若6(x
的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．．-
7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A π
ωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数
()f x 图象上的所有点向右平移4
π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）
A ．()2sin(2)4g x x π
=+ B ．3()2sin(2)4
g x x π=+ C ．()2cos 2g x x = D ．()2sin(2)4g x x π
=-
8.若x x ≤≤”是“223x x
+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A ．3
B ．
C
D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）
A ．7?n ≤
B ．7?n >
C ．6?n ≤
D ．6?n >
11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21
n m ++的取值范围为（ ）
A ．22[,1]12e e e e ++++
B ．2[,1]12
e e ++ C ．2[
,1]1e + D ．[1,1]2e + 12.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.
当12
AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329
B ．169
C ．89
D ．49
13.已知132a =，2
31()2
b =，则2log ()ab = ． 14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．
15.已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值
为 ．
16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于x 的函数32
1()3
n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在
点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．
17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22
x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2
f A =，a =sin 2sin B C =，求c .
18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行
统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有
关系？
（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15
，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19.如图，D 是AC 的中点，
四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，
AB BC ⊥，AB BC ==
（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ；
（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率
为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN
的最小值. 21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.
（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1
n n n n ++⋅⋅⋅+<+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为
)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04
π
ρθ-+=. （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.
1-5: DBADC 6-10: BDBCD 11、12：AA
13. 1
3
- 14. 24 15. 1176
17.解：（1）1()sin cos 22f x x x =-sin()6
x π=-. 由226k x π
π
π+≤-322
k ππ≤+，k Z ∈， 得223k x ππ+≤523
k ππ≤+，k Z ∈. ∴函数()f x 的单调递减区间为25[
2,2]33k k ππππ++，k Z ∈.
（2）∵1()sin()62f A A π
=-=，(0,)A π∈，∴3
A π=. ∵sin 2sin
B
C =，∴由正弦定理sin sin b c B C
=，得2b c =.
又由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，a = 得22213442
c c c =+-⨯. 解得1c =.
18.解：（1）由22⨯列联表的数据，有
2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2
200(30001200)1406070130
-=⨯⨯⨯ 220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637
=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
（2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310
.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ∵239(0)()10100P X ===，12(1)P X C ==13321010
⨯=， 12
(2)P X C ==213137()5102100⨯+=，12(3)P X C ==111255⨯=， 211(4)()525
P X ===，
∴X 的分布列为：
X 的数学期望为3371210100EX =⨯+⨯1134 1.8525
+⨯+⨯=（元）. 19.解：（1）连接MD ，FD .
∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=，
∴DBF ∆为等边三角形.
∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥.
∵AB BC ⊥，AB BC ==D 是AC 的中点，
∴BD AC ⊥.
∵平面BDEF 平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF .
又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥.
由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，
∴BF ⊥平面AMC .
（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，
DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -
，
1(,0,22E -，1(,0,)22
F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .
∴1(,1,22AE =-
，(1,0,0)EF =
，1(,0,22
BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.
由00
AE m EF m ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩111
11022102
x y z x ⎧-++=
⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩. 解得11y z =. 取12z =-，∴(0,3,2)m =-.
又由00
BC n BF n ⎧⋅=
⎪⎨⋅=⎪⎩22220102x y x z -+
=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩解得22y =. 取21z =
，∴(3,3,1)n =.
∵cos ,m n <>m n
m n
⋅=
1
7
=
=. ∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为
17
.
20.解：（1）由已知，有
c a =，即22
2a c =. ∵222
a b c =+，∴b c =.
设B 点的纵坐标为00(0)y y ≠.
则101()2ABF S a c y ∆=
-⋅1
()2
a c
b ≤-1
2
=，
即)1b b -=
.
∴1b =，a =∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-.
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)P P P x y ，(2,)Q Q y .
联立22221
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得22
(2)210m y my +--=.
此时2
8(1)0m ∆=+>.
∴12222m y y m +=
+，12
21
2
y y m =-+.
由弦长公式，得MN =
12y y -=
22
m +.
整理，得221
2
m MN m +=+.
又122
22P y y m y m +=
=+，∴1P P x my =-22
2
m -=+.
∴2P PQ =
-2226
2
m m +=+.
∴2PQ =
2=
2≥，
=
1m =±时等号成立.
∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，
PQ
MN
取得最小值2. 21.解：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >.
整理，得1ln a x x -≤+
恒成立，即min 1
(ln )a x x
-≤+. 令1()ln F x x x =+
.则22111'()x F x x x x
-=-=. ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
∴函数1
()ln F x x x
=+
的最小值为(1)1F =.
∴1a -≤，即1a ≥-.
∴a 的取值范围是[1,)-+∞.
（2）∵
24n n +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和.
∴只需证明
211ln (1)(2)n n n n +<++1
(1)
n n <+即可.
由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1
ln x x x
≥-
. 令11n x n +=
>，即得1ln 11n n n n +>-+1
1
n =
+. ∴2
211ln
()1
n n n +>+1(1)(2)n n >++11
12n n =-
++. 现证明2
11
ln
(1)
n n n n +<+，
即
<
==. (*) 现证明1
2ln (1)x x x x
<-
>. 构造函数1
()2ln G x x x x
=-
-(1)x ≥， 则212'()1G x x x
=+-22
21
0x x x -+=≥. ∴函数()G x 在[1,)-+∞上是增函数，即()(1)0G x G ≥=.
∴当1x >时，有()0G x >，即1
2ln x x x
<-
成立.
令x =
(*)式成立.
综上，得
211ln (1)(2)n n n n +<++1
(1)
n n <+.
对数列1
(1)(2)n n ⎧
⎫⎨
⎬++⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩
⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭分别求前n 项和，得 223ln 2ln 242n n <++21ln 1
n n
n n ++⋅⋅⋅+<
+.
2020年高考数学模拟试题
1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）
A ．(0
B ．(2)(0)-∞-+∞，，
C ．)+∞
D ．((0)-∞+∞，，
2.复数13i
i
-
=+ （ ） A ．
931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010
i - 3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ）
A ．M 的离心率为2
B ．M 的实轴长为2
C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±
4.若角α
的终边经过点(1-， ，则tan()3
π
α+
= （ ）
A
．7-
B
．7-
5 D
．5
5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）
A ．51296π-
B ．296 C.51224π- D ．512
6.设x ，y 满足约束条件330
280440x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪+-⎩
≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8 C.3 D ．4
7.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）
A ．12
B ．13 C.15 D ．18
8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”
，设
ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S
，则“三斜求积公式”为
S =.若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，
则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）
A
B
D
9.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大
于或等于100 的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，
各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]， 内）
，将这些数据分成4 组：[9095)， ，[95100)， ，[100105)， ，[105110]， ，得到如
下两个频率分布直方图：
已知这2 种配方生产的产品利润y （单位：百元）与其质量指标值t 的关系式均为
19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，
，
≤，≤，
≥
.
若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，
且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ）
A ．0.125
B ．0.195 C.0.215 D ．0.235
10. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c << C.b a c << D ．b c a <<
11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02
π
ϕ<<
）个单位长度后得到()f x 的图
象，若()f x 在5()4
π
π，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）
A ．3()88ππ，
B ．()42ππ， C. D ．[)42
ππ，
12.过圆P ：2
2
1(1)4
x y ++=
的圆心P 的直线与抛物线C ：2
3y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）
A ．
116 B ．2 C.136 D ．73
13.已知向量()AB m n =，
，(21)BD =， ，(38)AD =， ，则mn = ． 14.71(4)2
x - 的展开式中3
x 的系数为 ．
15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a = ．
16.在等腰三角形ABC 中，23
A π
∠=
，AB =，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ．
17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，
5a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.
18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高
三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取
10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：
（1）从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；
（2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X
表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.
19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E
为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1
B EF .
（1）证明：E 为AB 的中点；
（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.
20. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >> ）的离心率e =，直线10x +-= 被
以椭圆C （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅ ，求λ
的取值范围.
21. 已知函数3
()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+---- （k ∈R ）
（1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程；
（2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=.
（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点(01)P ，，点0)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值.
1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC
13.7 14.140- 15.4- 16.15π
17. 1）设数列{}n a 的公差为d
由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩
，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =-
（2）由（1）知21n a n =- ，∴2n S n = ，∴416S = ，836S = ，
又2
48n S S S = ，∴22
368116n == ，∴9n = ，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3 ，4 ，2 ，1 ，
从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种，
这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种. 所以所求概率102459
P ==
（2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3 ，2 .
X 的可能取值为0 ，1 ，2 ，
22251(0)10C P X C === ，1132253(1)5C C P X C === ，23253(2)10
C P X C === . 所以X 的分布列为
19.
（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，
因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥ ， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EF B E = 所以1GM B E ∥ ，即1AN B E ∥ ，
又1B N AE ∥ ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N = ，所以E 为AB 的中点.
（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - ，不妨令正方体的棱长为2 ，
则1(222B ，，） ，(210)E ，， ，(021)F ，， ，1(202)A ，， ，可得
1(012)B E =--，， ，(211)EF =-，
， ， 设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，
则12020
m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z = ，得(142)m =--，，
易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，
，
所以cos 22m n
m n m n
⋅===，
故所求锐二面角的余弦值为
42 20.解：（1）因为原点到直线10
x +-=的距离为12
， 所以2221
()22b += （0b > ），解得1b = . 又222
22314c b e a a ==-= ，得2a = 所以椭圆C 的方程为2
214
x y += .
（2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=
当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+ ，11()A x y ， ，22()B x y ， ， 联立方程组22414
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(4)8120m y my +++= 由22
=6448(4)0m m ∆-+> ，得212m >， 所以122124
y y m =+
21122212(1)312(1)44
m MA MB y m m λ+=⋅===-++ 由212m > ，得2330416m <<+ ，所以39124
λ<< . 综上可得：39124λ<≤ ，即39(12]4
λ∈， 21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x '=
+--+- ，∴(0)11f '= 故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =
（2）22
223(1)()1k x f x x
+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈， ，若23
k -≥ ，2223(1)0k x +-> ，则()0f x '> ，∴()f x 在(01)，
上递增，从而()(0)0f x f >= . 若23k <-
，令()0(01)f x x '=⇒=，
，当(0x ∈时，
()0f x '< ，
当1)x ∈ 时，()0f x '>
，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23
k <- 不合题意. 故k 的取值范围为2[)3
-+∞， 22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+= ，
由2sin 0ρθθ-=
得22sin cos 0ρθθ-=
所以曲线C
的直角坐标方程为2y =
（2）易得点P 在l
，所以tan 3PQ k α=-，所以56πα= 所以l
的参数方程为2112
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，
代入2y = 中，得21640t t ++= .
设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082
t t t +==- ，所以08PM t ==
2020年高考数学模拟试题
1.已知集合{|05}A x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ）
A ．{2,4}
B ．{0,2,4}
C ．{0,1,3}
D ．{2,3,4}
2.复数4312i z i
+=+的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．-1
3.在如图的程序框图中，若输入77m =，33n =，则输出的n 值是（ ）
A ．3
B ．7
C ．11
D ．33
4.已知三棱柱HIG EFD -的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A ，B ，C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为（ ）
A ．5
B ．-5
C ．13
D ．13
- 6.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是则灯亮的概率为（ ）
A ．116
B ．316
C ．14
D ．1316
7.设1x ，2x ，3x 均为实数，且121log (1)x x π-=+，232log x x π-=，323log x x π-=，则（ ）
A ．132x x x <<
B ．321x x x <<
C ．312x x x <<
D ．213x x x <<
8.设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1n n b a =+，若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中，则q 的值为（ ）
A ．43-
B ．32-
C ．-2
D ．94
- 9.已知()sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭，1()()3
g x f x =-，1x ，2x 是()g x 在[0,]π上的相异零点，则12cos()x x -的值为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．13
D ．13
- 10.已知1F ，2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，
则12cos F PF ∠的值为（ ）
A ．14
B ．35
C ．34
D ．45
11.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()()xf x f x >恒成立（其中'()f x 为函数()f x 的导函数），对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是（ ）
A ．1212()()()f x f x f x x ⋅≥
B ．1212()()()f x f x f x x ⋅≤
C ．1212()()()f x f x f x x +>+
D ．1212()()()f x f x f x x +<+
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的
最小四位整数N ：第2017行的第N 项为2的正整数幂.已知10
21024=，那么该款软件的激活码是（ ）
A ．1040
B ．1045
C ．1060
D ．1065
13.如图，有5个全等的小正方形，BD x AE y AF =+，则x y +的值是 ．
14.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中含23x y 项的系数是 ． 15.已知三棱锥P ABC -的底面为等边三角形，PA ，PB ，PC 两两相等且互相垂直，若
，则球心到截面ABC 的距离为 ．
16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2
(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为 ．
17.如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =
，5cos 13
ACB ∠=，13BC =.
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求CD 的长.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，平
面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，
1
12
BC AD =
=，CD =
（Ⅰ）求证：PQ AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角P QB M --的余弦值.
19.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务
行业.某商家为了准备2018年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十
一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从2
(,)N μσ，其中μ用样
本平均值代替，2
0.24σ=.
（Ⅰ）计算样本的平均值μ，并利用该正态分布求(1.51 2.49)P T <<.
（Ⅱ）利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时
内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10000名淘宝客户，记X
为这10000人中目标客户的人数.
（i ）求EX ；
（ii ）问：10000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？
附：若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=
0.49≈. 20.已知椭圆Ω：22
143
x y +=，点A 是椭圆Ω内且在x 轴上的一个动点，过点A 的直线与椭圆Ω交于B ，C 两点（B 在第一象限），且3AB AC =.
（Ⅰ）若点C 为椭圆Ω的下顶点，求点A 的坐标；
（Ⅱ）当OBC ∆（O 为坐标原点）的面积最大时，求点A 的坐标.
21.已知函数2()4x
x f x e
ae =-(42)a x +-，其中1a ≥.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若存在x 使得()()0f x f x +-=，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程是22
x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的任一点向圆C引切线，求切线长的最小值.
1-5: BDCAB 6-10: DABCC 11、12：DA
13. 1 14. -20 15.
3
16. 17.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，4
cos 5
A =
，(0,)A π∈，
所以sin A =
=.
同理可得，12
sin 13
ACB ∠=
. 所以cos cos[()]B A ACB π=-+∠cos()
A AC
B =-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠3124516
51351365
=⨯-⨯=
. （Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AB ACB A
=
∠1312
203135
=⨯=.
又3AD DB =，所以1
54
BD AB =
=. 在BCD ∆
中，由余弦定理得，CD =
=
=.
18.【解析】（Ⅰ）在PAD ∆中，PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥.
因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =，
所以PQ ⊥底面ABCD .
又AB ⊂平面ABCD ，
所以PQ AB ⊥.
（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，1
2
BC AD =
，Q 为AD 的中点， 所以//BC QD ，
所以四边形BCDQ 为平行四边形.
因为AD DC ⊥，所以AD QB ⊥，由（Ⅰ）可知PQ ⊥平面ABCD ，
以Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Q xyz -.
则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A ，P ，(C -，(1,0,0)D -，B .
因为AQ PQ ⊥，AQ BQ ⊥，所以AQ ⊥平面PQB ，
即OA 为平面PQB 的一个法向量，且(1,0,0)OA =.
因为M 是棱PC 的中点，所以点M
的坐标为12⎛- ⎝⎭
，
又(0,QB =，设平面MQB 的法向量为(,,)m x y z =.
则00
m QB m QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
102x y z =⎨-++=⎪⎩， 令1z =
，得x =
0y =，所以(3,0,1)m =.
从而cos ,OA m <>3
OA m OA m
⋅=
=
. 由题知，二面角P QB M --
为锐角，所以二面角P QB M --19. 【解析】（Ⅰ）因为0.4(0.0500.80.225 1.2
μ=⨯⨯+⨯0.550 1.60.825 2.00.600 2.4+⨯+⨯+⨯0.200 2.80.050 3.2)2+⨯+⨯=
，
从而T 服从(2,0.24)N ，因为0.49σ=≈，从而(1.51 2.49)
P T <<()0.6826P T μσμσ=-<<+=.
（Ⅱ）（i ）任抽1个淘宝客户，该客户是目标客户的概率为
(2 2.98)(2)P T P T μμσ<<=<<+1
(22)2
P T μσμσ=
-<<+
1
0.95440.47722
=⨯=. 现若随机抽取10000名淘宝客户，记X 为这10000人中目标客户的人数，从而X 服从
(10000,0.4772)B ，所以100000.47724772EX =⨯=.
（ii ）X 服从(10000,0.4772)B ，
()P X k =1000010000
0.4772(10.4772)k k k C --10000100000.47720.5228k
k k C -=⋅. 若当X k =时概率最大，
则有()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =>=+⎧⎨=>=-⎩，即1
1000010000
1
1000010000
0.52280.47720.47720.5228k k k k C C C C +-⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得4772k =， 故10000人中目标客户的人数X 为4772的概率最大.
20.【解析】
（Ⅰ）由题易知(0,C ，由3AB AC =知B
代入椭圆Ω
的方程得2
2143x ⎝⎭+=，解得3x =（负值舍去），
即此时3
B ⎛ ⎝⎭. 从而直线BC
的方程为2
y x =
，令0y =
，得x =
A . （Ⅱ）设11(,)
B x y ，22(,)
C x y ，由3AB AC =，知1230y y +=.
易知直线l 与y 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 的方程为x my n =+，联立2214
3x my n x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
消去x 可得2
2
(34)6m y mny ++2
3120n +-=，∴122634
mn
y y m -+=+，212231234n y y m -⋅=+.
∵1230y y +=，∴12
334mn y m =+，22
12434n y m -=+， ∴22222294(34)34m n n m m -=++，从而22
2
3431
m n m +=+. ∴121
2
OBC
S n y y ∆=⋅-2126234m n n y m ==+2
631m m =+. ∵B 在第一象限，∴11x my n =+223034
m n
n m =
+>+，∴0n >. ∵10y >，∴0m >.
∴2
631OBC m S m ∆=
+613m m
≤=+
3m =
时取等号，此时2n =.
即此时A ⎫
⎪⎪⎝⎭
.
21.【解析】（Ⅰ）2'()24x
x f x e
ae =-(42)2(1)x a e +-=-(12)x e a +-.
令'()0f x =得0x =或ln(21)x a =-.
当1a =时，2
'()2(1)0x f x e =-≥，()f x 在R 上单调递增；
当1a >时，令'()0f x >得0x <或ln(21)x a >-，从而()f x 在(,0)-∞，(ln(21),)
a -+∞上单调递增，在(0,ln(21))a -上单调递减.
（Ⅱ）2()()x
f x f x e
+-=24()0x x x e a e e --+-+=，令x x t e e -=+，
则x x
t e e
-=
+2≥=，当且仅当0x =取得等号.
注意到222()2x
x x x e
e e e --+=+-22t =-，
原问题转化为2
240t at --=在[2,)+∞上有解，即24a t t =-
在[2,)+∞上有解，又2
t t
-关于t 单调递增，从而2
4212
a ≥-
=， 又1a ≥，综合得[1,)a ∈+∞.
（Ⅲ）令()()()g x f x f x =--224()x
x x x e
e a e e --=---(84)a x +-，
22'()2()x x g x e e -=+4()(84)x x a e e a --++-22(2)484t at a =--+-，
得'()2(2)(22)g x t t a =-+-，由（Ⅱ）知2t ≥.
当2220a +-≥，即2a ≤时，'()0g x ≥，
又(0)0g =，从而当0x ≥时恒有()()f x f x ≥-， 当2a >时，存在22t a =-使得'()0g x =，即22x x
e e
a -+=-，即2(22)10x x
e a e --+=，
解得1x e a =-ln(1x a =-，
（ln(10x a =-<舍去）.
从而当[0,ln(1x a ∈-时'()0g x ≤，此时()(0)0g x g ≤=，矛盾.
综上[1,2]a ∈.
22.【解析】（Ⅰ）∵ρθθ=-，
∴2
cos sin ρθθ=，
∴圆C 的直角坐标方程为22
0x y +-=，
即22122x y ⎛⎛-++= ⎝⎭⎝⎭，∴圆心C
的直角坐标为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. （Ⅱ）方法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长是
=
=≥， ∴由直线l 上的任一点向圆C
所引切线长的最小值是方法二：∵直线l
的普通方程为0x y -+=，
圆心C 到直线l
|
5++=， ∴由直线l 上的任一点向圆C
=
2020高考数学模拟压轴卷
1.已知复数z =a 2−i +3−4i 5的实部与虚部之和为1，则实数a 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．4
D ．3
2.下列说法错误的是( )
A ．“若x ≠2，则x 2−5x +6≠0”的逆否命题是“若x 2−5x +6=0，则x =2”
B ．“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必呀条件
C ．“∀x ∈R,x 2−5x +6≠0”的否定是“∃x 0∈R,x 02−5x 0+6=0”
D ．命题：“在锐角∆ABC 中，sin A <cos B ”为真命题
3.“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央.露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为( )
A ．1213
B ．113
C ．314
D ．213 4.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．83
B ．43 C.163 D ．8
5.已知双曲线的两个焦点为F 1(−√10，0)、F 2(√10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )
A ．3
B ．13 C.12 D ．1 6.已知函数f (x )=12sin 2x +√32cos 2x ，把函数f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移π6各单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的对称中心是( )
A ．(2kπ+π6,0),k ∈Z
B ．(2kπ+π2,0),k ∈Z C. (kπ+π2,0),k ∈Z D ．(kπ+π
4,0),k ∈Z 7. 泰九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例。

若输人n ，x 的值分別为4,5,则输出υ的值为( )
A ．211
B ．100 C.1048 D ．1055
8.在∆ABC 中，∠A =120°，AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，点G 是∆ABC 的重心，则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )
A ．23
B ．√63 C.√23 D ．53 9.已知函数f (x )=d
ax 2+bx+e (a,b,c,d ∈R)的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )
A ．a >0,b >0,c <0,d >0
B ．a <0,b >0,c <0,d >0
C. a <0,b >0,c >0,d >0 D ．a >0,b <0,c >0,d >0
10.在∆ABC 中，已知a 2+b 2−c 2=4S(S 为∆ABC 的面积)，若e =√2,则a −√22
b 的取值范围是( )
A ．(0,√2)
B ．(−1,0) C.(−1,√2) D ．(−√2,√2)
11.当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数.如N (3)=3,N (10)=5,⋯,S (n )=N (1)+N (2)+N (3)+⋯+N(2n )，则S (5)=( )
A ．342
B ．345 C.341 D ．346
12.已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=12x 2−ax +b ln x 存在极大值点x 0，且对于a 的任
意可能取值，恒有极大值f(x0)<0,则下列结论中正确的是( )
A．存在x0=√b ,使得f(x0)<−1
2e
B．存在x0=√b，使得f(x0)>−e2
C.b的最大值为e3 D．b的最大值为2e2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=2x+x，则f(log25)=．
14.设0<m≤1，在约束条件{x+2y≤m,
2x+y≥−1
x−y≤0,
下，目标函数z=3x−2y的最小值为-5，则m的值为．
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点，且直
线l与圆x2−px+y2−3
4
p2=0交于C,D两点，若|AB|=3|CD|,则直线l的斜率为．16.在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰
直角三角形，若4√2≤SC≤8，则四棱锥S−ABCD的体积取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 等差数列{a n}中，a3=1,a7=9,S n为等比数列{b n}的前n项和，且b1=2,若4S1,3S2,2S3成等差数列.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)设C n=|a n|∙b n,求数列{C n}的前n项和T n.
18. 如图，EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,△ABC是等边三角形，AC=2AE,M是AB的中点.
(1)证明：CM⊥DM；
(2)若直线DM与平面ABC所成角的余弦值为，求二面角B−CD−E的正弦值.
19.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径X满足60.6mm−69.4mm为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.
（参考数据：若X−N(μ,σ2),则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；
P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.
20.已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√3
2
，倾斜角为30°的直线l经过椭圆C的右
焦点且与圆E:x2+y2=3
4
相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y=kx+m(k≠0)与圆E相切于点P，且交椭圆C于A,B两点，射线OP于椭圆C交于点Q，设△OAB的面积于△QAB的面积分别为S1,S2.
①求S1的最大值；
②当S1取得最大值时，求S1
S2
的值.
21.已知函数f(x)=sin x−x+mx3(m∈R) .
(1)当m=0时，证明：f(x)>−e2；
(2)当x≥0时，函数f(x)单调递增，求m的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为{x=t cosα
y=t sinα(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2−2mρcosθ−4=0（其中m>0）.
(1)若点M的直角坐标为(3,3)，且点M在曲线C内，求实数m的取值范围；
(2)若m=3,当α变化时，求直线l被曲线C截得的弦长的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知a>0,b>0,c>0.若函数f(x)=|x+a|+|x−b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值；
(2)求1
a +1
b
+1
c
的最小值.
1-5:ADBAD 6-10: CDBBC 11、12：AC
二、填空题
13.135 14. 1 15.±√22 16.[32√33
,643] 三、解答题
17. 解:（1）在等差数列列中，设公差为d ,a 7−a 3=4d =9−1=8⇒d =2,
∴a n =a 3+(n −3)d =1+2(n −3)=2n −5.
设等⽐比数列列{b n}的公⽐比为q，依题有：
6S2=4S1+2S3⇒q=2,∴b n=2n.
(2)∵c n=|2n−5|∙2n.
当n=1,T1=6,n=2,T2=10.
当n≥3时，2n−5>0,
T n=10+1×23+3×24+⋯+(2n−7)2n−1+(2n−5)2n①2T n=20+1×24+3×25+⋯+(2n−7)2n+(2n−5)2n+1②①--②⇒−T n=−10+8+2(24+⋯+2n)−(2n−5)2n+1
⇒T n=34+(2n−7)2n+1.
∴T n={
6,n=1
10,n=2
34+(2n−7)2n+1,n≥3
.
18. 解:（1）因为∆ABC是等边三⻆角形，M是AB的中点，所以CM⊥MB,因为DB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以DB⊥CM，因为DB⋂MB=B,所以CM⊥平面DMB，因为DM⊂平面DMB，所以CM⊥DM.。